面積分学習記録 (1)
1-0. 全体の概要
この記事は，面積分の学習記録を，メモとしてまとめたものです。
全体を何回かのパートに分けて投稿していきます。
今回は定義がメインです。
以下では，特に断りのない限り，$n \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right)$ とします。
$\\[5pt]$
1-1. 面積分の具体的な問題を処理するために
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界領域（または有界閉集合）とし，$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数，$D \subset \mathbb{R}^{n}$ を有界領域（または有界閉集合）とする。
$S$ 上における $\varphi$ の面積分を具体的に求める問題のタイプには，単純化すると，次の 2 種類がある：
既知の関数 $f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ が与えられることで，$ \displaystyle S = \Bigl\{ \, \left( x ,\, f (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} $ と表すことができて，曲面 $S$ 上における $\varphi$ の面積分を求めるもの。
$S$ が既知の曲面として与えられて，$S$ 上における $\varphi$ の面積分を求めるもの。
$$ $$
タイプ (2) の問題を解くには，タイプ (1) の問題を処理できる必要がある。
なお，ベクトル値関数の面積分を計算するには，スカラー値関数の面積分を理解しておく必要がある。
$\\[5pt]$
$f \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ を実数値関数とする。このとき，集合 $\displaystyle G \left( D \, ; \, f \right) \subset D \times f(D)$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} G \left( D \, ; \, f \right) := \Bigl\{ \, \left( x ,\, f (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$$f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \, \boldsymbol{:} \, D \to \mathbb{R}$ を実数値関数とする。このとき，集合 $ \displaystyle G \left( D \, ; \, f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \right) \subset \prod_{j=1}^{n} f_{j} (D) \times f_{n+1} (D) $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} G \left( D \, ; \, f_{1} ,\, \dots ,\, f_{n} ,\, f_{n+1} \right) := \Bigl\{ \, \left( f_{1} (x) ,\, \dots ,\, f_{n} (x) ,\, f_{n+1} (x) \right) \ \, \Big{|} \, \ x \in D \, \Bigr\} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
1-2. 曲面の滑らかさ
$\displaystyle k \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left\{ \infty \right\} \cup \left\{ \omega \right\} $ とする。
タイプ (1) の場合は，曲面 $S = G \left( D \, ; \, f \right)$ の $C^{k}$ 性は『$f \in C^{k} (D)$』であることにより定義される。
タイプ (2) の場合は，$S$ は 1 種類の関数だけでは表せないことがあるので，$S$ の $C^{k}$ 性は以下のようになる：
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界集合とする。このとき，$S$ が $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
$S$ が有界領域の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、有界な、空でない単連結\color{blue}{開集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \qquad \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \end{aligned} \end{align*}
として定め；
$\\[5pt]$$S$ が有界閉集合の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、空でない、単連結な有界\color{blue}{閉集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, D \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} \qquad \sigma ( \Gamma ) = G \left( D \, ; \, \gamma \right) \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
$d \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right)$ とする。このとき，合同変換 $\displaystyle \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}^{d}$ は，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
\exists \, R \in \mathbb{R}^{d \times d} \, \boldsymbol{,} \quad
\exists \, b \in \mathbb{R}^{d} \ \ \boldsymbol{;} \quad
\forall \, x \in \mathbb{R}^{d} \, \boldsymbol{,} \, \qquad
\biggl[
\ \
\sigma (x) = R x + b
\quad \textsf{かつ} \quad
\left\{
\begin{array}{l}
R^{\mathsf{T}} R = E_{d} \\[2.5pt]
\det (R) = 1
\end{array}
\right.
