面積分学習記録 (1) 【定義】

$D \subset \mathbb{R}^{n}$ を空でない集合とし，$ f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R} $ を実数値関数とする。

このとき，集合 $ \displaystyle G \left( D \, ; \, f \right) \subset D \times f(D) $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} G \left( D \, ; \, f \right) := \Bigl\{ \, \left( x ,\, f (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} \end{aligned} \end{align*}
と定める。

$\boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ とする。このとき，ベクトル $\star \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n+1}$ を，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \star \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right) := \sum_{k=1}^{n+1} \biggl( \det \left[ \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \right] \biggr) \, \boldsymbol{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} \end{aligned} \end{align*}

と定める。

$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面  ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & S \ \mathsf{上の任意の点における開近傍} \ \ B \subset \mathbb{R}^{n+1} \ \ \mathsf{に対して} \boldsymbol{,} \quad \Gamma := S \cap B \ \ \mathsf{と置くと} \boldsymbol{,} \\[7.5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \ \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \ \ \mathsf{が成り立つ} \end{aligned} \end{align*}

として定める。

$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面  ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & S \ \mathsf{上の任意の点における開近傍} \ \ B \subset \mathbb{R}^{n+1} \ \ \mathsf{に対して} \boldsymbol{,} \quad \Gamma := S \cap B \ \ \mathsf{と置くと} \boldsymbol{,} \\[7.5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (D) \ \boldsymbol{;} \\[10pt] & \quad \left\{ \begin{aligned} & \mathsf{ベクトル値関数} \ \ \ \begin{aligned} \boldsymbol{r} \, \boldsymbol{:} \, D \ni t \longmapsto \boldsymbol{r} ( t ) := \begin{bmatrix} \gamma_{1} (t) \\ \vdots \\ \gamma_{n} (t) \\ \gamma_{n+1} (t) \end{bmatrix} \in \Gamma \end{aligned} \ \ \ \mathsf{が\ 同相写像} % \, \boldsymbol{,} \\[7.5pt] % \Gamma % = % G \left( \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) % \quad % \mathsf{かつ} % \quad & \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) \neq \boldsymbol{0} \qquad \left( \ \forall \, t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \in D \ \right) \end{aligned} \right. \\[10pt] & \mathsf{が成り立つ} \end{aligned} \end{align*}

として定める。

$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S $ とする。

このとき，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ 上の 接平面 $ \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) $ を，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) := \left\{ \ \boldsymbol{p}_{0} + \sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right) \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} ) \end{bmatrix} \ \ \ \middle\vert \ \ \ x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} \ \right\} \end{aligned} \end{align}
と定める。

$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ をベクトル値関数とする。

1. ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が，
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \qquad \forall \, \boldsymbol{p} \in \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) \, \boldsymbol{,} \quad \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \cdot \left( \boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}_{0} \right) = 0 \end{aligned} \end{align}
   を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ を，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の法ベクトル と呼び，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) $ と表す。
   ${}$
2. また，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の法ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が，
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(b)} \qquad \left| \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \right| = 1 \end{aligned} \end{align}
   を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ を 単位法ベクトル と呼ぶ。

$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) := \left( x^{0} \boldsymbol{,} \, x_{n+1}^{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とする。

このとき，$\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}$ における $\tilde{ \Gamma }$ 上の 接平面 $ \mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } ) $ を，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } ) := \left\{ \ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} + \sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right) \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial \gamma}{\partial x_{j}} ( x^{0} ) \end{bmatrix} \ \ \middle\vert \ \ x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} \ \right\} \end{aligned} \end{align}
と定める。

$ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とし，$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ をベクトル場とする。

1. ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)$ が，
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \qquad \forall \, \tilde{ \boldsymbol{p} } \in \mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } ) \, \boldsymbol{,} \quad \boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \cdot \left( \tilde{ \boldsymbol{p} } - \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) = 0 \end{aligned} \end{align}
   を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)$ を，$\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}$ における $\tilde{ \Gamma }$ の法ベクトル と呼び，$ \boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}} ( \tilde{ \Gamma } ) $ と表す。
   ${}$
2. また，$\tilde{ \boldsymbol{p} }$ における $\tilde{ \Gamma }$ の法ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)$ が，
   \begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(b)} \qquad \left| \boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \right| = 1 \end{aligned} \end{align}
   を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)$ を 単位法ベクトル と呼ぶ。

$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数とし，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) = \begin{bmatrix} t_{1} \\ \vdots \\ t_{n} \end{bmatrix} \in D \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\ f (t) \end{bmatrix} \in S \end{aligned} \end{align*}
とする。このとき，$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) := \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \left| \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) \right| \, dt \end{aligned} \end{align*}

と定める。

$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in \mathbb{R}^{n+1} $ を $\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の単位法ベクトルとする。

このとき，

1. $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 上向き であるということを，
   \begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \geq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in H ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
   を満たすこととして定める；
   $\\[5pt]$

2. $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 下向き であるということを，
   \begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \leq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in L ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
   を満たすこととして定める。

