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便利さんの積分・級数botを解く④

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積分を解く

どうも。らららです。
arctanがある積分はf(t)設定するか級数展開か重積分でだいたい解けると思ってます。
今回はf(t)設定してやります。
今回解く積分のツイート
今はポストですね。わたしはどっちでもいいんですが。
今回参考にしたYouTube 動画

解く積分

01arctanx2+2(x2+1)x2+2dx=5π296

arctanがあるので微分か級数展開を使いそうです。
今回は微分で解きます。

解く前に

今回これ使います。

arctanx+arctan1x=π2

証明書いときます。
tan(π2θ)=1tanθ
π2θ=arctan1tanθ
θ=arctanx
π2arctanx=arctan1x
よって、
arctanx+arctan1x=π2

解いていきます。

解く

I=01arctanx2+2(x2+1)x2+2dx
f(t)=01arctantx2+2(x2+1)x2+2dx
f(t)=01dx(x2+1)(t2(x2+2)+1)dx=1t2+101dxx2+1t2t2+101dxt2x2+2t2+1dx=π41t2+1t(t2+1)2t2+1arctant2t2+1
f()=π201dx(x2+1)x2+2=π212
f(1)=I
f()f(1)=1f(t)dt=π41dtt2+11t(t2+1)2t2+1arctant2t2+1dt=π216011(t2+1)t2+2arctan1t2+2dt(t1t)=π216011(t2+1)t2+2(π2arctant2+2)dt=π216π201dt(t2+1)t2+2+I=π216π212+I
π216I=π248+I
I=5π296

でたーーー!!!
でましたね。
arctanがあったら上の証明した式を使うことも頭にあった方がいいかも知れません。
1xで置換するのは この記事 でやってますね。
1xを式で書くと、
1f(x)dx=01f(1x)1x2dx
1f(x)x2+1dx=01f(1x)x2+1dx
こんな感じですね。
分母がx2+1だったら1x置換がある可能性があるなと考えてます。

おしまい!!

投稿日:2023827
更新日:2024220
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適当に書きたいことを書きます。

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