面積分学習記録 (1) 【定義】
全体の概要
この記事は，面積分の学習記録を，メモとしてまとめたものです。
全体を何回かのパートに分けて投稿していきます。
今回は定義がメインです。
以下では，特に断りのない限り，$n \in \mathbb{N}$ とします。
(ここで，$\mathbb{N}$ は正の整数全体の集合。)
${}$
面積分の具体的な問題を処理するために
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界領域（または有界閉集合）とし，$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数，$D \subset \mathbb{R}^{n}$ を有界領域（または有界閉集合）とする。
$S$ 上における $\varphi$ の面積分を具体的に求める問題のタイプには，単純化すると，次の 2 種類がある：
\begin{align} & \begin{aligned} \textsf{(A)}\ \ & \textsf{ 既知の関数 $f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ が与えられることで， $S = \Bigl\{ \, \left( x ,\, f (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\}$ と表すことができて， } \\[2.5pt] & \textsf{ 曲面 $S$ 上における $\varphi$ の面積分を求めるもの。 } \end{aligned} \\[10pt] & \begin{aligned} \textsf{(B)}\ \ & \textsf{ $S$ が既知の曲面として与えられて， $S$ 上における $\varphi$ の面積分を求めるもの。 } \end{aligned} \end{align}
${}$
タイプ (B) の問題を解くには，タイプ (A) の問題を処理できる必要がある。
なお，ベクトル値関数の面積分を計算するには，スカラー値関数の面積分を理解しておく必要がある。
${}$
$f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ を実数値関数とする。このとき，集合 $\displaystyle G \left( D \, ; \, f \right) \subset D \times f(D)$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} G \left( D \, ; \, f \right) := \Bigl\{ \, \left( x ,\, f (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
${}$$f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ を実数値関数とする。このとき，集合 $ \displaystyle G \left( D \, ; \, f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \right) \subset \prod_{j=1}^{n} f_{j} (D) \times f_{n+1} (D) $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} G \left( D \, ; \, f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \right) := \Bigl\{ \, \left( f_{1} (x) ,\, \dots ,\, f_{n} (x) ,\, f_{n+1} (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
${}$
曲面の滑らかさ
$\displaystyle k \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ \infty \right\} \cup \left\{ \omega \right\} $ とする。
タイプ (A) の場合は，曲面 $S = G \left( D \, ; \, f \right)$ の $C^{k}$ 性は『$f \in C^{k} (D)$』であることにより定義される。
タイプ (B) の場合は，$S$ は 1 種類の関数だけでは表せないことがあるので，$S$ の $C^{k}$ 性は以下のようになる：
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界集合とする。このとき，$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
$S$ が有界領域の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、有界な、空でない単連結\color{blue}{開集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \end{aligned} \end{align*}
として定め；
${}$$S$ が有界閉集合の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、空でない、単連結な有界\color{blue}{閉集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$d \in \mathbb{N}$ とする。このとき，合同変換 $\displaystyle \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}^{d}$ は，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\exists \, R \in \mathbb{R}^{d \times d} \, \boldsymbol{,} \quad
\exists \, b \in \mathbb{R}^{d} \ \ \boldsymbol{;} \quad
\forall \, x \in \mathbb{R}^{d} \, \boldsymbol{,} \, \qquad
\Biggl[
\ \
\sigma (x) = R x + b
\quad \textsf{かつ} \quad
\left\{
\begin{array}{l}
R^{\mathsf{T}} R = E_{d} \\[2.5pt]
\det (R) = 1
\end{array}
\right.
