面積分学習記録 (1) 【定義】
概要
この記事は，面積分の学習記録を，メモとしてまとめたものです。
以下では，特に断りのない限り，$n \in \mathbb{N}$ とします。
(ここで，$\mathbb{N}$ は正の整数全体の集合。)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を空でない有界集合とします。
また，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
C^{k} (U)
:=
\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
f \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$f$\ は\ 連続}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k = 0 \ \right)
\\[5pt]
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
f \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$f$\ は\ $k$\ 回連続微分可能}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k \in \mathbb{N} \cup \left\{ \infty \right\} \ \right)
\\[5pt]
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
f \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$f$\ は\ 解析関数}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k = \omega \ \right) \, \boldsymbol{,}
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\\[10pt]
&
\begin{aligned}
C^{k} \! \left( U \, \boldsymbol{;} \, \mathbb{R}^{m} \right)
:=
\left\{
\begin{array}{ll}
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
\boldsymbol{v} \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}^{m}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$\boldsymbol{v}$ は\ 連続}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k = 0 \ \right)
\\[5pt]
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
\boldsymbol{v} \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}^{m}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$\boldsymbol{v}$\ は\ $k$\ 回連続微分可能}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k \in \mathbb{N} \cup \left\{ \infty \right\} \ \right)
\\[5pt]
\left\{
\vphantom{\Bigl(\Bigr)}
\
\boldsymbol{v} \, \boldsymbol{:} \, U \to \mathbb{R}^{m}
\ \ \middle\vert \ \
\textsf{$\boldsymbol{v}$\ は\ 解析関数}
\
\right\}
&{\quad}
\left( \ k = \omega \ \right)
\\[5pt]
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\\[10pt]
&
\begin{aligned}
\left(
\
d \in \mathbb{N} \, \boldsymbol{,}\ \
U \subset \mathbb{R}^{d} \, \boldsymbol{,}\ \
U \neq \emptyset \, \boldsymbol{,}\ \
m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 2 ,\, \infty \right)
\
\right)
\end{aligned}
\end{align*}
とします。
${}$
関数のグラフ
$D \subset \mathbb{R}^{n}$ を空でない集合とし，$ f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R} $ を実数値関数とする。
このとき，集合 $
\displaystyle
G \left( D \, ; \, f \right) \subset D \times f(D)
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
G \left( D \, ; \, f \right)
:=
\Bigl\{
\,
\left( x ,\, f (x) \right)
\ \, \Big{|} \, \
x \in D
\,
\Bigr\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
${}$
法ベクトル
$ \boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1} $ を，$\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
$
\boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}
$ とする。このとき，ベクトル $
\left(
\boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n}
\right)^{\boldsymbol{\perp}}
\in
\mathbb{R}^{n+1}
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\left(
\boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n}
\right)^{\boldsymbol{\perp}}
:=
\sum_{k=1}^{n+1}
\biggl(
\det
\left[
\
\boldsymbol{e}_{k} \ \
\boldsymbol{a}_{1} \ \
\cdots \ \
\boldsymbol{a}_{n}
\
\right]
\biggr) \,
\boldsymbol{e}_{k}
=
\sum_{k=1}^{n+1}
\biggl|
\
\boldsymbol{e}_{k} \ \
\boldsymbol{a}_{1} \ \
\cdots \ \
\boldsymbol{a}_{n}
\
\biggr| \,
\boldsymbol{e}_{k}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
$ \boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1} $ を一次独立なベクトルとし，$ \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right)^{\boldsymbol{\perp}} \neq \boldsymbol{0} $ を満たすとする。
このとき，各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，$ \left( \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right) \perp \boldsymbol{a}_{j} $ となる。
実際に，内積を考えると，各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left( \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} &= \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} \\[5pt] &= \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \left( \boldsymbol{e}_{k} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} \right) \, \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \\[5pt] &= \biggl| \ \boldsymbol{a}_{j} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| = 0 \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}$n = 1$ の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{a}_{1}^{\boldsymbol{\perp}} := \sum_{k=1}^{2} \biggl( \det \left[ \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \right] \biggr) \, \boldsymbol{e}_{k} = \sum_{k=1}^{2} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} % = % \begin{bmatrix} % a_{2 ,\, 1} \\ % - a_{1 ,\, 1} % \end{bmatrix} \end{aligned} \end{align*}
と表される。
${}$
曲面の滑らかさ
$\displaystyle k \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ \infty \right\} \cup \left\{ \omega \right\} $ とする。