\ \
\biggr]
\end{aligned}
\end{align*}
として定義される。（ここで，$R^{\mathsf{T}}$ は $R$ の転置行列であり，$E_{d} \in \mathbb{R}^{d \times d}$ は単位行列である。）
$\\[5pt]$
なお，曲面が極座標などで表現されるような場合，$S$ の $C^{k}$ 性は以下のようになる：
$S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を有界集合とする。このとき，$S$ が $C^{k}$ 級曲面 ($n=1$ の場合は $C^{k}$ 級曲線) であるということを，
$S$ が有界領域の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、有界な、空でない単連結\color{blue}{開集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, V \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (V) \ \boldsymbol{;} \qquad % \exists \, % \sigma \, \boldsymbol{:} \, % \Gamma \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, % \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} % \\[5pt] % & \Gamma = G \left( V \, ; \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) \end{aligned} \end{align*}
として定め；
$\\[5pt]$$S$ が有界閉集合の場合は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \forall \, \Gamma \subset S \ \boldsymbol{:} \ \mathsf{十分小さく、空でない、単連結な有界\color{blue}{閉集合}} \, \boldsymbol{,} \\[5pt] & \exists \, V \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \in C^{k} (V) \ \boldsymbol{;} \qquad % \exists \, % \sigma \, \boldsymbol{:} \, % \Gamma \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, % \textsf{合同変換} \ \ \boldsymbol{;} % \\[5pt] % & \Gamma = G \left( V \, ; \, \gamma_{1} ,\, \dots ,\, \gamma_{n} ,\, \gamma_{n+1} \right) \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
現実的には，球面やトーラス等の例を考えれば，媒介変数表示されたそのままの状態で問題を処理していくことも多い。
$\\[5pt]$
1-3. 接平面
有界領域または有界閉集合 $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を，$\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$$ $$
$x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S$ とする。このとき，$\boldsymbol{p}_{0}$ における $S$ 上の 接平面 $\mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S) := \left\{ \ \boldsymbol{p}_{0} + \sum_{j=1}^{n} \left( x_{j} - x_{j}^{0} \right) \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} ) \end{bmatrix} \ \ \middle\vert \ \ x = \left( x_{1} ,\, \dots ,\, x_{n} \right) \in D \ \right\} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
1-4. 法ベクトル
$n \geq 2$ とする。
また，$\boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を，$\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
$$ $$
$\boldsymbol{a}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ とする。このとき，ベクトル $\boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} := \sum_{k=1}^{n+1} \biggl( \det \left[ \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \right] \biggr) \, \boldsymbol{e}_{k} = \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，$\left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right) \perp \boldsymbol{a}_{j}$ となる。実際に，内積を考えると，各 $j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left( \boldsymbol{a}_{1} \wedge \dots \wedge \boldsymbol{a}_{n} \right) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} &= \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \, \boldsymbol{e}_{k} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} \\[5pt] &= \sum_{k=1}^{n+1} \biggl| \ \left( \boldsymbol{e}_{k} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{a}_{j} \right) \, \boldsymbol{e}_{k} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| \\[5pt] &= \biggl| \ \boldsymbol{a}_{j} \ \ \boldsymbol{a}_{1} \ \ \cdots \ \ \boldsymbol{a}_{n} \ \biggr| = 0 \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
$\\[5pt]$
1-5. スカラー値関数の面積分
$n \geq 2$ とする。
有界領域または有界閉集合 $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
$\\[5pt]$
$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数とし，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
t
:=
\left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right)
=
\begin{bmatrix}
t_{1} \\
\vdots \\
t_{n}
\end{bmatrix}
\in
D \, \boldsymbol{,}
\qquad
\boldsymbol{r} ( t )
:=