\ \ \
\Biggr]
\end{aligned}
\end{align*}
として定義される。（ここで，$R^{\mathsf{T}}$ は $R$ の転置行列であり，$E_{d} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ は単位行列である。）
${}$
なお，曲面が極座標などで表現されるような場合，$S$ の $C^{k}$ 性は以下のようになる：
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界集合とする。このとき，$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
$S$ が有界領域の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、有界な、空でない単連結\color{blue}{開集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, V \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (V) \ \boldsymbol{;} % \qquad % \exists \, % \sigma \, \boldsymbol{:} \, % \Gamma \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, % \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \Gamma = G \left( V \, ; \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) \end{aligned} \end{align*}
として定め；
$\\[5pt]$$S$ が有界閉集合の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、空でない、単連結な有界\color{blue}{閉集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, V \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (V) \ \boldsymbol{;} % \qquad % \exists \, % \sigma \, \boldsymbol{:} \, % \Gamma \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, % \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \Gamma = G \left( V \, ; \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) \end{aligned} \end{align*}
として定める。
- 現実的には，球面やトーラス等の例を考えれば，媒介変数表示されたそのままの状態で問題を処理していくことも多い。
${}$ - 定義 3 型の $C^{k}$ 級曲面は，適切な合同変換により，定義 2 型の $C^{k}$ 級曲面を含むようにできる。
(ただし，$k \neq 0$ とする。)
${}$
$\boldsymbol{\textsf{[ あまり正確でない証明 ]}}$
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を定義 3 型の $C^{k}$ 級曲面とし，十分小さく空でない単連結な有界開集合 (または閉集合) $\Gamma \subset S$ が与えられたとする。
ここで，ある合同変換 $ \displaystyle \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, W \subset \mathbb{R}^{n} \ \boldsymbol{;} \quad \exists \, F \in C^{k} \left( W \times \mathbb{R} \right) \ \boldsymbol{;} \quad \exists \, \boldsymbol{x}_{0} = \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in W \times \mathbb{R} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \ \ \sigma (\Gamma) = \biggl\{ \, \left( x ,\, x_{n+1} \right) \in W \times \mathbb{R} \ \ \bigg{|} \ \ F \left( x ,\, x_{n+1} \right) = F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \, \biggr\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \left\{ \begin{array}{l} F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) = 0 \\[2.5pt] \nabla F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \neq \boldsymbol{0} \end{array} \right. \ \ \right] \end{aligned} \end{align*}
を満たすものを取る。このとき，陰関数定理より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, D \subset W \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \ \boldsymbol{;} \qquad \\[5pt] & \left\{ \begin{array}{l} x^{0} \in D \\[0pt] x_{n+1}^{0} = \gamma \left( x^{0} \right) \end{array} \right. \qquad \textsf{かつ} \qquad \left[ \ \ \forall \, x \in D \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, x_{n+1} \in \gamma (D) \ \boldsymbol{;} \quad \left\{ \begin{array}{l} x_{n+1} = \gamma \left( x \right) \\[5pt] F \left( x ,\, x_{n+1} \right) = F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \end{array} \right. \ \ \right] \end{aligned} \end{align*}
となるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{x}_{0} \in G \left( D \, ; \, \gamma \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad G \left( D \, ; \, \gamma \right) \subset \sigma (\Gamma) \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，$S$ は，$\sigma$ により，定義 2 型の $C^{k}$ 級曲面を含むように変換できる。$\blacksquare$
${}$
接平面 (標準型)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を，$\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
${}$
$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S $ とする。
このとき，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ 上の 接平面 $
\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)
$ を，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)
:=
\left\{
\
\boldsymbol{p}_{0} + \sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right)
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
\ \ \ \middle\vert \ \ \
x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in D
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
として定める。
${}$
$\displaystyle d \in \mathbb{N} \, \boldsymbol{,} \ \ \ V \subset \mathbb{R}^{d} $ とし，$V \neq \emptyset$ とする。
このとき，ベクトル値関数 $ \displaystyle \boldsymbol{v} \, \boldsymbol{:} \ V \to \mathbb{R}^{d} $ を，$V$ 上の ベクトル場 と呼ぶ。
${}$$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ をベクトル場とする。また，ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が，
\begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \ \ \ \left| \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \right| = 1 \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \textsf{(b)} \ \ \ \forall \, \boldsymbol{p} \in \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) \, \boldsymbol{,} \quad \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \cdot \left( \boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}_{0} \right) = 0 \end{aligned} \end{align}
を満たすとする。
このとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ を，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の単位法ベクトル と呼び，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) $ と表す。