$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & S \ \mathsf{上の任意の点における開近傍} \ \ B \subset \mathbb{R}^{n+1} \ \ \mathsf{に対して} \boldsymbol{,} \quad \Gamma := S \cap B \ \ \mathsf{と置くと} \boldsymbol{,} \\[7.5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \ \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \ \ \mathsf{が成り立つ} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$d \in \mathbb{N}$ とする。このとき，合同変換 $\displaystyle \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}^{d}$ は，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\exists \, R \in \mathbb{R}^{d \times d} \, \boldsymbol{,} \quad
\exists \, b \in \mathbb{R}^{d} \ \ \boldsymbol{;} \quad
\forall \, x \in \mathbb{R}^{d} \, \boldsymbol{,} \, \qquad
\Biggl[
\ \
\sigma (x) = R x + b
\quad \textsf{かつ} \quad
R^{\mathsf{T}} R = E_{d}
\ \ \
\Biggr]
\end{aligned}
\end{align*}
として定義される。（ここで，$R^{\mathsf{T}}$ は $R$ の転置行列であり，$E_{d} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ は単位行列である。）
${}$
なお，曲面が媒介変数表示されるような場合，$S$ の $C^{k}$ 性は以下のようになる：
$S$ が有界な $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & S \ \mathsf{上の任意の点における開近傍} \ \ B \subset \mathbb{R}^{n+1} \ \ \mathsf{に対して} \boldsymbol{,} \quad \Gamma := S \cap B \ \ \mathsf{と置くと} \boldsymbol{,} \\[7.5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (D) \ \boldsymbol{;} \\[10pt] & \quad \left\{ \begin{aligned} & \mathsf{ベクトル値関数} \ \ \ \begin{aligned} \boldsymbol{r} \, \boldsymbol{:} \, D \ni t \longmapsto \boldsymbol{r} ( t ) := \begin{bmatrix} \gamma_{1} (t) \\ \vdots \\ \gamma_{n} (t) \\ \gamma_{n+1} (t) \end{bmatrix} \in \Gamma \end{aligned} \ \ \ \mathsf{が\ 同相写像} % \, \boldsymbol{,} \\[7.5pt] % \Gamma % = % G \left( \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) % \quad % \mathsf{かつ} % \quad & \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} \neq \boldsymbol{0} \qquad \left( \ \forall \, t = \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \in D \ \right) \end{aligned} \right. \\[10pt] & \mathsf{が成り立つ} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
${}$
接平面 と 単位法ベクトル (1)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を，$\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S $ とする。
このとき，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ 上の 接平面 $
\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)
$ を，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)
:=
\left\{
\
\boldsymbol{p}_{0} + \sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right)
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
\ \ \ \middle\vert \ \ \
x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n}
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
と定める。
$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ S \to \mathbb{R}^{n+1} $ をベクトル値関数とする。
- ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が，
\begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \qquad \forall \, \boldsymbol{p} \in \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) \, \boldsymbol{,} \quad \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \cdot \left( \boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}_{0} \right) = 0 \end{aligned} \end{align}
を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ を，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の法ベクトル と呼び，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) $ と表す。
${}$ - また，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の法ベクトル $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が，
\begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(b)} \qquad \left| \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \right| = 1 \end{aligned} \end{align}
を満たすとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ を 単位法ベクトル と呼ぶ。
$\displaystyle
d \in \mathbb{N}
\, \boldsymbol{,} \ \
m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 2 ,\, \infty \right)
\, \boldsymbol{,} \ \
V \subset \mathbb{R}^{d}
\, \boldsymbol{,} \ \
W \subset \mathbb{R}^{m}
$ とし，$V \neq \emptyset \, \boldsymbol{,} \ \ W \neq \emptyset$ とする。
このとき，ベクトル値関数 $
\displaystyle
\boldsymbol{v} \, \boldsymbol{:} \ V \to W
$ を，$V$ 上の ベクトル場 と呼ぶ。
${}$
接平面 と 単位法ベクトル (2)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とする。
また，$B \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $\boldsymbol{p}_{0}$ における開近傍とする。
このとき，$\Gamma := S \cap B$ と置くと，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,}
\quad
\exists \, \gamma \in C^{1} ( D ) \, \boldsymbol{,}
\quad
\exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \
\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}
\, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;}
\\[7.5pt]
&
\left[
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right)
\ \quad \textsf{かつ} \ \quad
\boldsymbol{p}_{0} \in \Gamma
\
\right]
\end{aligned}
\end{align*}
と表される。
