3

自作問題3が解かれたので

61
1
$$$$

はじめに

https://mathlog.info/articles/826
解いたひとです.

こっちでは想定解を載っけようと思います.

問題

$ (n+3)^m =n^m +3^k $を満たす正整数$(n,m,k)$の組をすべて求めよ.

解答

LTEの補題

$ ord_pN $$ N $を素数$p$で割り切れる最大回数とおく.
$ N-M $が奇素数$p$の倍数で,$N,M$がいずれも$p$の倍数でないとき,正整数$n$に対して
$$ ord_p(N^n-M^n)=ord_p(N-M)+ord_p(n) $$
が成立する.

証明は割愛, https://su-hai.hatenablog.com/entry/11560170
を参考に.

$ (n+3)^m =n^m +3^k $が成立するなら$ k \geqq m $
を満たし,等号成立は$ m=k=1 $

$ (n+3)^m \geqq n^m +3^m $を示せばよい.
$m=1$のときは明らかに成立.
$m=2$のときは$6n>0$だから成立.
$m=t$のときに成立を仮定する.
このとき,$(n+3)^{t+1}=(n+3)(n+3)^t \geqq (n+3)(n^t +3^t) >n^{t+1} +3^{t+1} $
であるから$m=t+1$のときも成立する.
また,$m=2$で等号が成立しないので$m \geqq 2$で等号不成立.
等号成立は$m=k=1$

本題

1,$n$が3の倍数でない場合

LTEの補題から,
$k=ord_3(m)+1$が成立する.
また,命題2より
$k \geqq m$であるから,
$ord_3(m)+1 \geqq m$が成立.
この条件を満たす正整数$m$$m=1$だけである.
$m=1$のときは一般解$(n,m,k)=(x,1,1) ( x \in \mathbb{N} )$
が存在し,これは解の一つ.

2,$n$が3の倍数である場合

$ n=3a(a \in \mathbb{N} ) $と書ける.
すなわち,与式は
$3^m ((a+1)^m -a^m)=3^k$と書ける.

(i) $(a+1)^m -a^m $が3の倍数でない場合
両辺の割り切れる最大回数は等しいので$m=k$だから
命題2より$m=k=1$

(ii) $(a+1)^m -a^m$が3の倍数である場合
この条件を満たすには$m$が偶数であることが必要.
よって$ m=2b(b \in \mathbb{N} ) $と書ける.
代入して因数分解すると,
$ (n+3)^{2b} -n^{2b} \\ =((n+3)^b -n^b)((n+3)^b +n^b)=3^k $
となる.
ここで,$ c+d=k(c,d \in \mathbb{N} , c< d) $なる
$c,d$を用いて
$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (n+3)^b -n^b =3^c \cdots A\\ (n+3)^b +n^b =3^d \cdots B \end{array} \right. \end{eqnarray} $
と表せる.
これを$n^b , (n+3)^b$について解くと,
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2n^b =3^c(3^{d-c}-1) \cdots -A+B\\ 2(n+3)^b =3^c(3^{d-c}+1) \cdots A+B \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
と表せる.$d-c>0$より,$ 3^{d-c} \pm 1 $は3の倍数でないので,
$ord_3(n)b=ord_3(n+3)b=c$が成立する.
$ord_3(n)=1$が必要なので,$b=c$であるから,
$A$に代入して$(n+3)^b -n^b =3^b$である.
命題2より$b=1$から$m=2$である.
$m=2$の場合については一般解$ (n,m,k)=(\frac{3^{x+1}-3}{2} ,2,x+2) (x \in\mathbb{N})$
が存在する.よって,求める解は,
$$ (n,m,k)=(x,1,1)( \frac{3^{x+1}-3}{2} ,2,x+2)(x \in \mathbb{N} ) $$
である.

あとがき

やっぱり場合分けが多い.つかれた
そして整数は面白い.
ワンチャンLTEの補題の証明のほうが長い

投稿日:20201121

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

自作問題を作ったり 他作問題を解いたり 再開

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中