${}$
接平面 (一般型) と 法ベクトル
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とする。
このとき，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\exists \, \Gamma \subset S \, \boldsymbol{:} \,
\textsf{
十分小さい、有界な、空でない単連結開集合 (または閉集合)
}
\ \boldsymbol{;}
\\[7.5pt]
&
\exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,}
\quad
\exists \, \gamma \in C^{1} ( D ) \, \boldsymbol{,}
\quad
\exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \
\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}
\, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;}
\\[7.5pt]
&
\left[
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, \boldsymbol{;} \, \gamma \right)
\ \quad \textsf{かつ} \ \quad
\boldsymbol{p}_{0} \in \Gamma
\
\right]
\end{aligned}
\end{align*}
と表される。
(ここで，$S$ が有界領域ならば $\Gamma$ は開集合で取り，$S$ が有界閉集合ならば $\Gamma$ は閉集合で取る。)
また，$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を，$\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
${}$
$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) := \left( x^{0} \boldsymbol{,} \, x_{n+1}^{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とする。
このとき，$\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}$ における $\tilde{ \Gamma }$ 上の 接平面 $
\mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } )
$ を，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } )
:=
\left\{
\
\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}
+
\sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right)
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial \gamma}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
\ \ \middle\vert \ \
x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in D
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
として定める。
${}$
$ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とする。
また，$
\boldsymbol{\nu}
\, \boldsymbol{:} \
\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}
$ をベクトル場とし，ベクトル $
\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)
$ が，
\begin{align}
\begin{aligned}
&
\textsf{(a)}
\ \ \
\left|
\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)
\right|
=
1
\ \boldsymbol{;}
\\[7.5pt]
&
\textsf{(b)}
\ \ \
\forall \,
\tilde{ \boldsymbol{p} }
\in
\mathrm{T}_{\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}} ( \tilde{ \Gamma } )
\, \boldsymbol{,} \quad
\boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)
\cdot
\left( \tilde{ \boldsymbol{p} } - \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)
=
0
\end{aligned}
\end{align}
を満たすとする。
このとき，$ \boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) $ を，$\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}$ における $\tilde{ \Gamma }$ の単位法ベクトル と呼び，$ \boldsymbol{\nu} \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}} ( \tilde{ \Gamma } ) $ と表す。
${}$
法ベクトル
$n \geq 2$ とする。
また，$\boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を，$\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
${}$
$\boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ とする。このとき，ベクトル $\boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} := \sum_{k=1}^{n+1} \biggl( \det \left[ \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \right] \biggr) \, \boldsymbol{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を一次独立なベクトルとし，$\boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \neq \boldsymbol{0}$ を満たすとする。
このとき，各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，$\left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right) \perp \boldsymbol{a}_{j}$ となる。
実際に，内積を考えると，各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right)
\boldsymbol{\cdot}
\boldsymbol{a}_{j}
&=
\sum_{k=1}^{n+1}
\biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \,
\boldsymbol{e}_{k}
\boldsymbol{\cdot}
\boldsymbol{a}_{j}
\\[5pt]
&=
\sum_{k=1}^{n+1}
\biggl|
\ \left( \boldsymbol{e}_{k} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} \right) \, \boldsymbol{e}_{k} \
\ \boldsymbol{a}_{1} \
\ \cdots \
\ \boldsymbol{a}_{n} \
\biggr|
\\[5pt]
&=
\biggl| \ \boldsymbol{a}_{j} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr|
=
0 \, \boldsymbol{.}
\end{aligned}
\end{align*}
${}$
スカラー値関数の面積分
$n \geq 2$ とする。
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
${}$
$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数とし，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
t
:=
\left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right)
=
\begin{bmatrix}
t_{1} \\
\vdots \\
t_{n}
\end{bmatrix}
\in
D \, \boldsymbol{,}
\qquad
\boldsymbol{r} ( t )
:=
\Bigl( t ,\, f (t) \Bigr)
=
\begin{bmatrix}
t \\
f (t)
\end{bmatrix}
\in
S
\end{aligned}
\end{align*}
とする。このとき，$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) := \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとし，$\boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
また，$E_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を単位行列とする。
${}$
$t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) \, \boldsymbol{,} \ \ \ f \in C^{1} (D)$ より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{j}} ( t ) = \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial f}{\partial t_{j}} ( t ) \end{bmatrix} \qquad \left( \ \forall \, j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\} \ \right) \end{aligned} \end{align*}
であるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) &= \sum_{k=1}^{n} \left| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{k} + \left| \ \boldsymbol{e}_{n+1} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{n+1} \\[10pt] &= \sum_{k=1}^{n} \begin{vmatrix} e_{k} & E_{n} \\[2.5pt] 0 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{k} + \begin{vmatrix} \boldsymbol{0} & E_{n} \\[2.5pt] 1 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{n+1} \\[10pt] &= \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 0 \end{bmatrix} + \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \\[10pt] &= \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| &= \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \end{aligned} \end{align*}
となるので，面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \ dt \end{aligned} % \tag*{[S1]} \end{align*}
と表されることが分かる。
${}$例外的に，$n=1$ の場合の面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) := \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \sqrt{ \left\{ \dfrac{df}{dt} (t) \right\}^{2} + 1 } \ dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
${}$さらに例外的に，$n=0$ の場合の面積分は，$a \boldsymbol{,} \, b \in \mathbb{R}$ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} S := \left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \int_{S} \varphi \, dS = \int_{\left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\}} \varphi \, dS := \left\{ \begin{array}{cl} \varphi ( a ) + \varphi ( b ) &{\quad} \left( \, a \neq b \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, a = b \, \right) \end{array} \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。
${}$面積分 $\displaystyle \int_{S} 1 \, dS$ は，$n \geq 2$ ならば曲面 $S$ の曲面積を表し，$n=1$ ならば曲線 $S$ の長さを表す。
${}$特に，$\displaystyle \int_{\emptyset} \varphi \, dS := 0$ と定める。
${}$$n \geq 2$のとき，$dS = dS ( \boldsymbol{r} )$ および $\displaystyle dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) := \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| \, dt $ を 面積要素 と呼ぶ。
${}$
法ベクトルの方向 (上向き／下向き)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，部分集合 $H ( f ) ,\ L ( f ) \subset D \times \mathbb{R}$ をそれぞれ，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
H ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z > f (x)
\biggr\} \ \boldsymbol{,}
\qquad
L ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z < f (x)
\biggr\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
${}$
$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$\boldsymbol{\nu} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の単位法ベクトルとする。このとき，
$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 上向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \geq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in H ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める；
$\\[5pt]$$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 下向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \leq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in L ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める。
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S$ とし，$\boldsymbol{\nu} := \left( \nu ,\, \nu_{n+1} \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu}
:=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\begin{bmatrix}
- \nabla f ( x^{0} ) \\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
% \qquad
% \left( \, \forall \, t \in D \, \right)
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。このとき，$\boldsymbol{\nu}$ は上向きの単位法ベクトルである。
実際に，まず $\left| \boldsymbol{\nu} \right| = 1$ であり； 次に，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu}
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\left\{
- \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
+
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\right\}
=
0
\qquad
\left( \, \forall \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, n \, \right\} \, \right)
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $\boldsymbol{\nu} \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)$ であり； 最後に，任意の十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\left( x_{n+1}^{0} + \varepsilon \nu_{n+1} \right)
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
&=
f ( x^{0} ) + \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
\\[5pt]
&=
\left\{ f ( x^{0} ) - f ( x^{0} + \varepsilon \nu ) \right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&>
\left\{
- \nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \left( \varepsilon \nu \right)
-
\varepsilon \cdot 1
\right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&=
- \nabla f ( x^{0} )
\boldsymbol{\cdot}
\left\{
\varepsilon
\cdot
\dfrac{
- \nabla f ( x^{0} )
}{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }
}
\right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{
\nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \nabla f ( x^{0} )
}{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }
}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{\left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\left\{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 } - 1
\right\}
\\[5pt]
&\geq
0
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $\boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in H ( f )$ である。