$\mathbb{R}^{n+1} \setminus S$ 内の部分集合 $ \operatorname{Int} \left( S \right) \boldsymbol{,} \, \ \operatorname{Ext} \left( S \right) $ をそれぞれ，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \operatorname{Int} \left( S \right) := \left\{ \vphantom{\dfrac{0}{0}} \ \boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \ \ \ \middle\vert \ \ \ \begin{aligned} & \forall \, \left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty} \in \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \left[ \ \Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset \ \ \Longrightarrow \ \ \lim_{j \to \infty} \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right) < + \infty \ \right] \end{aligned} \ \right\} \ \boldsymbol{,} \\[15pt] & \operatorname{Ext} \left( S \right) := \left\{ \vphantom{\dfrac{0}{0}} \ \boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \ \ \ \middle\vert \ \ \ \begin{aligned} & \exists \, \left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty} \in \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \vphantom{\dfrac{0}{0}} \ \Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset \quad \textsf{かつ} \quad \lim_{j \to \infty} \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right) = + \infty \ \right] \end{aligned} \ \right\} \end{aligned} \end{align}
と定める。このとき，

1. $\operatorname{Int} \left( S \right) \neq \emptyset$ のとき，$n \geq 2$ ならば $S$ を 閉曲面 と呼び，$n = 1$ ならば $S$ を 閉曲線 と呼ぶ；

2. $S$ が閉曲面のとき，$\operatorname{Int} \left( S \right)$ を $S$ の 内部 と呼び，$\operatorname{Ext} \left( S \right)$ を $S$ の 外部 と呼ぶ。

$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\boldsymbol{p}_{0} $ における $S$ の単位法ベクトルとする。

このとき，

1. $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 外向き であるということを，
   \begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) \cap \operatorname{Ext} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
   を満たすこととして定める；
   ${}$

2. $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 内向き であるということを，
   \begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) \cap \operatorname{Int} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
   を満たすこととして定める。

$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS &:= \sum_{i=1}^{m} \int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) } \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \cdot \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) \\[7.5pt] &\hphantom{:}= % \left\{ % \begin{array}{ll} % \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \int_{ D_{i} } \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \cdot \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right) \cdot \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 } \ dt % &{\quad} % \left( \ n \geq 1 \ \right) % \\[5pt] % \displaystyle % \sum_{i=1}^{m} % \int_{ D_{i} } % \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) % \cdot % \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right) % \cdot % \sqrt{ \left\{ \dfrac{d \gamma_{i}}{dt} (t) \right\}^{2} + 1 } % \ dt % &{\quad} % \left( \ n = 1 \ \right) % \\[10pt] % \varphi \left( \max S \right) + \varphi \left( \min S \right) % &{\quad} % \left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 2 \ \right) % \\[10pt] % 0 % &{\quad} % \left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 1 \ \right) % \\[10pt] % 0 % &{\quad} % \left( \ S = \emptyset \ \right) % \end{array} % \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。

$\boldsymbol{A} \in C^{0} ( S ,\, \mathbb{R}^{n+1} )$ を実ベクトル値関数とし，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) = \begin{bmatrix} t_{1} \\ \vdots \\ t_{n} \end{bmatrix} \in D \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\ f (t) \end{bmatrix} \in S \ \boldsymbol{;} \\[12.5pt] & % \boldsymbol{\nu} % := % \left( \nu_{1} ,\, \dots ,\, \nu_{n} \right) % = % \begin{bmatrix} % \nu_{1} \\ % \vdots \\ % \nu_{n} % \end{bmatrix} % \in % \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,} % \qquad \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) := \left( -1 \right)^{n} \cdot \dfrac{ \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) }{ \left| \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) \right| } \in \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,} \\[12.5pt] & dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) := \left| \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) \right| \, dt \end{aligned} \end{align*}
とする。

このとき，$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 流束積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，

\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} &:= \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS = \int_{S} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) \\[5pt] &\hphantom{:}= \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \left\{ \left( -1 \right)^{n} \left( \star \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right) \right) \right\} \, dt \end{aligned} \end{align*}

と定める。

$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 流束積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} &:= \sum_{i=1}^{m} \int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) } \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \, \tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{r} ) \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} ( \boldsymbol{r} ) \\[10pt] &\hphantom{:}= % \left\{ % \begin{array}{ll} % \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \int_{ D_{i} } \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \, \tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right) \boldsymbol{\cdot} \begin{bmatrix} - \nabla \gamma_{i} (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \, dt % &{\quad} % \left( \ n \geq 1 \ \right) % \\[10pt] % \displaystyle % \sum_{i=1}^{m} % \int_{ D_{i} } % \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \, % \tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right) % \boldsymbol{\cdot} % \begin{bmatrix} % - \dfrac{ d \gamma_{i} }{dt} ( t ) % \\[2.5pt] % 1 % \end{bmatrix} % \, dt % &{\quad} % \left( \ n = 1 \ \right) % \\[15pt] % \displaystyle % \boldsymbol{A} \left( \max S \right) % - % \boldsymbol{A} \left( \min S \right) % &{\quad} % \left( \ n = 0 \ \right) % \\[10pt] % \displaystyle % 0 % &{\quad} % \left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 1 \ \right) % \\[10pt] % 0 % &{\quad} % \left( \ S = \emptyset \ \right) % \end{array} % \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。