さらに，$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を，$\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$ x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) := \left( x^{0} \boldsymbol{,} \, x_{n+1}^{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とする。
このとき，$\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}$ における $\tilde{ \Gamma }$ 上の 接平面 $
\mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } )
$ を，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } )
:=
\left\{
\
\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}
+
\sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right)
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial \gamma}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
\ \ \middle\vert \ \
x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n}
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
と定める。
$ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} := \sigma \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \tilde{ \Gamma } := \sigma \left( \Gamma \right) $ とし，$ \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \, \boldsymbol{:} \ \tilde{ \Gamma } \to \mathbb{R}^{n+1} $ をベクトル場とする。
- ベクトル $\tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)$ が，
\begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(a)} \qquad \forall \, \tilde{ \boldsymbol{p} } \in \mathrm{T}_{ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} } ( \tilde{ \Gamma } ) \, \boldsymbol{,} \quad \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \cdot \left( \tilde{ \boldsymbol{p} } - \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) = 0 \end{aligned} \end{align}
を満たすとき，$ \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) $ を，$ \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} $ における $\tilde{ \Gamma }$ の法ベクトル と呼び，$ \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \perp \mathrm{T}_{\tilde{ \boldsymbol{p} }_{0}} ( \tilde{ \Gamma } ) $ と表す。
${}$ - また，$\tilde{ \boldsymbol{p} }$ における $\tilde{ \Gamma }$ の法ベクトル $
\tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right)
$ が，
\begin{align} \begin{aligned} & \textsf{(b)} \qquad \left| \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) \right| = 1 \end{aligned} \end{align}
を満たすとき，$ \tilde{ \boldsymbol{\nu} } \left( \tilde{ \boldsymbol{p} }_{0} \right) $ を 単位法ベクトル と呼ぶ。
${}$
スカラー値関数の面積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
$\varphi \in C^{0} ( S )$ とし，関数 $\boldsymbol{r} \, \boldsymbol{:} \ D \to S$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{r} ( t )
:=
% \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr)
% =
\begin{bmatrix}
t \\
f (t)
\end{bmatrix}
% \in
% S
\qquad
\left(
\
\forall \,
t
% =
% \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right)
=
\begin{bmatrix}
t_{1} \\
\vdots \\
t_{n}
\end{bmatrix}
\in
D
\
\right)
\end{aligned}
\end{align*}
とする。
このとき，$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
=
\int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} )
:=
{\large\int}_{D}
\
\varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) )
\cdot
\left|
\left(
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right)^{\boldsymbol{\perp}}
\right|
\, dt
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとし，$\boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
また，$E_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を単位行列とする。
${}$
$t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) \, \boldsymbol{,} \ \ \ f \in C^{1} (D)$ より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{j}} ( t ) = \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial f}{\partial t_{j}} ( t ) \end{bmatrix} \qquad \left( \ \forall \, j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\} \ \right) \end{aligned} \end{align*}
であるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} &= \sum_{k=1}^{n} \left| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{k} + \left| \ \boldsymbol{e}_{n+1} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{n+1} \\[10pt] &= \sum_{k=1}^{n} \begin{vmatrix} e_{k} & E_{n} \\[2.5pt] 0 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{k} + \begin{vmatrix} \boldsymbol{0} & E_{n} \\[2.5pt] 1 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{n+1} \\[10pt] &= \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 0 \end{bmatrix} + \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} \boldsymbol{0} \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \\[10pt] &= \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left| \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right| &= \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \end{aligned} \end{align*}
となるので，面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \ dt \end{aligned} % \tag*{[S1]} \end{align*}
と表されることが分かる。
${}$例外的に，$n=0$ の場合の面積分は，$a \boldsymbol{,} \, b \in \mathbb{R}$ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} S := \left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \int_{S} \varphi \, dS % = % \int_{\left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\}} \varphi \, dS := \left\{ \begin{array}{cl} \varphi ( a ) + \varphi ( b ) &{\quad} \left( \, a \neq b \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, a = b \, \right) \end{array} \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。
