Frullani integralというものがあります。
$a,b$を正の実数とし、関数$f(x)$の$x\to\infty$での極限を$f(\infty)$と表すこととすると、
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=\qty(f(\infty)-f(0))\ln(\frac a b)
\end{align}
が成り立つ。
\begin{align} \int_{0}^{\infty}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\infty}\int_{a}^{b}f'(tx)\mathrm{d}t\mathrm{d}x \\ &=\int_{a}^{b}\frac {f(\infty)-f(0)}{t}\mathrm{d}t \\ &=\qty(f(\infty)-f(0))\ln(\frac a b) \end{align}
非常に綺麗な等式ですね。
この記事
でも、変数変換の違いがあるだけで、実質的にはこのFrullani integralを行っています。
今回は、$f$が周期的な関数である場合の、似通った関係式を紹介します。
$f$を周期$p$の関数で、$f(0)=0$を満たすものとする。このとき、正の実数$a,b$に対し、
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=\frac 1p \int_{0}^{p}f(x)\mathrm{d}x\ln(\frac a b)
\end{align}
が成り立つ。
証明は、 vunu さんに教えていただきました。(ありがとうございます!)
$X$を正の数とする。
\begin{align}
\int_{0}^{X}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{a}\frac {f(ax)}{x}\mathrm{d}x-\int_{0}^{b}\frac {f(ax)}{x}\mathrm{d}x
\\
&=\int_{0}^{aX}\frac {f(x)}{x}\mathrm{d}x-\int_{0}^{bX}\frac {f(x)}{x}\mathrm{d}x \quad{(\text{それぞれ、 }x\to x/a,x/b\text{と置換した}})
\\
&=\int_{bX}^{aX}\frac {f(x)}{x}\mathrm{d}x
\end{align}
となる。ここで、関数$F(x)$を、
$$F(x)=\frac 1 x \int_{0}^{x}f(t)\mathrm{d}t$$と定めると、$(xF(x))'=f(x)$より、
\begin{align}
\int_{bX}^{aX}\frac {f(x)}{x}\mathrm{d}x&=\int_{bX}^{aX}\frac {(xF(x))'}{x}\mathrm{d}x
\\
&=F(aX)-F(bX)+\int_{bX}^{aX}\frac {F(x)}{x}\mathrm{d}x
\end{align}
となる。ここで、最後の項の積分について、$x=e^t$という変数変換を施すと、
$$ \int_{bX}^{aX}\frac {F(x)}{x}\mathrm{d}x=\int_{\ln(bX)}^{\ln(aX)}F(e^t)\mathrm{d}t$$
ここで、積分の平均値の定理より、
$$F(e^c)=\frac {1}{\ln(aX)-\ln(bX)}\int_{bX}^{aX}F(e^t)\mathrm{d}t=\frac {1}{\ln(a/b)}\int_{bX}^{aX}F(e^t)\mathrm{d}t$$
となる実数$c$が、$\ln(bX)< c<\ln(aX)$で存在する。よって、
$$\int_{bX}^{aX}\frac {f(x)}{x}\mathrm{d}x=F(aX)-F(bX)+F(e^c)\ln(\frac a b)$$
である。
ここで、$F(\infty)$、つまり$\displaystyle \lim_{x\to\infty}F(x)$を考える。自然数$n$を用いて、$x=np$とすると($p$は$f$の周期)、$x\to\infty$で$n\to\infty$であるから、
\begin{align}
\lim_{x\to\infty}F(x)&=\lim_{n\to\infty}\frac 1 {np}\int_{0}^{np}f(t)\mathrm{d}t
\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac {1}{np}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{kp}^{(k+1)p}f(t)\mathrm{d}t
\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac {1}{np}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{p}f(t-kp)\mathrm{d}t\quad (t\to t + kp\text{と置換した})
