rieaaddIreiuuさんの自作問題３を解いてみました

$$ \mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{2}3^2\right)\\ =\mathrm{ord}_3\left( \frac{m(m-1)}{2}3^2 \right)\\ =2+\mathrm{ord}_3\left( m\right)+\mathrm{ord}_3\left( m-1\right)-\mathrm{ord}_3\left(2 \right)\\ =\mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3^1\right)+1+\mathrm{ord}_3\left( m-1\right)\\ >\mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3^1\right)\\ $$

$$ \mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{k}3^k\right)\\ =\mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3\cdot \binom{m-1}{k-1}\cdot 3^{k-1}\cdot \frac{1}{k}\right)\\ =\mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3 \right)+\mathrm{ord}_3\left(\binom{m-1}{k-1} \right)+(k-1)-\mathrm{ord}_3\left(k \right)\\ \geq \mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3 \right)+(k-1)-\mathrm{ord}_3\left(k \right) $$
$k\geq 3$のときは、$k\leq 3^{k-2}$が成り立つので、$\mathrm{ord}_3\left(k \right)\leq k-2$であり、したがって
$$ \mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{k}3^k\right)>\mathrm{ord}_3\left(\binom{m}{1}3\right) $$

$m=1,k=1$は自明な解である。以下$m>1$とする。
$$ (n+3)^m-n^m=\binom{m}{1}n^{m-1}3+\binom{m}{2}n^{m-2}3^2+\cdots +\binom{m}{m}3^m $$
より、
$$ \binom{m}{1}n^{m-1}3+\binom{m}{2}n^{m-2}3^2+\cdots +\binom{m}{m}3^m=3^k\ \ ...(A) $$
である。
いま、$n=3^lr$($l\in \mathbb{Z}_{\geq 0},\gcd(3,r)=1$)とおく。
(i)$l>1$のとき
式$(A)$の左辺は
$$ 3^m\left(\binom{m}{1}3^{(l-1)(m-1)}r^{m-1}+\cdots +\binom{m}{m-1}3^{l-1}r+1\right) =3^m(3で割って1余る数) $$
となり、これは$3$のべきになり得ない。
(ii)$l=1$のとき
式$(A)$の左辺は
$$ (3r+3)^m-(3r)^m=3^m((r+1)^m-r^m) $$
となる。よって、$(r+1)^m-r^m$が$3$のべきであるものを求めればよい。$m$が奇数のときは、$(r+1)^m-r^m$を$3$で割ったあまりが$1$になり、$m>1$と合わせて不適。よって$m$は偶数である。$m=2t$とおく。
$$ (r+1)^{2t}-r^{2t}=((r+1)^t+r^t)((r+1)^t-r^t) $$
が$3$のべきだから、
$$ (r+1)^t+r^t=3^a,(r+1)^t-r^t=3^b\ (a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0},a>b) $$
とおける。
$$ (r+1)^t=\frac{3^a+3^b}{2}=3^b\frac{3^{a-b}+1}{2}\\ r^t=\frac{3^a-3^b}{2}=3^b\frac{3^{a-b}-1}{2} $$
しかし$(r+1)^t,r^t$は互いに素だから、$b=0$である。すなわち$t=0,m=2$。つまり、$(r+1)^2-r^2=2r+1=3^c(c\in \mathbb{Z}_{>0})$となる。
こうして$(n,m,k)=(3(3^c-1)/2,2,c+2)$を得る。

(iii)$l=0$のとき
式$(A)$の左辺は
$$ \binom{m}{1}r^{m-1}3+\binom{m}{2}r^{m-2}3^2+\cdots +\binom{m}{m}3^m $$
ここで、$a_k=\binom{m}{k}3^k$とおくと、上の式は
$$ r^{m-1}a_1+r^{m-2}a_2+\cdots +a_m $$
であり、$m=3^pq$($p\in \mathbb{Z}_{\geq 0},\gcd(3,q)=1$)とおくと、補題から、$a_2,\cdots ,a_m$は$3^{p+2}$で割り切れるので、
$$ 3^{p+1}(r^{m-1}q+(3の倍数)) $$
となる。これは$3$のべきになり得ない。

以上から、求める解は、
$$ (n,m,k)=(c,1,1),(3(3^c-1)/2,2,c+2)\ (c\in \mathbb{Z}_{>0}) $$