${}$面積分 $\displaystyle \int_{S} 1 \, dS$ は，$n \geq 2$ ならば曲面 $S$ の曲面積を表し，$n=1$ ならば曲線 $S$ の長さを表す。
${}$$n \geq 2$のとき，$dS$ を 面積要素 (または 面素) と呼び，
\begin{align*} \qquad & dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) := \left| \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right| \, dt \end{align*}
により定める。
${}$
法ベクトルの方向 (上向き／下向き)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，集合 $H ( f ) \boldsymbol{,} \ L ( f ) \subset D \times \mathbb{R}$ をそれぞれ，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
H ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z > f (x)
\biggr\} \ \boldsymbol{,}
\qquad
L ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z < f (x)
\biggr\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in \mathbb{R}^{n+1} $ を $\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ の単位法ベクトルとする。
このとき，
$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 上向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \geq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in H ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める；
$\\[5pt]$$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 下向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \leq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in L ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める。
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$
x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D
\, \boldsymbol{,} \ \ \
\boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S
$ とし，$
\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)
=
\left( \nu ,\, \nu_{n+1} \right)
\in
\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)
:=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\begin{bmatrix}
- \nabla f ( x^{0} ) \\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
% \qquad
% \left( \, \forall \, t \in D \, \right)
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。このとき，$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ は上向きの単位法ベクトルである。
実際に，
まず $\left| \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \right| = 1$ である；
次に，各 $j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, n \, \right\}$ に対して，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\left\{
- \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
+
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\right\}
=
0
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $
\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)
\perp
\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)
$ である；
最後に，任意の十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\left( x_{n+1}^{0} + \varepsilon \nu_{n+1} \right)
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
&=
f ( x^{0} ) + \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
\\[5pt]
&=
\left\{ f ( x^{0} ) - f ( x^{0} + \varepsilon \nu ) \right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&>
\left\{
- \nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \left( \varepsilon \nu \right)
-
\varepsilon \cdot 1
\right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&=
- \nabla f ( x^{0} )
\boldsymbol{\cdot}
\left\{
\varepsilon
\cdot
\dfrac{
- \nabla f ( x^{0} )
}{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }
}
\right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{
\nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \nabla f ( x^{0} )
}{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }
}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{\left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[10pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\left\{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 } - 1
\right\}
\\[5pt]
&\geq
0
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $
\boldsymbol{p}_{0}
+
\varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)
\in
H ( f )
$ である。
${}$
閉曲面の内部と外部
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
% &
% S \ \mathsf{上の任意の点における開近傍} \ \
% B \subset \mathbb{R}^{n+1} \ \ \mathsf{に対して} \boldsymbol{,} \quad
% \Gamma := S \cap B \ \ \mathsf{と置くと} \boldsymbol{,}
% \\[7.5pt]
&
\exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad
\exists \,
\gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1}
\in
C^{1} (D)
\ \boldsymbol{;}
\\[10pt]
&
\quad
\left\{
\begin{aligned}
&
% \mathsf{ベクトル値関数}
% \ \ \
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}
\, \boldsymbol{:} \,
D
\ni
t
\longmapsto
\boldsymbol{r} ( t )
:=
\begin{bmatrix}
\gamma_{1} (t) \\
\vdots \\
\gamma_{n} (t) \\
\gamma_{n+1} (t)
\end{bmatrix}
\in
S
\end{aligned}
\ \ \
\mathsf{が\ 同相写像}
% \, \boldsymbol{,}
\\[7.5pt]
% \Gamma
% =
% G \left( \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right)
