rieaaddIreiuuさんの自作問題３を解いてみました

$$\begin{gathered} {\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})3^2\right) \\ ={\mathrm{ord}}_3\left(\frac{m(m-1)}{2}{3}^2\right) \\ =2+{\mathrm{ord}}_3\left(m\right)+{\mathrm{ord}}_3(m-1)-{\mathrm{ord}}_3\left(2\right) \\ ={\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3^1\right)+1+{\mathrm{ord}}_3(m-1) \\ >{\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3^1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})3^k\right) \\ ={\mathrm{ord}}_3((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{k-1})\cdot 3^{k-1}\cdot \frac{1}{k}) \\ ={\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3\right)+{\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{k-1})\right)+(k-1)-{\mathrm{ord}}_3\left(k\right) \\ \ge {\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3\right)+(k-1)-{\mathrm{ord}}_3\left(k\right) \end{gathered}$$
$k\ge 3$のときは、$k\le 3^{k-2}$が成り立つので、${\mathrm{ord}}_3\left(k\right)\le k-2$であり、したがって
$${\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})3^k\right)>{\mathrm{ord}}_3\left((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3\right)$$

$m=1,k=1$は自明な解である。以下$m>1$とする。
$$(n+3{)}^m-n^m=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})n^{m-1}3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})n^{m-2}{3}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})3^m$$
より、
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})n^{m-1}3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})n^{m-2}{3}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})3^m=3^k...(A)$$
である。
いま、$n=3^{l}r$($l\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},gcd(3,r)=1$)とおく。
(i)$l>1$のとき
式$(A)$の左辺は
$$3^m((\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})3^{(l-1)(m-1)}{r}^{m-1}+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m-1})3^{l-1}r+1)=3^m(3で割って1余る数)$$
となり、これは$3$のべきになり得ない。
(ii)$l=1$のとき
式$(A)$の左辺は
$$(3r+3{)}^m-(3r{)}^m=3^m((r+1{)}^m-r^m)$$
となる。よって、$(r+1{)}^m-r^m$が$3$のべきであるものを求めればよい。$m$が奇数のときは、$(r+1{)}^m-r^m$を$3$で割ったあまりが$1$になり、$m>1$と合わせて不適。よって$m$は偶数である。$m=2t$とおく。
$$(r+1{)}^{2t}-r^{2t}=((r+1{)}^t+r^t)((r+1{)}^t-r^t)$$
が$3$のべきだから、
$$(r+1{)}^t+r^t=3^a,(r+1{)}^t-r^t=3^b(a,b\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},a>b)$$
とおける。
$$\begin{gathered} (r+1{)}^t=\frac{3^a+3^b}{2}=3^b\frac{3^{a-b}+1}{2} \\ {r}^t=\frac{3^a-3^b}{2}=3^b\frac{3^{a-b}-1}{2} \end{gathered}$$
しかし$(r+1{)}^t,r^t$は互いに素だから、$b=0$である。すなわち$t=0,m=2$。つまり、$(r+1{)}^2-r^2=2r+1=3^c(c\in {\mathbb{Z}}_{>0})$となる。
こうして$(n,m,k)=(3(3^c-1)/2,2,c+2)$を得る。

(iii)$l=0$のとき
式$(A)$の左辺は
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})r^{m-1}3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})r^{m-2}{3}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})3^m$$
ここで、$a_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})3^k$とおくと、上の式は
$$r^{m-1}{a}_1+r^{m-2}{a}_2+\cdots +a_m$$
であり、$m=3^{p}q$($p\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},gcd(3,q)=1$)とおくと、補題から、$a_2,\cdots ,a_m$は$3^{p+2}$で割り切れるので、
$$3^{p+1}(r^{m-1}q+(3の倍数))$$
となる。これは$3$のべきになり得ない。

以上から、求める解は、
$$(n,m,k)=(c,1,1),(3(3^c-1)/2,2,c+2)(c\in {\mathbb{Z}}_{>0})$$