フレネル積分

200

有名問題です。

記事を書いている途中で気付いたのですが、 $τ ρ ι α$ さんのこちらの記事と大筋が似ているので、まずはそちらを見ることをお勧めします。

$\int_{0}^{\infty} \sin x^{2} d x$

$\frac{1}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{\sqrt{x}} d x = \frac{1}{\sqrt{t}}$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{\sqrt{x}} d x \\ = & \frac{1}{\sqrt{t π}} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u}}{\sqrt{u}} d u (u = x t) \\ = & \frac{1}{\sqrt{t π}} Γ (\frac{1}{2}) \\ = & \frac{1}{\sqrt{t}} ◻ \end{array}$

$L_{x} [\sin x] (p) = \frac{1}{1 + p^{2}}$

$\begin{array}{rcl} L_{x} [\sin x] (p) \\ = & \int_{0}^{\infty} e^{- p x} \sin x d x \\ = & Im \int_{0}^{\infty} e^{- p x} e^{i x} d x \\ = & Im \int_{0}^{\infty} e^{- (p - i) x} d x \\ = & Im {[- \frac{1}{p - i} e^{- (p - i) x}]}_{0}^{\infty} \\ = & Im \frac{1}{p - i} \\ = & Im \frac{p + i}{1 + p^{2}} \\ = & \frac{1}{1 + p^{2}} ◻ \end{array}$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{a} x d x = \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2} a$

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{a} x d x \\ = & \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{a} x \cos^{- a} x d x \\ = & \frac{1}{2} B (\frac{1 + a}{2}, \frac{1 - a}{2}) \\ = & \frac{Γ (\frac{1 + a}{2}) Γ (\frac{1 - a}{2})}{2 Γ (1)} \\ = & \frac{π}{2 \sin \frac{1 + a}{2} π} \\ = & \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2} a ◻ \end{array}$

この記事ではこの一般化に $a = \frac{1}{2}$ を代入した、

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\tan x}} d x = \frac{π}{\sqrt{2}}$

を使います。

これらの補題を踏まえて解いてみます。

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} \sin x^{2} d x \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} d t (t = x^{2}) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \sin t \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- y t}}{\sqrt{y}} d y d t \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{y}} \int_{0}^{\infty} e^{- y t} \sin t d t d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{y}} L_{t} [\sin t] (y) d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{y} (1 + y^{2})} d y \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{π}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\tan θ}} d θ (y = \tan θ) \\ = & \sqrt{\frac{π}{8}} ◻ \end{array}$