積分解説20
有名問題です。
$\tria$ さんの こちら の記事を見て閃いたので、まずはそちらを見てみることをお勧めします。
$$ \displaystyle \int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^2 dx $$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^2 dx\\
&=&\int_0^\infty \sin^2x\int_0^\infty e^{-xy}dy\int_0^\infty e^{-xz}dzdx\\
&=&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(y+z)x}\sin^2xdxdydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty(1-\cos2x)e^{-(y+z)x}dxdydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l \int_0^\infty e^{-(y+z)x}dx-\int_0^\infty\cos2xe^{-(y+z)x}dx \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \left[-\frac1{y+z}e^{-(y+z)x} \right]_0^\infty-\Re\int_0^\infty e^{2ix}e^{-(y+z)x} dx\r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \frac1{y+z}-\Re\int_0^\infty e^{-(y+z-2i)x}dx \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l \frac1{y+z}-\Re\left[-\frac1{y+z-2i}e^{-(y+z-2i)x} \right]_0^\infty \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l\frac1{y+z}-\Re\frac1{y+z-2i} \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l\frac1{y+z}-\Re\frac{y+z+2i}{(y+z)^2+4} \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \frac1{y+z}-\frac{y+z}{(y+z)^2+4} \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_z^\infty \l \frac1y-\frac y{y^2+4} \r dydz\\
&=&\frac12\int_0^\infty \left[\log y-\frac12\log(y^2+4) \right]_z^\infty dz\\
&=&\frac14\int_0^\infty\log\l 1+\frac4{z^2} \r dz\\
&=&\frac14\left[z\log\l 1+\frac4{z^2}\r \right]_0^\infty+\frac14\int_0^\infty z\frac{\frac8{z^3}}{1+\frac4{z^2}}dz\\
&=&2\int_0^\infty \frac1{z^2+4}dz\\
&=&2\int_0^{\frac\pi2}\frac12dz\\
&=&\frac\pi2
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2$となります。
