級数解説05
$\begin{eqnarray*}\d\arcsin^2\frac x2\end{eqnarray*}$ のマクローリン展開より、
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}}{n^2\binom{2n}n}x^{2n}=2\arcsin^2x $
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n+1}}{n\binom{2n}n}x^{2n-1}=\frac{4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} $
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}}{n\binom{2n}n}x^{2n}=\frac{2x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} $
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n+1}}{\binom{2n}n}x^{2n-1}=\frac{2\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{2x}{1-x^2} $
$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{n!^22^{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{x^2}{1-x^2} $
$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{n!^2}{(2n)!}(2x)^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{x^2}{1-x^2}+1 $
$\d x=\frac12$を代入し、
$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{n!^2}{(2n)!}=\frac{2\pi}{9\sqrt3}+\frac43 $$
が求まりました。
また、$\d x=\frac1{\sqrt2}$を代入し、
$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{2^nn!^2}{(2n)!}=\frac\pi2+2 $$
が求まりました。
さらに、$\d x=1$を代入し、
$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn!^2}{(2n)!}=\frac45\l1-\frac{\log\varphi}{\sqrt5}\r $$
が求まりました。