% \quad
% \mathsf{かつ}
% \quad
&
\left(
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right)^{\boldsymbol{\perp}}
\neq
\boldsymbol{0}
\qquad
\left( \ \forall \, t = \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \in D \ \right)
\end{aligned}
\right.
% \\[10pt]
% &
% \mathsf{が成り立つ}
\end{aligned}
\end{align*}
が成り立つとする。
また，$\varpi_{n+1}$ を $n+1$ 次元単位球体の体積とし，
関数 $
\deg \left( S ,\, \boldsymbol{\cdot} \ \right)
\, \boldsymbol{:} \
\mathbb{R}^{n+1} \setminus S \to \mathbb{R}
$ を，任意の $\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S$ に対して，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\deg \left( S ,\, \boldsymbol{a} \right)
:=
\dfrac{1}{ \left( n+1 \right) \varpi_{n+1} }
\
{\large\int}_{D}
\
\dfrac{
\boldsymbol{r} (t) - \boldsymbol{a}
}{
\left| \boldsymbol{r} (t) - \boldsymbol{a} \right|^{n+1}
}
\boldsymbol{\cdot}
\left\{
\left( -1 \right)^{n+1}
\left(
\dfrac{ \partial \boldsymbol{r} }{ \partial t_{1} } (t)
\wedge \cdots \wedge
\dfrac{ \partial \boldsymbol{r} }{ \partial t_{n} } (t)
\right)^{ \boldsymbol{\perp} }
\right\}
\, dt
% \qquad
% \left(
% \
% \forall \, \boldsymbol{r}_{0} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S
% \
% \right)
\end{aligned}
\end{align}
と定める。
$\mathbb{R}^{n+1} \setminus S$ 内の部分集合 $
\operatorname{Int} \left( S \right)
\boldsymbol{,} \, \
\operatorname{Ext} \left( S \right)
$ をそれぞれ，
\begin{align}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\operatorname{Int} \left( S \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S
\ \ \middle\vert \ \
\deg \left( S ,\, \boldsymbol{a} \right)
\in
\mathbb{Z} \setminus \left\{ 0 \right\}
% \begin{aligned}
% &
% \forall \,
% \left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty}
% \in
% \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}}
% \, \boldsymbol{,}
% \\[5pt]
% &
% \left[
% \
% \Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset
% \ \ \Longrightarrow \ \
% \lim_{j \to \infty}
% \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right)
% <
% + \infty
% \
% \right]
% \end{aligned}
\
\right\}
\ \boldsymbol{,}
\\[10pt]
&
\operatorname{Ext} \left( S \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S
\ \ \middle\vert \ \
\deg \left( S ,\, \boldsymbol{a} \right) = 0
% \begin{aligned}
% &
% \exists \,
% \left( \boldsymbol{a}_{j} \right)_{j=1}^{\infty}
% \in
% \left( \mathbb{R}^{n+1} \setminus S \right)^{\mathbb{N}}
% \ \boldsymbol{;}
% \\[5pt]
% &
% \left[
% \vphantom{\dfrac{0}{0}}
% \
% \Lambda \left( \boldsymbol{r} \right) \cap S = \emptyset
% \quad \textsf{かつ} \quad
% \lim_{j \to \infty}
% \operatorname{dist} \left( \boldsymbol{a}_{j} \, \boldsymbol{,} \, S \right)
% =
% + \infty
% \
% \right]
% \end{aligned}
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align}
と定める。このとき，
$ \operatorname{Int} \left( S \right) \neq \emptyset $ のとき，$n \geq 2$ ならば $S$ を 閉曲面 と呼び，$ n = 1 $ ならば $S$ を 閉曲線 と呼ぶ；
$S$ が閉曲面のとき，$ \operatorname{Int} \left( S \right) $ を $S$ の 内部 と呼び，$ \operatorname{Ext} \left( S \right) $ を $S$ の 外部 と呼ぶ。
$n \geq 2$ のとき，$n$ 次元単位球面 $ \displaystyle \mathbb{S}^{n} := \left\{ \, x \in \mathbb{R}^{n+1} \ \middle\vert \ \left| x \right| = 1 \, \right\} $ と同相な曲面を 単純閉曲面 と言う。
単位円周 $ \displaystyle \mathbb{S}^{1} := \left\{ \, x \in \mathbb{R}^{2} \ \middle\vert \ \left| x \right| = 1 \, \right\} $ と同相な曲線を 単純閉曲線 と言う。
$S$ を単純閉曲面，$t_{0} \in D$ とし，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{r}_{0} := \boldsymbol{r} (t_{0}) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{\nu}_{0} := \left( -1 \right)^{n+1} \frac{ \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t_{0}) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t_{0}) \right)^{\boldsymbol{\perp}} }{ \left| \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t_{0}) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t_{0}) \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right| } \end{aligned} \end{align}
とする。このとき，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, \delta > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, \delta \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{r}_{0} - \varepsilon \boldsymbol{\nu}_{0} \in \operatorname{Int} \left( S \right) \\[2.5pt] \boldsymbol{r}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu}_{0} \in \operatorname{Ext} \left( S \right) \end{array} \right. \end{aligned} \end{align}
となる。$S$ を単純閉曲面，$\boldsymbol{a} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus S$ とし，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{r}) := \dfrac{1}{ \left( n+1 \right) \varpi_{n+1} } \dfrac{ \boldsymbol{r} - \boldsymbol{a} }{ \left| \boldsymbol{r} - \boldsymbol{a} \right|^{n+1} } \qquad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in S \, \right) \, \boldsymbol{,} \\[10pt] & \boldsymbol{\nu} \ \boldsymbol{:} \ \ S \longrightarrow \left\{ \ \left( -1 \right)^{n+1} \frac{ \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} }{ \left| \left( \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right)^{\boldsymbol{\perp}} \right| } \ \ \ \middle \vert \ \ \ t = \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \in D \ \right\} \end{aligned} \end{align}