\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac {1}{np}\sum_{k=0}^{n-1}\int_{0}^{p}f(t)\mathrm{d}t \quad (f\text{の周期性より})
\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac 1 {np}\cdot n \int_{0}^{p}f(t)\mathrm{d}t=\frac 1 p \int_{0}^{p}f(x)\mathrm{d}x
\end{align}
となる。よって、$X\to\infty$の極限において、
$$\lim_{X\to \infty}\int_{0}^{X}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=\frac 1 p \int_{0}^{p}f(x)\mathrm{d}x\ln(\frac a b)$$
となることから、定理2は示される。
平均値の定理を用いる部分がミソですね。ちなみに、なぜ$f(0)=0 $という条件が必要かという話ですが、
おそらく証明の最初の部分の、積分を二つに分割したとき、それぞれの積分が収束するために$f(0)=0$である必要があるからかと思われます。
そのため、$f(0)=0$でないような周期関数について計算したい場合は、新たに$f(x)-f(0)\to f(x)$と置きなおせばよいです。都合の良いことに、元の積分が差をとっているので、上手くいきます。
$f$を周期$p$の関数とする。このとき、正の実数$a,b$に対し、
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x=\qty({\frac 1 p\int_{0}^{p}f(x)\mathrm{d}x-f(0)})\ln \qty(\frac a b)
\end{align}
が成り立つ。
$f(x)-f(0)=g(x)$とおく。$g(x)$は周期$p$の関数である。
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac {f(ax)-f(bx)}{x}\mathrm{d}x&=\int_{0}^{\infty}\frac {\qty({f(ax)-f(0)})-\qty({f(bx)-f(0)})}{x}\mathrm{d}x
\\
&=\int_{0}^{\infty}\frac {g(ax)-g(bx)}{x}\mathrm{d}x
\end{align}
となるが、$g(0)=0$を満たすので、定理2より、
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac {g(ax)-g(bx)}{x}\mathrm{d}x&=\frac 1 p \int_{0}^{p}g(x)\mathrm{d}x\ln \qty(\frac a b)
\\
&=\qty({\frac 1 p\int_{0}^{p}\qty({f(x)-f(0)})\mathrm{d}x})\ln\qty(\frac a b)
\\
&=\qty({\frac 1 p\int_{0}^{p}f(x)\mathrm{d}x-f(0)})\ln\qty(\frac a b)
\end{align}
となり、示される。
より元のFrullani integralの形に近づきましたね。
以下、この公式を用いた積分の例を示します。
$$ \int_{0}^{\infty}\frac {\sin^2(2x)-\sin^2(x)}{x}\mathrm{d}x=\frac 1 2 \ln 2$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac {\ln \qty(\frac {5+4\cos(2x)}{5+4\cos(3x)})}{x}\mathrm{d}x=2\ln^2\qty(\frac 3 2)$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac {\sqrt{|\sin(2x)|}-\sqrt{|\sin(x)|}}{x}\mathrm{d}x=\frac {4\sqrt{2\pi}\ln2}{\Gamma\qty(\frac 1 4)^2}$$
$$\int_{0}^{\infty}\frac {e^{-\tan^2(2x)}-e^{-\tan^2(x)}}{x}\mathrm{d}x=\qty({e-e\cdot \operatorname{erf}(1)-1})\ln 2$$
上の例は三角関数ですが、周期関数であればよいので、次のような例も考えられます。
\begin{align} &\int_{0}^{\infty}\frac { \lbrace \sqrt{2}x \rbrace -\lbrace x \rbrace}{x}\mathrm{d}x=\frac 1 4 \ln2 \\ &\text{ただし、}\lbrace x \rbrace =x-\lfloor x\rfloor\end{align}
非常に興味深い積分がたくさん得られました。元のFrullani integralは実際には$a,b$が実数に限らず、複素数としても成り立つ場合があるので、periodic Frullani integralについて、そのような例も考えると面白いと思われます。
今回は以上です。