\Bigl( t ,\, f (t) \Bigr)
=
\begin{bmatrix}
t \\
f (t)
\end{bmatrix}
\in
S
\end{aligned}
\end{align*}
とする。このとき，$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) := \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとし，$\boldsymbol{e}_{1} ,\, \dots ,\, \boldsymbol{e}_{n} ,\, \boldsymbol{e}_{n+1} \in \mathbb{R}^{n+1}$ を $\mathbb{R}^{n+1}$ の基本ベクトルとする。
また，$E_{n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を単位行列とする。
$\\[5pt]$
$t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) \, \boldsymbol{,} \ \ \ f \in C^{1} (D)$ より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{j}} ( t ) = \begin{bmatrix} e_{j} \\[5pt] \dfrac{\partial f}{\partial t_{j}} ( t ) \end{bmatrix} \qquad \left( \ \forall \, j \in \left\{ 1 ,\, \dots ,\, n \right\} \ \right) \end{aligned} \end{align*}
であるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) &= \sum_{k=1}^{n} \left| \ \boldsymbol{e}_{k} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{k} + \left| \ \boldsymbol{e}_{n+1} \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \ \ \cdots \ \ \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ \right| \, \boldsymbol{e}_{n+1} \\[10pt] &= \sum_{k=1}^{n} \begin{vmatrix} e_{k} & E_{n} \\[2.5pt] 0 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{k} + \begin{vmatrix} \boldsymbol{0} & E_{n} \\[2.5pt] 1 & \nabla f (t)^{\mathsf{T}} \end{vmatrix} \, \boldsymbol{e}_{n+1} = \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| &= \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \end{aligned} \end{align*}
となるので，面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \ dt \end{aligned} % \tag*{[S1]} \end{align*}
と表されることが分かる。
$\\[5pt]$例外的に，$n=1$ の場合の面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \varphi \, dS = \int_{S} \varphi ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) := \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \left| \dfrac{d \boldsymbol{r}}{dt} (t) \right| \, dt = \int_{D} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \sqrt{ 1 + \left\{ \dfrac{df}{dt} (t) \right\}^{2} } \ dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。（向き付けされていない曲線上における 線積分）
$\\[5pt]$面積分 $\displaystyle \int_{S} 1 \, dS$ は，$n \geq 2$ ならば曲面 $S$ の曲面積を表し，$n=1$ ならば曲線 $S$ の長さを表す。
$\\[5pt]$特に，$\displaystyle \int_{\emptyset} \varphi \, dS := 0$ と定める。
$\\[5pt]$$n \geq 2$のとき，$dS = dS ( \boldsymbol{r} )$ および $\displaystyle dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) := \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| \, dt $ を 面積要素 と呼ぶ。
$\\[5pt]$
1-6. 法ベクトルの方向（外向き／内向き）
有界領域または有界閉集合 $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
また，集合 $H ( f ) ,\ L ( f ) \subset D \times \mathbb{R}$ をそれぞれ，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
H ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z > f (x)
\biggr\} \ \boldsymbol{,}
\qquad
L ( f )
:=
\biggl\{
\left( x ,\, z \right) \in D \times \mathbb{R}
\ \bigg{|} \
z < f (x)
\biggr\}
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。
$\\[5pt]$
$\boldsymbol{p}_{0} \in S \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{\nu} \in \mathbb{R}^{n+1} $ とし，$\boldsymbol{\nu}$ は $\boldsymbol{\nu} \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)$ を満たす単位法ベクトルとする。このとき，
$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 外向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \geq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in H ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める；
$\\[5pt]$$\boldsymbol{\nu}$ が $S$ に対して 内向き であるということを，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} % \nu_{n+1} \leq 0 % \qquad \textsf{かつ} \qquad % \biggl[ % \ \exists \, r > 0 \ \boldsymbol{;} \quad \forall \, \varepsilon \in \left( 0 ,\, r \right) \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in L ( f ) % \cap B ( \boldsymbol{p}_{0} ,\, r ) % \ % \biggr] \end{aligned} \end{align*}