${}$
閉曲面の内部と外部
$\displaystyle n \geq 1 \, \boldsymbol{,} \ \ \ k \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ \infty \right\} \cup \left\{ \omega \right\} $ とする。
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界閉集合である $C^{k}$ 級曲面 (または曲線) とする。
また，任意の点列 $
\displaystyle
\left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty}
\in
\left( \mathbb{R}^{n+1} \right)^{\mathbb{N}}
$ に対して，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\Lambda_{j}
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\left( 1 - \lambda \right) \boldsymbol{a}_{j} + \lambda \boldsymbol{a}_{j+1}
\ \ \middle\vert \ \
0 \leq \lambda < 1
\
\right\}
\qquad
\left( \ \forall \, j \in \mathbb{N} \ \right)
\, \boldsymbol{,}
\\[10pt]
&
\Lambda \left( \boldsymbol{a} \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\left( 1 - \lambda \right) \boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{a}_{1}
\ \ \middle\vert \ \
0 \leq \lambda < 1
\
\right\}
\cup
\bigcup_{j=1}^{\infty} \Lambda_{j}
\qquad
\left( \ \forall \, \boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right)
\ \boldsymbol{;}
\\[10pt]
&
\operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right)
:=
\inf_{ \boldsymbol{p} \in S } \left| \boldsymbol{p} - \boldsymbol{a}_{j} \right|
\qquad
\left( \ \forall \, j \in \mathbb{N} \ \right)
\end{aligned}
\end{align}
と定める。
${}$
$\mathbb{R}^{n+1} \setminus S$ 内の部分集合 $
\operatorname{Int} \left( S \right)
\boldsymbol{,} \, \
\operatorname{Ext} \left( S \right)
$ をそれぞれ，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\operatorname{Int} \left( S \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S
\ \ \ \middle\vert \ \ \
\begin{aligned}
&
\forall \,
\left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty}
\in
\left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}}
\, \boldsymbol{,}
\\[5pt]
&
\left[
\
\Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset
\ \ \Longrightarrow \ \
\lim_{j \to \infty} \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right)
<
+ \infty
\
\right]
\end{aligned}
\
\right\}
\ \boldsymbol{,}
\\[15pt]
&
\operatorname{Ext} \left( S \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S
\ \ \ \middle\vert \ \ \
\begin{aligned}
&
\exists \,
\left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty}
\in
\left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}}
\ \boldsymbol{;}
\\[5pt]
&
\left[
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset
\quad \textsf{かつ} \quad
\lim_{j \to \infty} \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right)
=
+ \infty
\
\right]
\end{aligned}
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
と定める。このとき，
$\operatorname{Int} \left( S \right) \neq \emptyset$ のとき，$n \geq 2$ ならば $S$ を (単純) 閉曲面 と呼び，$n = 1$ ならば $S$ を (単純) 閉曲線 と呼ぶ；
$S$ が閉曲面のとき，$\operatorname{Int} \left( S \right)$ を $S$ の 内部 と呼び，$\operatorname{Ext} \left( S \right)$ を $S$ の 外部 と呼ぶ。
${}$
法ベクトルの方向 (外向き／内向き)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級閉曲面とする。
また，開球 $
B \left( \boldsymbol{x}_{0} ,\, r \right) \subset \mathbb{R}^{n+1}
\ \ \
\left(
\,
\boldsymbol{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,} \ \ r > 0
\,
\right)
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
B \left( \boldsymbol{x}_{0} ,\, r \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n+1}
\ \ \middle\vert \ \
\left| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_{0} \right| < r
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
${}$
$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$\boldsymbol{\nu} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の単位法ベクトルとする。このとき，
$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 外向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) \cap \operatorname{Ext} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める；
${}$$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 内向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) \cap \operatorname{Int} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める。
通常，法ベクトルの外向きと内向きは，外部と内部が存在する閉曲面に対して決められる。
(もちろん，非有界曲面でも内と外を決められる場合がある。)
${}$
有界な$C^{1}$級曲面上におけるスカラー面積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とする。
このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m} \subset S \, \boldsymbol{:} \, \textsf{十分小さい、有界な、空でない単連結開集合 (または閉集合)} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
(ここで，$S$ が有界領域の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ はすべて開集合で取り，$S$ が有界閉集合の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ はすべて閉集合で取る。)
${}$また，$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数とし，$ \displaystyle \varSigma := \bigcup \limits_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} ) $ とする。このとき，関数 $ \displaystyle \tilde{\varphi} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \varphi ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \varphi ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \varphi ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
${}$[1 の分割] $\ \ $ さらに，ある有限な実数値関数列 $ \displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} } $ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) \cap \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \varSigma \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。
