どうも。らららです。arctanがある積分はf(t)設定するか級数展開か重積分でだいたい解けると思ってます。今回はf(t)設定してやります。 今回解く積分のツイート 今はポストですね。わたしはどっちでもいいんですが。今回参考にしたYouTubeの 動画
∫01arctanx2+2(x2+1)x2+2dx=5π296
arctanがあるので微分か級数展開を使いそうです。今回は微分で解きます。
今回これ使います。
arctanx+arctan1x=π2
証明書いときます。tan(π2−θ)=1tanθπ2−θ=arctan1tanθθ=arctanxπ2−arctanx=arctan1xよって、arctanx+arctan1x=π2
解いていきます。
I=∫01arctanx2+2(x2+1)x2+2dxf(t)=∫01arctantx2+2(x2+1)x2+2dxf′(t)=∫01dx(x2+1)(t2(x2+2)+1)dx=1t2+1∫01dxx2+1−t2t2+1∫01dxt2x2+2t2+1dx=π41t2+1−t(t2+1)2t2+1arctant2t2+1f(∞)=π2∫01dx(x2+1)x2+2=π212f(1)=If(∞)−f(1)=∫1∞f′(t)dt=π4∫1∞dtt2+1−∫1∞t(t2+1)2t2+1arctant2t2+1dt=π216−∫011(t2+1)t2+2arctan1t2+2dt(t↦1t)=π216−∫011(t2+1)t2+2(π2−arctant2+2)dt=π216−π2∫01dt(t2+1)t2+2+I=π216−π212+Iπ216−I=−π248+II=5π296
でたーーー!!!でましたね。arctanがあったら上の証明した式を使うことも頭にあった方がいいかも知れません。1xで置換するのは この記事 でやってますね。1xを式で書くと、∫1∞f(x)dx=∫01f(1x)1x2dx∫1∞f(x)x2+1dx=∫01f(1x)x2+1dxこんな感じですね。分母がx2+1だったら1x置換がある可能性があるなと考えてます。
おしまい!!
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