大学数学基礎解説

自作問題3が解かれたので

整数問題

はじめに

https://mathlog.info/articles/826
解いたひとです.

こっちでは想定解を載っけようと思います.

問題

$(n + 3)^{m} = n^{m} + 3^{k}$ を満たす正整数 $(n, m, k)$ の組をすべて求めよ.

解答

LTEの補題

$o r d_{p} N$ で $N$ を素数 $p$ で割り切れる最大回数とおく.
$N - M$ が奇素数 $p$ の倍数で, $N, M$ がいずれも $p$ の倍数でないとき,正整数 $n$ に対して
$o r d_{p} (N^{n} - M^{n}) = o r d_{p} (N - M) + o r d_{p} (n)$
が成立する.

証明は割愛, https://su-hai.hatenablog.com/entry/11560170
を参考に.

$(n + 3)^{m} = n^{m} + 3^{k}$ が成立するなら $k ≧ m$
を満たし,等号成立は $m = k = 1$

$(n + 3)^{m} ≧ n^{m} + 3^{m}$ を示せばよい.
$m = 1$ のときは明らかに成立.
$m = 2$ のときは $6 n > 0$ だから成立.
$m = t$ のときに成立を仮定する.
このとき, $(n + 3)^{t + 1} = (n + 3) (n + 3)^{t} ≧ (n + 3) (n^{t} + 3^{t}) > n^{t + 1} + 3^{t + 1}$
であるから $m = t + 1$ のときも成立する.
また, $m = 2$ で等号が成立しないので $m ≧ 2$ で等号不成立.
等号成立は $m = k = 1$

本題

1, $n$ が3の倍数でない場合

LTEの補題から,
$k = o r d_{3} (m) + 1$ が成立する.
また,命題2より
$k ≧ m$ であるから,
$o r d_{3} (m) + 1 ≧ m$ が成立.
この条件を満たす正整数 $m$ は $m = 1$ だけである.
$m = 1$ のときは一般解 $(n, m, k) = (x, 1, 1) (x \in N)$
が存在し,これは解の一つ.

2, $n$ が3の倍数である場合

$n = 3 a (a \in N)$ と書ける.
すなわち,与式は
$3^{m} ((a + 1)^{m} - a^{m}) = 3^{k}$ と書ける.

(i) $(a + 1)^{m} - a^{m}$ が3の倍数でない場合
両辺の割り切れる最大回数は等しいので $m = k$ だから
命題2より $m = k = 1$

(ii) $(a + 1)^{m} - a^{m}$ が3の倍数である場合
この条件を満たすには $m$ が偶数であることが必要.
よって $m = 2 b (b \in N)$ と書ける.
代入して因数分解すると,
$(n + 3)^{2 b} - n^{2 b} = ((n + 3)^{b} - n^{b}) ((n + 3)^{b} + n^{b}) = 3^{k}$
となる.
ここで, $c + d = k (c, d \in N, c < d)$ なる
$c, d$ を用いて
$\begin{array}{r} {\begin{cases} (n + 3)^{b} - n^{b} = 3^{c} \dots A \\ (n + 3)^{b} + n^{b} = 3^{d} \dots B \end{cases} \end{array}$
と表せる.
これを $n^{b}, (n + 3)^{b}$ について解くと,
$\begin{array}{r} {\begin{cases} 2 n^{b} = 3^{c} (3^{d - c} - 1) \dots - A + B \\ 2 (n + 3)^{b} = 3^{c} (3^{d - c} + 1) \dots A + B \end{cases} \end{array}$
と表せる. $d - c > 0$ より, $3^{d - c} \pm 1$ は3の倍数でないので,
$o r d_{3} (n) b = o r d_{3} (n + 3) b = c$ が成立する.
$o r d_{3} (n) = 1$ が必要なので, $b = c$ であるから,
式 $A$ に代入して $(n + 3)^{b} - n^{b} = 3^{b}$ である.
命題2より $b = 1$ から $m = 2$ である.
$m = 2$ の場合については一般解 $(n, m, k) = (\frac{3^{x + 1} - 3}{2}, 2, x + 2) (x \in N)$
が存在する.よって,求める解は,
$(n, m, k) = (x, 1, 1) (\frac{3^{x + 1} - 3}{2}, 2, x + 2) (x \in N)$
である.