とする。このとき，
\begin{align} \qquad & \begin{aligned} \deg \left( S ,\, \boldsymbol{a} \right) &= \int_{D} \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{r} (t)) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} (\boldsymbol{r} (t)) \, dS (\boldsymbol{r} (t)) \\[5pt] &= \int_{S} \boldsymbol{E}_{\boldsymbol{a}} (\boldsymbol{r}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} (\boldsymbol{r}) \, dS (\boldsymbol{r}) \end{aligned} \end{align}
と表される。
${}$
法ベクトルの方向 (外向き／内向き)
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級閉曲面とする。
また，開球 $
B \left( \boldsymbol{x}_{0} ,\, r \right) \subset \mathbb{R}^{n+1}
\ \ \
\left(
\,
\boldsymbol{x}_{0} \in \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,} \ \ r > 0
\,
\right)
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
B \left( \boldsymbol{x}_{0} ,\, r \right)
:=
\left\{
\vphantom{\dfrac{0}{0}}
\
\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n+1}
\ \ \middle\vert \ \
\left| \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}_{0} \right| < r
\
\right\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
$\boldsymbol{p}_{0} \in S$ とし，$ \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\boldsymbol{p}_{0} $ における $S$ の単位法ベクトルとする。
このとき，
$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 外向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in % B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) % \cap \operatorname{Ext} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める；
${}$$\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ が $S$ に対して 内向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right) \in % B \left( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r \right) % \cap \operatorname{Int} \left( S \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める。
${}$
有界な$C^{1}$級曲面上におけるスカラー値関数の面積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とする。
ある $m \in \mathbb{N}$ を取る。
$S$ 上の $m$ 個のある点における開近傍 $B_{1} ,\, \dots ,\, B_{m} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ をそれぞれ選び，
$S_{1} := S \cap B_{1} \, , \ \ \dots , \ \ S_{m} := S \cap B_{m}$ と置くと，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
${}$$ \displaystyle \varphi \in C^{0} (S) \, \boldsymbol{,} \ \ \varSigma := \bigcup \limits_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} ) $ とする。
このとき，関数 $ \displaystyle \tilde{\varphi} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \varphi ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \varphi ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \varphi ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
${}$[1 の分割] $ \ \ $ある有限な関数列 $ \displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} } $ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) % \cap % \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。
$\\[0pt]$
（ここで，$ d \in \mathbb{N} \boldsymbol{,} \ \ U \subset \mathbb{R}^{d} \boldsymbol{,} \ \ \psi \, \boldsymbol{:} \ U \to \mathbb{R} $ としたとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \operatorname{supp} \left( \psi \right) = \operatorname{supp}_{ U } \left( \psi \right) := U \cap \operatorname{Cl}_{ \mathbb{R}^{d} } \left( \left\{ \vphantom{\dfrac{}{}} \ x \in U \ \middle\vert \ \psi (x) \neq 0 \ \right\} \right) = \operatorname{Cl}_{ U } \left( \vphantom{\dfrac{}{}} U \setminus \psi^{-1} \left( \left\{ 0 \right\} \right) \right) \end{aligned} \end{align*}
である。）
${}$各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := % \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) % = \begin{bmatrix} t \\[] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$
$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
&:=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \cdot \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
\\[5pt]
&\hphantom{:}=
% \left\{
% \begin{array}{ll}
% \displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) )
\cdot
\tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\cdot
\sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
\ dt
% &{\quad}
% \left( \ n \geq 1 \ \right)
% \\[5pt]
% \displaystyle
% \sum_{i=1}^{m}
% \int_{ D_{i} }
% \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) )
% \cdot
% \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
% \cdot
% \sqrt{ \left\{ \dfrac{d \gamma_{i}}{dt} (t) \right\}^{2} + 1 }
% \ dt
% &{\quad}
% \left( \ n = 1 \ \right)
% \\[10pt]
% \varphi \left( \max S \right) + \varphi \left( \min S \right)
% &{\quad}
% \left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 2 \ \right)
% \\[10pt]
% 0
% &{\quad}
% \left( \ n = 0 \ \ \textsf{かつ} \ \ \# S = 1 \ \right)
% \\[10pt]
% 0
% &{\quad}
% \left( \ S = \emptyset \ \right)
% \end{array}
% \right.