$\\[0pt]$
（ここで補足しておくと，$N \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \Omega \subset \mathbb{R}^{N} \, \boldsymbol{,} \ \ \ \psi \, \boldsymbol{:} \, \Omega \to \mathbb{R}$ としたとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \operatorname{supp} \left( \psi \right) = \operatorname{supp}_{ \Omega } \left( \psi \right) := \Omega \cap \operatorname{Cl}_{ \mathbb{R}^{N} } \bigl( \Set{ \ x \in \Omega \ \, | \, \ \psi (x) \neq 0 \ } \bigr) = \operatorname{Cl}_{ \Omega } \Bigl( \Omega \setminus \psi^{-1} \left( \left\{ 0 \right\} \right) \Bigr) \end{aligned} \end{align*}
である。）
${}$最後に，各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\[] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$
$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
&:=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \cdot \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
\\[7.5pt]
&\hphantom{:}=
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) )
\cdot
\tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\cdot
\sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
\ dt
&{\quad}
\left( \ n \geq 2 \ \right)
\\[5pt]
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) )
\cdot
\tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\cdot
\sqrt{ \left\{ \dfrac{d \gamma_{i}}{dt} (t) \right\}^{2} + 1 }
\ dt
&{\quad}
\left( \ n = 1 \ \right)
\\[10pt]
\varphi \left( \min S \right) + \varphi \left( \max S \right)
&{\quad}
\left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 2 \ \right)
\\[10pt]
0
&{\quad}
\left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 1 \ \right)
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\end{align*}
として定める。（なお，$n=0$ の場合は $1 \leq \# S \leq 2$ とする。）
1 の分割を使用しない場合は，包除原理を用いて，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
=
\sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
\sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
\int_{ \sigma_{j_{1}} \left( S_{j_{1}} \right) \cap \dots \cap \sigma_{j_{k}} \left( S_{j_{k}} \right) }
\tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
% \\[5pt]
% &{\hphantom{:}}=
% \sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
% \sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
% \int_{ D_{j_{1}} \cap \dots \cap D_{j_{k}} }
% \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
% \cdot
% \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
% \ dt
\end{aligned}
\end{align*}
を計算することになる（と思われる）が，煩雑すぎてあまり現実的ではない。
実際に具体的な問題を処理する場合には，1 の分割も包除原理も使用しないように，適切に曲面を分割することになる。
${}$
ベクトル値関数の面積分
$n \geq 2$ とする。
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
$\\[5pt]$
$\boldsymbol{A} \in C^{0} ( S ,\, \mathbb{R}^{n+1} )$ を実ベクトル値関数とし，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
t
:=
\left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right)
=
\begin{bmatrix}
t_{1} \\
\vdots \\
t_{n}
\end{bmatrix}
\in
D \, \boldsymbol{,}
\qquad
\boldsymbol{r} ( t )
:=
\Bigl( t ,\, f (t) \Bigr)
=
\begin{bmatrix}
t \\
f (t)
\end{bmatrix}
\in
S \ \boldsymbol{;}
\\[10pt]
&
% \boldsymbol{\nu}
% :=
% \left( \nu_{1} ,\, \dots ,\, \nu_{n} \right)
% =
% \begin{bmatrix}
% \nu_{1} \\
% \vdots \\
% \nu_{n}
% \end{bmatrix}
% \in
% \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,}
% \qquad
\boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ( t ) )
:=
\dfrac{
\left( -1 \right)^{n}
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
}{
\left|
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right|
}
\in
\mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,}
\qquad
dS ( \boldsymbol{r} ( t ) )
:=
\left|
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right|
\, dt
\end{aligned}
\end{align*}
とする。このとき，$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} &:= \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS = \int_{S} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) \\[5pt] &\hphantom{:}= \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \left\{ \left( -1 \right)^{n} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right\} \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
スカラー面積分の場合と同様に，$t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) \, \boldsymbol{,} \ \ \ f \in C^{1} (D)$ より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) = \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{,} \qquad \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| = \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \end{aligned} \end{align*}
であるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } } \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{,} \qquad dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) = \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \ dt \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，ベクトル面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} = \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \, dt \end{aligned} % \tag*{[S2]} \end{align*}
と表されることが分かる。
${}$例外的に，$n=1$ の場合のベクトル面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} := \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \begin{bmatrix} - \dfrac{df}{dt} ( t ) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