を満たすこととして定める。
$\\[5pt]$
$e_{1} ,\, \dots ,\, e_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ を $\mathbb{R}^{n}$ の基本ベクトルとする。
$x^{0} := \left( x_{1}^{0} ,\, \dots ,\, x_{n}^{0} \right) \in D \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{p}_{0} := \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in S$ とし，$\boldsymbol{\nu} := \left( \nu ,\, \nu_{n+1} \right) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu}
:=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\begin{bmatrix}
- \nabla f ( x^{0} ) \\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
% \qquad
% \left( \, \forall \, t \in D \, \right)
\end{aligned}
\end{align*}
と定める。このとき，$\boldsymbol{\nu}$ は外向き単位法ベクトルである。実際に，まず $\left| \boldsymbol{\nu} \right| = 1$ であり，次に，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nu}
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
e_{j} \\[5pt]
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\end{bmatrix}
=
\dfrac{1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\left\{
- \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
+
\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} ( x^{0} )
\right\}
=
0
\qquad
\left( \, \forall \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, n \, \right\} \, \right)
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $\boldsymbol{\nu} \perp \mathrm{T}_{\boldsymbol{p}_{0}} (S)$ であり，最後に，任意の十分小さい $\varepsilon > 0$ に対して，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\left( x_{n+1}^{0} + \varepsilon \nu_{n+1} \right)
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
&=
f ( x^{0} ) + \dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
f ( x^{0} + \varepsilon \nu )
\\[5pt]
&=
\left\{ f ( x^{0} ) - f ( x^{0} + \varepsilon \nu ) \right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&>
\left\{
\nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \left( - \varepsilon \nu \right)
-
\varepsilon \cdot 1
\right\}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
\\[5pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{
\nabla f ( x^{0} ) \boldsymbol{\cdot} \nabla f ( x^{0} )
}{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }
}
+
\dfrac{\varepsilon}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[5pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\dfrac{\left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1}{\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 }}
-
\varepsilon
\\[5pt]
&=
\varepsilon
\cdot
\left\{
\sqrt{ \left| \nabla f ( x^{0} ) \right|^{2} + 1 } - 1
\right\}
\\[5pt]
&\geq
0
\end{aligned}
\end{align*}
となるので $\boldsymbol{p}_{0} + \varepsilon \boldsymbol{\nu} \in H ( f )$ である。
$\\[5pt]$
1-7. 有界な開曲面（または閉曲面）上におけるスカラー面積分
有界領域 (または有界閉集合) $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とする。
このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m} \subset S \, \boldsymbol{:} \, \textsf{十分小さい、有界な、空でない単連結開集合 (または閉集合)} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
$\\[5pt]$また，$\varphi \in C^{0} ( S )$ を実数値関数とし，$ \displaystyle \varSigma := \bigcup \limits_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} ) $ とする。このとき，関数 $ \displaystyle \tilde{\varphi} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R} $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \varphi ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \varphi ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \varphi ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] 0 &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
$\\[5pt]$[1 の分割] $\ \ $ さらに，ある有限な実数値関数列 $ \displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} } $ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) \cap \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \varSigma \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。
