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級数解説05

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

湧水 さんの こちら の記事にある級数を解きます。

$\begin{eqnarray*}\d\arcsin^2\frac x2\end{eqnarray*}$ のマクローリン展開より、

$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}}{n^2\binom{2n}n}x^{2n}=2\arcsin^2x $

$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n+1}}{n\binom{2n}n}x^{2n-1}=\frac{4\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} $

$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}}{n\binom{2n}n}x^{2n}=\frac{2x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} $

$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n+1}}{\binom{2n}n}x^{2n-1}=\frac{2\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{2x}{1-x^2} $

$\d\sum_{n=1}^\infty\frac{n!^22^{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{x^2}{1-x^2} $

$\d\sum_{n=0}^\infty\frac{n!^2}{(2n)!}(2x)^{2n}=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}+\frac{x^2}{1-x^2}+1 $

$\d x=\frac12$を代入し、

$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{n!^2}{(2n)!}=\frac{2\pi}{9\sqrt3}+\frac43 $$

が求まりました。

また、$\d x=\frac1{\sqrt2}$を代入し、

$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{2^nn!^2}{(2n)!}=\frac\pi2+2 $$

が求まりました。

さらに、$\d x=1$を代入し、

$$ \d\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nn!^2}{(2n)!}=\frac45\l1-\frac{\log\varphi}{\sqrt5}\r $$

が求まりました。

投稿日:20201123

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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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