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複素解析:$\sqrt{z}$の解析接続

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今回の目標

複素数zに対して、平方根を取る関数zを定義したいのですが、実はこれは一筋縄ではいきません。この記事では、どのような点でうまくいかないのか、解析接続という見方からどのようにzがとらえられるかを解説します。

今回の予備知識

定義など

以前の記事 での解析接続の定義は次のようなものでした。

解析接続

Ω1,Ω2Cを領域とし、UΩ1Ω2を空でない領域とする。f1:Ω1C, f2:Ω2Cを正則関数とする。f2Uをのりしろとしたf1Ω2への解析接続であるとは、U上でf1=f2が成り立つことをいう。

今回の記事では、この定義に基づいて、のりしろUを介して関数を「貼り付けていく」ことによりzについて考察していきます。

とりあえず雑にzを定義してみる

複素数zは、極形式という形で以下のようにあらわされるのでした:
z=r(cosθ+isinθ)
ただし、r=|z|zの絶対値、θzの偏角です。また、ふたつの複素数の積は、
z1=r1(cosθ1+isinθ1),
z2=r2(cosθ2+isinθ2)
に対して、
z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))
と表されるのでした。

これを見ると、z=r(cosθ+isinθ)と表しておいて、
z:=r(cosθ2+isinθ2)
と定義すればよいような気がしますが、これでは定義になっていません。というのも、偏角θの選び方が一通りではないからです。

実際、極形式でθの代わりにθ+2πとしてもzは変わりません。このとき、zの式ではθ2θ2+πとなり、偏角が180度変わってしまいます。このことは、z0の平方根が符号の違いでふたつ存在することに対応しています。

いい感じに定義できるように定義域を狭めてみる

そこで、例えば、偏角θの動く範囲をπ<θ<πに制限してみましょう。すると、zの偏角の表し方は一通りになり、zは一意的に定まりそうです。

対応z=r(cosθ+isinθ)z=r(cosθ2+isinθ2)が領域Ω={zC{0},π<θ<π}上の正則関数になることを確かめてみましょう。

そのために、今回は極座標に関するコーシー・リーマンの方程式を使います。f=u+ivのように実部と虚部に分けて、
ur=1rvθ,vr=1ruθ
を示せば正則性が従います。今回はu=rcosθ2, v=rsinθ2なので、計算すると、
ur=12rcosθ2=1rvθ,
vr=12rsinθ2=1ruθ
となります。これより、zΩ上の正則関数になることが分かります。

これで一件落着……というわけにもいかず、例えばこの選び方だと1が定義されていないですね。それでは、1が定義域に入るように0<θ<2πと選ぶことにしてみると、今度は1が定義域に入っていません。このように、すべての複素数に対してzが連続に(あるいは正則に)なるようにうまく定義することはできないことが知られています。

実用上は、この節でみたように、都合がいいようにCの一部分を選び、そこで適切にzを定義して使うことになります(この操作を分枝を取ると言ったりします)。

解析接続

偏角をπ<θ<πの範囲に制限して定義したzと、0<θ<2πの範囲に制限して定義したzは、上半平面(0<θ<πの部分)では同じ関数を定めていますね。これを解析接続という言葉を用いて表現すると、次のようになります:

Ω1:={zC{0}:π<θ<π}, Ω2:={zC{0}:0<θ<2π}とおく。Ω1上で定義したzf1Ω2上で定義したzf2とおく。すると、f2Ω1Ω2をのりしろとするf1Ω2への解析接続である。

下半平面(π<θ<0、あるいはπ<θ<2πの部分)もΩ1Ω2に含まれていますが、ここではf1f2となっています。解析接続により一周回って戻ってきたとき、元の関数と値が変わっている例になっています。

また、同様にしてさらに解析接続を続けていくこともできます。zが原点の周りを2周すると関数zの値が元に戻るようになっていることを確かめてみると面白いかもしれません。

まとめ

今回の記事では、以下のことを紹介しました:

  • zが複素数全体で「いい感じに」定義できないこと
  • 部分的に正則に定義することはできて、解析接続と思ってそれらを貼り合わせられること

またこのあたりの話題を紹介できればと思っております。ここまでお読みいただきありがとうございました。それではまた!

投稿日:20201122
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  2. 今回の予備知識
  3. 定義など
  4. とりあえず雑にzを定義してみる
  5. いい感じに定義できるように定義域を狭めてみる
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