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積分解説20

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

有名問題です。

$\tria$ さんの こちら の記事を見て閃いたので、まずはそちらを見てみることをお勧めします。

$$ \displaystyle \int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^2 dx $$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^2 dx\\ &=&\int_0^\infty \sin^2x\int_0^\infty e^{-xy}dy\int_0^\infty e^{-xz}dzdx\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(y+z)x}\sin^2xdxdydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty(1-\cos2x)e^{-(y+z)x}dxdydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l \int_0^\infty e^{-(y+z)x}dx-\int_0^\infty\cos2xe^{-(y+z)x}dx \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \left[-\frac1{y+z}e^{-(y+z)x} \right]_0^\infty-\Re\int_0^\infty e^{2ix}e^{-(y+z)x} dx\r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \frac1{y+z}-\Re\int_0^\infty e^{-(y+z-2i)x}dx \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l \frac1{y+z}-\Re\left[-\frac1{y+z-2i}e^{-(y+z-2i)x} \right]_0^\infty \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty\l\frac1{y+z}-\Re\frac1{y+z-2i} \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l\frac1{y+z}-\Re\frac{y+z+2i}{(y+z)^2+4} \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty \l \frac1{y+z}-\frac{y+z}{(y+z)^2+4} \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty\int_z^\infty \l \frac1y-\frac y{y^2+4} \r dydz\\ &=&\frac12\int_0^\infty \left[\log y-\frac12\log(y^2+4) \right]_z^\infty dz\\ &=&\frac14\int_0^\infty\log\l 1+\frac4{z^2} \r dz\\ &=&\frac14\left[z\log\l 1+\frac4{z^2}\r \right]_0^\infty+\frac14\int_0^\infty z\frac{\frac8{z^3}}{1+\frac4{z^2}}dz\\ &=&2\int_0^\infty \frac1{z^2+4}dz\\ &=&2\int_0^{\frac\pi2}\frac12dz\\ &=&\frac\pi2 \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2$となります。

投稿日:20201120

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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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