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
1 の分割を使用しない場合は，包除原理を用いて，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
=
\sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
\sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
\int_{ \sigma_{j_{1}} \left( S_{j_{1}} \right) \cap \dots \cap \sigma_{j_{k}} \left( S_{j_{k}} \right) }
\tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
% \\[5pt]
% &{\hphantom{:}}=
% \sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
% \sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
% \int_{ D_{j_{1}} \cap \dots \cap D_{j_{k}} }
% \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
% \cdot
% \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
% \ dt
\end{aligned}
\end{align*}
を計算することになる（と思われる）が，煩雑すぎてあまり現実的ではない。
実際に具体的な問題を処理する場合には，1 の分割も包除原理も使用しないように，適切に曲面を分割することになる。
${}$
流束積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とし，ある $ D \subset \mathbb{R}^{n} $ および $ f \in C^{1} (D) $ により，$ S = G \left( D \, ; \, f \right) $ と表されているとする。
関数 $\boldsymbol{r} \, \boldsymbol{:} \ D \to S$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{r} ( t ) := % \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) % = \begin{bmatrix} t \\ f (t) \end{bmatrix} % \in % S \qquad \left( \ \forall \, t % := % \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) % = % \begin{bmatrix} % t_{1} \\ % \vdots \\ % t_{n} % \end{bmatrix} \in D \ \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$集合 $ \boldsymbol{N}_{\mathrm{U}} (S) \boldsymbol{,} \ \boldsymbol{N}_{\mathrm{D}} (S) \subset \mathbb{R}^{n+1} $ をそれぞれ，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{N}_{\mathrm{U}} (S) := \left\{ \ \dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( t ) \right|^{2} + 1 }} \begin{bmatrix} - \nabla f ( t ) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} % \left( -1 \right)^{n} % \dfrac{ % \left( % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) % \wedge \dots \wedge % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) % \right)^{\boldsymbol{\perp}} % }{ % \left| % \left( % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) % \wedge \dots \wedge % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) % \right)^{\boldsymbol{\perp}} % \right| % } \ \ \middle\vert \ \ t % = % \begin{bmatrix} % t_{1} \\ % \vdots \\ % t_{n} % \end{bmatrix} \in D \ \right\} \, \boldsymbol{,} \\[10pt] & \boldsymbol{N}_{\mathrm{D}} (S) := \left\{ \ \dfrac{ -1 }{\sqrt{ \left| \nabla f ( t ) \right|^{2} + 1 }} \begin{bmatrix} - \nabla f ( t ) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} % \left( -1 \right)^{n-1} % \dfrac{ % \left( % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) % \wedge \dots \wedge % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) % \right)^{\boldsymbol{\perp}} % }{ % \left| % \left( % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) % \wedge \dots \wedge % \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) % \right)^{\boldsymbol{\perp}} % \right| % } \ \ \middle\vert \ \ t % = % \begin{bmatrix} % t_{1} \\ % \vdots \\ % t_{n} % \end{bmatrix} \in D \ \right\} \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$$ \boldsymbol{N}_{\mathrm{U}} (S) $ または $ \boldsymbol{N}_{\mathrm{D}} (S) $ のいずれか一方を $ \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} (S) $ とする。
この $ \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} (S) $ を，$S$ に対する 正の 単位法ベクトルの集合 と定める。
${}$
$ \boldsymbol{A} \in C^{0} ( S \, \boldsymbol{;} \, \mathbb{R}^{n+1} ) $ とし，$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ S \to \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} (S) % { \boldsymbol{N}_{\mathrm{U}} (S) \cup \boldsymbol{N}_{\mathrm{D}} (S) } $ を正の単位法ベクトル場とする。
このとき，$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 流束積分 $
\displaystyle
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
&:=
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS
=
\int_{S}
\boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} )
\boldsymbol{\cdot}
\boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
例外的に，$n=0$ の場合の流束積分は，$a \boldsymbol{,} \, b \in \mathbb{R}$ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} S := \left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} % = % \int_{\left\{ a \boldsymbol{,} \, b \right\}} % \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} % \, dS := \left\{ \begin{array}{cl} \boldsymbol{A} ( a ) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} (a) + \boldsymbol{A} ( b ) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} (b) &{\quad} \left( \, a \neq b \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, a = b \, \right) \end{array} \right. \end{aligned} \end{align*}
と定める。（ここで，$a \neq b$ ならば $ \displaystyle \left( \boldsymbol{\nu} (a) , \ \boldsymbol{\nu} (b) \right) \in \left\{ \, \left( -1 ,\, 1 \right) \boldsymbol{,} \ \left( 1 ,\, -1 \right) \, \right\} $ である。）
${}$$n \geq 2$のとき，$d \boldsymbol{S} := \boldsymbol{\nu} \, dS$ を 面積要素ベクトル (または 面素ベクトル) と呼ぶ。
${}$
有界な$C^{1}$級曲面上における流束積分
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界な $C^{1}$ 級曲面とする。
ある $m \in \mathbb{N}$ を取る。
$S$ 上の $m$ 個のある点における開近傍 $B_{1} ,\, \dots ,\, B_{m} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ をそれぞれ選び，
$S_{1} := S \cap B_{1} \, , \ \ \dots , \ \ S_{m} := S \cap B_{m}$ と置くと，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
${}$$\displaystyle \boldsymbol{A} \in C^{0} ( S \, \boldsymbol{;} \, \mathbb{R}^{n+1} ) \, \boldsymbol{,} \ \ \varSigma := \bigcup_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} ) $ とする。