$\\[0pt]$
（ここで補足しておくと，$N \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \Omega \subset \mathbb{R}^{N} \, \boldsymbol{,} \ \ \ \psi \, \boldsymbol{:} \, \Omega \to \mathbb{R}$ としたとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \operatorname{supp} \left( \psi \right) = \operatorname{supp}_{ \Omega } \left( \psi \right) := \Omega \cap \operatorname{Cl}_{ \mathbb{R}^{N} } \bigl( \Set{ \ x \in \Omega \ \, | \, \ \psi (x) \neq 0 \ } \bigr) = \operatorname{Cl}_{ \Omega } \Bigl( \Omega \setminus \psi^{-1} \left( \left\{ 0 \right\} \right) \Bigr) \end{aligned} \end{align*}
である。）
$\\[5pt]$最後に，各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\[] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
$\\[5pt]$
$S$ 上における $\varphi$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \varphi \, dS$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
&:=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \cdot \tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
\\[5pt]
&\hphantom{:}=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) )
\cdot
\tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\cdot
\sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
\ dt
\end{aligned}
\end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
1 の分割を使用しない場合は，包除原理を用いて，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \varphi \, dS
=
\sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
\sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
\int_{ \sigma_{j_{1}} \left( S_{j_{1}} \right) \cap \dots \cap \sigma_{j_{k}} \left( S_{j_{k}} \right) }
\tilde{\varphi} ( \boldsymbol{r} )
\, dS ( \boldsymbol{r} )
% \\[5pt]
% &{\hphantom{:}}=
% \sum_{k=1}^{m} \left( -1 \right)^{k-1}
% \sum_{ 1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq m}
% \int_{ D_{j_{1}} \cap \dots \cap D_{j_{k}} }
% \tilde{\varphi} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
% \cdot
% \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{i} ( t ) \right|^{2} + 1 }
% \ dt
\end{aligned}
\end{align*}
を計算することになる（と思われる）が，煩雑すぎてあまり現実的ではない。
実際に具体的な問題を処理する場合には，1 の分割も包除原理も使用しないように，適切に曲面を分割することになる。
$\\[5pt]$
1-8. ベクトル値関数の面積分
$n \geq 2$ とする。
有界領域または有界閉集合 $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とし，ある $D \subset \mathbb{R}^{n}$ および $f \in C^{1} (D)$ により，$S = G \left( D \, ; \, f \right)$ と表されているとする。
$\\[5pt]$
$\boldsymbol{A} \in C^{0} ( S ,\, \mathbb{R}^{n+1} )$ を実ベクトル値関数とし，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
&
t
:=
\left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right)
=
\begin{bmatrix}
t_{1} \\
\vdots \\
t_{n}
\end{bmatrix}
\in
D \, \boldsymbol{,}
\qquad
\boldsymbol{r} ( t )
:=
\Bigl( t ,\, f (t) \Bigr)
=
\begin{bmatrix}
t \\
f (t)
\end{bmatrix}
\in
S \ \boldsymbol{;}
\\[10pt]
&
% \boldsymbol{\nu}
% :=
% \left( \nu_{1} ,\, \dots ,\, \nu_{n} \right)
% =
% \begin{bmatrix}
% \nu_{1} \\
% \vdots \\
% \nu_{n}
% \end{bmatrix}
% \in
% \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,}
% \qquad
\boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ( t ) )
:=
\dfrac{
\left( -1 \right)^{n}
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
}{
\left|
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right|
}
\in
\mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{,}
\qquad
dS ( \boldsymbol{r} ( t ) )
:=
\left|
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t)
\wedge \dots \wedge
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t)
\right|
\, dt
\end{aligned}
\end{align*}
とする。このとき，$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} &:= \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS = \int_{S} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) \\[5pt] &\hphantom{:}= \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \left\{ \left( -1 \right)^{n} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right\} \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
