便利さんの積分・級数botを解く④
積分を解く
どうも。らららです。
$\arctan$がある積分は$f(t)$設定するか級数展開か重積分でだいたい解けると思ってます。
今回は$f(t)$設定してやります。
今回解く積分のツイート
今はポストですね。わたしはどっちでもいいんですが。
今回参考にした$\mathbf{YouTube}$の
動画
解く積分
$$\int_{0}^{1}\frac{\arctan{\sqrt{x^2+2}}}{(x^2+1)\sqrt{x^2+2}}dx=\frac{5\pi^2}{96}$$
$\arctan$があるので微分か級数展開を使いそうです。
今回は微分で解きます。
解く前に
今回これ使います。
$$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$$
証明書いときます。
\begin{align}
\tan\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\frac{1}{\tan\theta}
\end{align}
$$\frac{\pi}2-\theta=\arctan{\frac{1}{\tan\theta}}$$
$$\theta=\arctan x$$
$$\frac{\pi}2-\arctan x=\arctan\frac{1}{x}$$
よって、
$$\arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}2$$
解いていきます。
解く
$$I=\int_{0}^{1}\frac{\arctan\sqrt{x^2+2}}{(x^2+1
)\sqrt{x^2+2}}dx$$
$$f(t)=\int_{0}^{1}\frac{\arctan t\sqrt{x^2+2}}{(x^2+1)\sqrt{x^2+2}}dx$$
\begin{align}
f'(t)&=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2+1)(t^2(x^2+2)+1)}dx
\\&=\frac{1}{t^2+1}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1}-\frac{t^2}{t^2+1}\int_{0}^{1}\frac{dx}{t^2x^2+2t^2+1}dx
\\&=\frac{\pi}{4}\frac{1}{t^2+1}-\frac{t}{(t^2+1)\sqrt{2t^2+1}}\arctan{\frac{t}{\sqrt{2t^2+1}}}
\end{align}
\begin{align}
f(\infty)&=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+2}}
\\&=\frac{\pi^2}{12}
\end{align}
$$f(1)=I$$
\begin{align}
f(\infty)-f(1)&=\int_{1}^{\infty}f'(t)dt
\\&=\frac{\pi}4\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{t^2+1}-\int_{1}^{\infty}\frac{t}{(t^2+1)\sqrt{2t^2+1}}\arctan{\frac{t}{\sqrt{2t^2+1}}}dt
\\&=\frac{\pi^2}{16}-\int_{0}^{1}\frac{1}{(t^2+1)\sqrt{t^2+2}}\arctan\frac{1}{\sqrt{t^2+2}}dt\qquad\left(t\mapsto \frac{1}{t}\right)
\\&=\frac{\pi^2}{16}-\int_{0}^{1}\frac{1}{(t^2+1)\sqrt{t^2+2}}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan\sqrt{t^2+2}\right)dt
\\&=\frac{\pi^2}{16}-\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}\frac{dt}{(t^2+1)\sqrt{t^2+2}}+I
\\&=\frac{\pi^2}{16}-\frac{\pi^2}{12}+I
\end{align}
$$\frac{\pi^2}{16}-I=-\frac{\pi^2}{48}+I$$
$$I=\frac{5\pi^2}{96}$$
でたーーー！！！
でましたね。
$\arctan$があったら上の証明した式を使うことも頭にあった方がいいかも知れません。
$\frac{1}{x}$で置換するのは
この記事
でやってますね。
$\frac{1}{x}$を式で書くと、
$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx=\int_{0}^{1}f\left(\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x^2}dx$$
$$\int_{1}^{\infty}\frac{f(x)}{x^2+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2+1}dx$$
こんな感じですね。
分母が$x^2+1$だったら$\frac{1}{x}$置換がある可能性があるなと考えてます。
おしまい！！