級数解説05

湧水 さんの こちら の記事にある級数を解きます。

$\begin{array}{r}{\displaystyle {\arcsin }^2\frac{x}{2}}\end{array}$ のマクローリン展開より、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{x}^{2n}=2{\arcsin }^{2}x}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n+1}}{n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{x}^{2n-1}=\frac{4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}}{n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{x}^{2n}=\frac{2x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n+1}}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{x}^{2n-1}=\frac{2\arcsin x}{(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{2x}{1-x^2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{!}^2{2}^{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{x^2}{1-x^2}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{!}^2}{(2n)!}(2x{)}^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{x^2}{1-x^2}+1}$

${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$を代入し、

が求まりました。

また、${\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}}$を代入し、

が求まりました。

さらに、${\displaystyle x=1}$を代入し、

が求まりました。