${}$さらに例外的に，$n=0$ の場合のベクトル面積分は，$a \boldsymbol{,} \, b \in \mathbb{R}$ かつ $a \leq b$ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} S := \left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} = \int_{\left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS := \left\{ \begin{array}{cl} \boldsymbol{A} ( b ) - \boldsymbol{A} ( a ) &{\quad} \left( \, a < b \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, a = b \, \right) \end{array} \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。(特に，$a < b$ ならば $ \boldsymbol{\nu} (a) := -1 \, \boldsymbol{,} \ \ \boldsymbol{\nu} (b) := 1 $ と定める。)
${}$$\varphi := \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu}$ と置いた場合を考える。このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} = \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS = \int_{S} \varphi \, dS \qquad \textsf{かつ} \qquad \varphi \in C^{0} (S) \end{aligned} \end{align*}
となり，スカラー面積分に帰着する。
${}$特に，$\displaystyle \int_{\emptyset} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} := 0$ と定める。
${}$$n \geq 2$のとき，$d \boldsymbol{S} := \boldsymbol{\nu} \, dS$ および $ \displaystyle d \boldsymbol{S} ( \boldsymbol{r} ) = \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) = \left( -1 \right)^{n} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ dt $ を ベクトル面積要素 と呼ぶ。
${}$
有界な$C^{1}$級曲面上におけるベクトル面積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とする。
このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m} \subset S \, \boldsymbol{:} \, \textsf{十分小さい、有界な、空でない単連結開集合 (または閉集合)} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
(ここで，$S$ が有界領域の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ はすべて開集合で取り，$S$ が有界閉集合の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ はすべて閉集合で取る。)
${}$また，$\boldsymbol{A} \in C^{0} ( S ,\, \mathbb{R}^{n+1} )$ を実ベクトル値関数とし，$\displaystyle \varSigma := \bigcup \limits_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} )$ とする。このとき，関数 $\tilde{\boldsymbol{A}} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \boldsymbol{A} ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{0} &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
${}$[1 の分割] $\ \ $ さらに，ある有限な実数値関数列 $\displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} }$ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) \cap \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \Sigma \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。${}$
各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\[0pt] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$各 $k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，$ \displaystyle \boldsymbol{\nu}_{k} \, \boldsymbol{:} \, \sigma_{k} \left( S_{k} \right) \to \mathbb{R}^{n+1} $ を単位法ベクトル場とし，合同変換 $ \displaystyle \sigma_{k} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ に対応する回転行列を $R_{k} \in \mathbb{R}^{ \left( n+1 \right) \times \left( n+1 \right) }$ とする。
このとき，条件
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \textsf{(A)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \Bigl[ \ \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \qquad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset \ \Bigr] \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(B)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \ S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset \qquad \Longrightarrow \qquad \forall \, \boldsymbol{p} \in S_{i} \cap S_{j} \, \boldsymbol{,} \quad R_{i}^{-1} \, \boldsymbol{\nu}_{i} \left( \sigma_{i} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) = R_{j}^{-1} \, \boldsymbol{\nu}_{j} \left( \sigma_{j} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) \ \right] \ \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(C)} \quad & n \geq 1 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \forall \, k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \forall \, t \in D_{k} \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{\nu}_{k} \left( \boldsymbol{r}_{k} \left( t \right) \right) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{k} (t) \right|^{2} + 1 } } \begin{bmatrix} - \nabla \gamma_{k} (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{align*}
を仮定する。
${}$
$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
&:=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{r} )
\boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} ( \boldsymbol{r} )
\\[10pt]
&\hphantom{:}=
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
- \nabla \gamma_{i} (t) \\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
\, dt
&{\quad}
\left( \ n \geq 2 \ \right)
\\[10pt]
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
- \dfrac{ d \gamma_{i} }{dt} ( t )
\\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
\, dt
&{\quad}
\left( \ n = 1 \ \right)
\\[15pt]
\displaystyle
\boldsymbol{A} \left( \max S \right)
-
\boldsymbol{A} \left( \min S \right)
&{\quad}
\left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 2 \ \right)
\\[10pt]
\displaystyle
0
&{\quad}
\left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 1 \ \right)
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\end{align*}
として定める。（なお，$n=0$ の場合は $1 \leq \# S \leq 2$ とする。）
${}$
次回
『
面積分学習記録 (2)
』に続きます。
$\\[5pt]$
参考文献
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
