相加・相乗平均の不等式の一般化

以下, 多変数函数 $f : R^{n} \to R$ に対して, 全微分可能であることを単に微分可能ということにする. $a \in R^{n}$ で微分可能な函数 $f$ に対して, その勾配を $D f (a)$ とする. 則ち,
$\begin{array}{r} D f (a) =^{^{^{t}}} (\frac{\partial f (a)}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f (a)}{\partial x_{2}}, \dots, \frac{\partial f (a)}{\partial x_{n}}) \in R^{n} \end{array}$
である.

相加・相乗平均の不等式とLagrangian,Hamiltonianの関係について考える.

前回の記事で紹介した Legendre変換とLagrangian,Hamiltonianのconvex duality性により, $L$ または $H$ のどちらかを先に定義すれば,そのLegendre変換を用いて, $H := L^{*}$ または $L := H^{*}$ と定義すれば良いことが分かった.
Legendre変換の定義より, 次が分かる:
$\begin{array}{r} (♡) & v \cdot p \leq L (v) + H (p), v, p \in R^{n} . \end{array}$
この不等式( $♡$ )と, 相加・相乗平均の不等式及び Youngの不等式の関係について考える.

まず, 具体的な Lagrangian $L$ に対して,そのLegendre変換 $L^{*} = H$ を計算してみよう:

Legendre変換の例1

$L (v) = \frac{1}{2} | v |^{2}, v \in R^{n}$ とする. 勿論, この $L$ は凸かつ強圧的の仮定を満たす. このとき, $L^{*} = H$ は,
$\begin{array}{r} H (p) = \frac{1}{2} | p |^{2}, p \in R^{n} \end{array}$
となる.

$p \in R^{n}$ を任意に固定する. $F (v) = p \cdot v - L (v), v \in R^{n}$ とおく. $F$ が $R^{n}$ 上で最大値を取ることは前回示したので, $v^{*} \in R^{n}$ で最大値を取るとすと, $D F (v^{*}) = 0$ であるから,

$\begin{aligned} D F (v^{*}) = p - v^{*} & = 0 \\ ⟺ v^{*} & = p \end{aligned}$
となる. 従って,
$\begin{aligned} H (p) = L^{*} (p) & = max_{v \in R^{n}} {v \cdot p - L (v)} \\ = v^{*} \cdot p - L (v^{*}) \\ = | p |^{2} - \frac{1}{2} | p |^{2} \\ = \frac{1}{2} | p |^{2} . \end{aligned}$
以上より,
$\begin{array}{r} H (p) = \frac{1}{2} | p |^{2}, p \in R^{n} \end{array}$
を得る.

この例に於いて, $n = 1, v, p \geq 0$ として, ( $♡$ )に代入すると,
$\begin{aligned} v \cdot p & \leq \frac{1}{2} v^{2} + \frac{1}{2} p^{2} \\ ⟺ \sqrt{v \cdot p} & \leq \frac{v + p}{2} \end{aligned}$
を得る. これは当に, 高校の数学Ⅱで習う「相加・相乗平均の不等式」である.

また, より一般に共役指数 $α > 1$ , $β > 1$ , ( $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = 1$ ) に対して, 次が成り立つ:

Legendre変換の例2

$L (v) = \frac{1}{α} | v |^{α}, v \in R^{n}$ に対して, $H (p) = \frac{1}{β} | p |^{β}, p \in R^{n}$ となる.

p163, 3.5 Problems 10. を参照.

この例に於いて, ( $♡$ ) に代入すると,
$\begin{array}{r} v \cdot p \leq \frac{1}{α} | v |^{α} + \frac{1}{β} | p |^{β}, v, p \in R^{n} \end{array}$
が成り立つ. これは当に Youngの不等式である.