スカラー面積分の場合と同様に，$t := \left( t_{1} ,\, \dots ,\, t_{n} \right) \, \boldsymbol{,} \ \ \ \boldsymbol{r} ( t ) := \Bigl( t ,\, f (t) \Bigr) \, \boldsymbol{,} \ \ \ f \in C^{1} (D)$ より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) = \left( -1 \right)^{n} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{,} \qquad \left| \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \right| = \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \end{aligned} \end{align*}
であるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } } \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \ \boldsymbol{,} \qquad dS ( \boldsymbol{r} ( t ) ) = \sqrt{ \left| \nabla f (t) \right|^{2} + 1 } \ dt \ \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，ベクトル面積分は，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} = \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \begin{bmatrix} - \nabla f (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \, dt \end{aligned} % \tag*{[S2]} \end{align*}
と表されることが分かる。
$\\[5pt]$例外的に，$n=1$ の場合のベクトル面積分は，法ベクトルを利用しないため，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} := \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \dfrac{d \boldsymbol{r}}{dt} (t) \, dt = \int_{D} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \begin{bmatrix} 1 \\[2.5pt] \dfrac{df}{dt} ( t ) \end{bmatrix} \, dt \end{aligned} \end{align*}
として定める。（向き付けされた曲線上における ベクトル線積分）
$\\[5pt]$$\varphi := \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu}$ と置いた場合を考える。このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} = \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nu} \, dS = \int_{S} \varphi \, dS \qquad \textsf{かつ} \qquad \varphi \in C^{0} (S) \end{aligned} \end{align*}
となり，スカラー面積分に帰着する。
$\\[5pt]$特に，$\displaystyle \int_{\emptyset} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} := 0$ と定める。
$\\[5pt]$$n \geq 2$のとき，$d \boldsymbol{S} := \boldsymbol{\nu} \, dS$ および $ \displaystyle d \boldsymbol{S} ( \boldsymbol{r} ) = \boldsymbol{\nu} ( \boldsymbol{r} ) \, dS ( \boldsymbol{r} ) = \left( -1 \right)^{n} \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{1}} (t) \wedge \dots \wedge \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial t_{n}} (t) \ dt $ を ベクトル面積要素 と呼ぶ。
$\\[5pt]$
1-9. 有界な開曲面（または閉曲面）上におけるベクトル面積分
有界領域 (または有界閉集合) $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を $C^{1}$ 級曲面とする。
このとき，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, m \in \mathbb{Z} \cap \left[ 1 ,\, \infty \right) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m} \subset S \, \boldsymbol{:} \, \textsf{十分小さい、有界な、空でない単連結開集合 (または閉集合)} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, D_{i} \subset \mathbb{R}^{n} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma_{i} \in C^{1} ( D_{i} ) \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \sigma_{i} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} \, \boldsymbol{:} \, \textsf{合同変換} \ \boldsymbol{;} \\[7.5pt] & \left[ \ \sigma_{i} ( S_{i} ) = G \left( D_{i} \, ; \, \gamma_{i} \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \bigcup_{i=1}^{m} S_{i} = S \ \right] \end{aligned} \end{align*}
と表される。
$\\[5pt]$また，$\boldsymbol{A} \in C^{0} ( S ,\, \mathbb{R}^{n+1} )$ を実ベクトル値関数とし，$\displaystyle \varSigma := \bigcup \limits_{i=1}^{m} \sigma_{i} ( S_{i} )$ とする。このとき，関数 $\tilde{\boldsymbol{A}} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ を，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{ r } ) := \left\{ \begin{array}{cl} \boldsymbol{A} ( \sigma_{1}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 1 } ( S_{ 1 } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{2}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ 2 } ( S_{ 2 } ) \, \right) \\[5pt] \vdots &{\quad} {\qquad \ \ \ } \vdots \\[5pt] \boldsymbol{A} ( \sigma_{m}^{-1} ( \boldsymbol{ r } ) ) &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \sigma_{ m } ( S_{ m } ) \, \right) \\[5pt] \boldsymbol{0} &{\quad} \left( \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \varSigma \, \right) \\[5pt] \end{array} \right. \end{aligned} \hspace{30pt} \left( \ \forall \, \boldsymbol{ r } \in \mathbb{R}^{n+1} \ \right) \end{align*}