このとき，関数 $ \tilde{\boldsymbol{A}} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} % \in C^{0} ( \varSigma ) $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \boldsymbol{A} ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{0} &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
${}$[1 の分割] $ \ \ $ある有限な関数列 $ \displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} } $ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) % \cap % \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \mathbb{R}^{n+1} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。${}$
各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := % \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) % = \begin{bmatrix} t \\[0pt] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
${}$各 $k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{array}{lll} \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{k} \, \boldsymbol{:} \, \sigma_{k} \left( S_{k} \right) \to \mathbb{R}^{n+1} & \boldsymbol{:} & \textsf{単位法ベクトル場} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] R_{k} \in \mathbb{R}^{ \left( n+1 \right) \times \left( n+1 \right) } & \boldsymbol{:} & \textsf{合同変換} \ \ \sigma_{k} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \ \ \textsf{に対応する直交行列} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( \sigma_{k} \left( S_{k} \right) ) & \boldsymbol{:} & \sigma_{k} \left( S_{k} \right) \ \ \textsf{に対する正の単位法ベクトルの集合} % \, \boldsymbol{,} % \\[5pt] % \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( S_{k} ) % & % \boldsymbol{:} % & % S_{k} \ \ \textsf{に対する正の単位法ベクトルの集合} \end{array} \end{align*}
とする。
このとき，条件
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \textsf{(A)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \Bigl[ \ \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \qquad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset \ \Bigr] \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(B)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \ % S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset % \qquad \Longrightarrow \qquad \forall \, \boldsymbol{p} \in S_{i} \cap S_{j} \, \boldsymbol{,} \quad R_{i}^{-1} \, \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{i} \left( \sigma_{i} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) = R_{j}^{-1} \, \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{j} \left( \sigma_{j} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) \ \right] \ \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(C)} \quad & % n \geq 1 \ \ \textsf{の場合は，} % \\[5pt] % & % \Bigl[ % \ \forall \, k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \forall \, t \in D_{k} \, \boldsymbol{,} \qquad \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{k} \left( \boldsymbol{r}_{k} \left( t \right) \right) \in \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( \sigma_{k} ( S_{k} ) ) % = % \dfrac{ \left( -1 \right)^{n} }{ \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{k} (t) \right|^{2} + 1 } } % \begin{bmatrix} % - \nabla \gamma_{k} (t) \\[2.5pt] % 1 % \end{bmatrix} % \ % \Bigr] % \ \ \boldsymbol{;} % \\[15pt] % \textsf{(D)} \quad % & % \Bigl[ % \ % \forall \, k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} % \quad % \forall \, \boldsymbol{p} \in S_{k} \, \boldsymbol{,} % \qquad % R_{k}^{-1} \, % \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{k} % \left( \sigma_{k} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) % \in % \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( S_{k} ) % \ % \Bigr] \end{aligned} \end{align*}
を仮定する。
${}$各 $k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{V}_{\mathrm{U}} (S) := \bigcup_{k=1}^{m} \left\{ \ R_{k}^{-1} \, \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{k} \left( \sigma_{k} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) \ \ \middle\vert \ \ \boldsymbol{p} \in S_{k} \ \right\} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \boldsymbol{V}_{\mathrm{D}} (S) := \bigcup_{k=1}^{m} \left\{ \ { - R_{k}^{-1} } \, \tilde{\boldsymbol{\nu}}_{k} \left( \sigma_{k} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) \ \ \middle\vert \ \ \boldsymbol{p} \in S_{k} \ \right\} \end{aligned} \end{align*}
とする。
このとき，$ \boldsymbol{V}_{\mathrm{U}} (S) $ と $ \boldsymbol{V}_{\mathrm{D}} (S) $ のいずれか一方を $ \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( S ) $ とし，
この $ \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} ( S ) $ を，$S$ に対する正の単位法ベクトルの集合とする。
${}$
$ \boldsymbol{\nu} \, \boldsymbol{:} \ S \to \boldsymbol{N}^{\boldsymbol{+}} (S) % { \boldsymbol{V}_{\mathrm{U}} (S) \cup \boldsymbol{V}_{\mathrm{D}} (S) } $ を正の単位法ベクトル場とする。
このとき，$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 流束積分 $
\displaystyle
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
&:=
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS
% \\[5pt]
% &\hphantom{:}
=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{r} )
\boldsymbol{\cdot}
\tilde{\boldsymbol{\nu}}_{i} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
% \\[5pt]
% &\hphantom{:}=
% \sum_{i=1}^{m}
% \int_{ D_{i} }
% \rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \,
% \tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
% \boldsymbol{\cdot}
% \begin{bmatrix}
% - \nabla \gamma_{i} ( t )
% \\[2.5pt]
% 1
% \end{bmatrix}
% \, dt
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
${}$
次回
『
面積分学習記録 (2)
』に続きます。
$\\[5pt]$
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