と定める。
$\\[5pt]$[1 の分割] $\ \ $ さらに，ある有限な実数値関数列 $\displaystyle \left( \rho_{i} \right)_{i=1}^{m} \in C^{\infty} ( \mathbb{R}^{n+1} )^{ \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} }$ で，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \rho_{i} \left( \mathbb{R}^{n+1} \right) \subset \left[ 0 ,\, 1 \right] \\[5pt] \operatorname{supp} \left( \rho_{i} \right) \cap \sigma_{i} \left( S \right) \subset \sigma_{i} ( S_{i} ) \end{array} \right. \quad \left( \, \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad \sum_{i=1}^{m} \rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) = 1 \quad \left( \, \forall \, \boldsymbol{r} \in \Sigma \, \right) \end{aligned} \end{align*}
を満たすものをとる。$\\[5pt]$
各 $i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{r}_{i} ( t ) := \Bigl( t ,\, \gamma_{i} (t) \Bigr) = \begin{bmatrix} t \\[0pt] \gamma_{i} (t) \end{bmatrix} \in \sigma_{i} ( S_{i} ) \qquad \left( \, \forall \, t \in D_{i} \, \right) \end{aligned} \end{align*}
とする。
$\\[5pt]$各 $k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\}$ に対して，$ \displaystyle \boldsymbol{\nu}_{k} \, \boldsymbol{:} \, \sigma_{k} \left( S_{k} \right) \to \mathbb{R}^{n+1} $ を単位法ベクトル場とし，合同変換 $ \displaystyle \sigma_{k} \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ に対応する回転行列を $R_{k} \in \mathbb{R}^{ \left( n+1 \right) \times \left( n+1 \right) }$ とする。
このとき，条件
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \textsf{(A)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \Bigl[ \ \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \qquad S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset \ \Bigr] \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(B)} \quad & m \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \forall \, i \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, j \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \setminus \left\{ \, i \, \right\} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \ S_{i} \cap S_{j} \neq \emptyset \qquad \Longrightarrow \qquad \forall \, \boldsymbol{p} \in S_{i} \cap S_{j} \, \boldsymbol{,} \quad R_{i}^{-1} \, \boldsymbol{\nu}_{i} \left( \sigma_{i} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) = R_{j}^{-1} \, \boldsymbol{\nu}_{j} \left( \sigma_{j} \left( \boldsymbol{p} \right) \right) \ \right] \ \ \boldsymbol{;} \\[15pt] \textsf{(C)} \quad & n \geq 2 \ \ \textsf{の場合は，} \\[5pt] & \forall \, k \in \left\{ \, 1 ,\, \dots ,\, m \, \right\} \, \boldsymbol{,} \quad \forall \, t \in D_{k} \, \boldsymbol{,} \qquad \boldsymbol{\nu}_{k} \left( \boldsymbol{r}_{k} \left( t \right) \right) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ \left| \nabla \gamma_{k} (t) \right|^{2} + 1 } } \begin{bmatrix} - \nabla \gamma_{k} (t) \\[2.5pt] 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{align*}
を仮定する。
$\\[5pt]$
$S$ 上における $\boldsymbol{A}$ の 面積分 $\displaystyle \int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}$ を，
\begin{align*}
\qquad
&
\begin{aligned}
\int_{S} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S}
&:=
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ \sigma_{i} \left( S_{i} \right) }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r} ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} ( \boldsymbol{r} )
\boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{S} ( \boldsymbol{r} )
\\[10pt]
&\hphantom{:}=
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
- \nabla \gamma_{i} (t) \\[2.5pt]
1
\end{bmatrix}
\, dt
&{\quad}
\left( \ n \geq 2 \ \right)
\\[10pt]
\displaystyle
\sum_{i=1}^{m}
\int_{ D_{i} }
\rho_{i} ( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) ) \,
\tilde{\boldsymbol{A}} \left( \boldsymbol{r}_{i} ( t ) \right)
\boldsymbol{\cdot}
\begin{bmatrix}
1 \\[2.5pt]
\dfrac{ d \gamma_{i} }{dt} ( t )
\end{bmatrix}
\, dt
&{\quad}
\left( \ n = 1 \ \right)
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\end{align*}
として定める。
$\\[5pt]$
1-10. 補足
スカラー線積分とベクトル線積分については，それぞれ，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \int_{C} \varphi \, d \ell = \int_{\alpha}^{\beta} \varphi ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \cdot \left| \dfrac{d \boldsymbol{r}}{dt} (t) \right| \, dt \, \boldsymbol{,} \qquad \int_{C} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\cdot} d \boldsymbol{r} = \int_{\alpha}^{\beta} \boldsymbol{A} ( \boldsymbol{r} ( t ) ) \boldsymbol{\cdot} \dfrac{d \boldsymbol{r}}{dt} (t) \, dt \end{aligned} \end{align*}
のように書かれる。（表記の統一性を考えて，本文には記載せず。）
$\\[5pt]$定義 7 の単位法ベクトル $\boldsymbol{\nu}$ は $\boldsymbol{p}_{0}$ に依存するので，より正確には $\boldsymbol{\nu} \left( \boldsymbol{p}_{0} \right)$ と書く。
$\\[5pt]$1-7 および 1-9 において，$S$ が有界領域の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ をすべて開集合で取り，$S$ が有界閉集合の場合は $S_{1} ,\, \dots ,\, S_{m}$ をすべて閉集合で取る。
$\\[5pt]$定義 3 型の $C^{k}$ 級曲面は，適切な合同変換により，定義 2 型の $C^{k}$ 級曲面を含むようにできる。（ただし，$k \neq 0$ とする。）
$\textsf{[証明]}\ \ $ $S \subset \mathbb{R}^{n+1}$ を定義 3 型の $C^{k}$ 級曲面とし，十分小さく空でない単連結な有界開集合 (または閉集合) $\Gamma \subset S$ が与えられたとする。
ここで，ある合同変換 $ \displaystyle \sigma \, \boldsymbol{:} \, \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1} $ として，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, W \subset \mathbb{R}^{n} \ \boldsymbol{;} \quad \exists \, F \in C^{k} \left( W \times \mathbb{R} \right) \ \boldsymbol{;} \quad \exists \, \boldsymbol{x}_{0} = \left( x^{0} ,\, x_{n+1}^{0} \right) \in W \times \mathbb{R} \ \boldsymbol{;} \\[5pt] & \left[ \ \sigma (\Gamma) = \biggl\{ \, \left( x ,\, x_{n+1} \right) \in W \times \mathbb{R} \ \ \bigg{|} \ \ F \left( x ,\, x_{n+1} \right) = F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \, \biggr\} \qquad \textsf{かつ} \qquad \left\{ \begin{array}{l} F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) = 0 \\[2.5pt] \nabla F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \neq \boldsymbol{0} \end{array} \right. \ \right] \end{aligned} \end{align*}
を満たすものを取る。このとき，陰関数定理より，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} & \exists \, D \subset W \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, \gamma \in C^{k} (D) \ \boldsymbol{;} \qquad \\[5pt] & \left\{ \begin{array}{l} x^{0} \in D \\[0pt] x_{n+1}^{0} = \gamma \left( x^{0} \right) \end{array} \right. \qquad \textsf{かつ} \qquad \left[ \ \forall \, x \in D \, \boldsymbol{,} \quad \exists \, x_{n+1} \in \gamma (D) \ \boldsymbol{;} \quad \left\{ \begin{array}{l} x_{n+1} = \gamma \left( x \right) \\[5pt] F \left( x ,\, x_{n+1} \right) = F \left( \boldsymbol{x}_{0} \right) \end{array} \right. \ \right] \end{aligned} \end{align*}
となるので，
\begin{align*} \qquad & \begin{aligned} \boldsymbol{x}_{0} \in G \left( D \, ; \, \gamma \right) \qquad \textsf{かつ} \qquad G \left( D \, ; \, \gamma \right) \subset \sigma (\Gamma) \, \boldsymbol{.} \end{aligned} \end{align*}
ゆえに，$S$ は，$\sigma$ により，定義 2 型の $C^{k}$ 級曲面を含むように変換できる。$\blacksquare$（この証明は微妙ですね。。。）
$\\[5pt]$
次回は，『面積分学習記録 (2)』に続きます。
$\\[5pt]$
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- 1-0. 全体の概要
- 1-1. 面積分の具体的な問題を処理するために
- 1-2. 曲面の滑らかさ
- 1-3. 接平面
- 1-4. 法ベクトル
- 1-5. スカラー値関数の面積分
- 1-6. 法ベクトルの方向（外向き／内向き）
- 1-7. 有界な開曲面（または閉曲面）上におけるスカラー面積分
- 1-8. ベクトル値関数の面積分
- 1-9. 有界な開曲面（または閉曲面）上におけるベクトル面積分
- 1-10. 補足
- 参考文献