好きな積分1
はじめに
みなさんには好きな積分はありますか？
このシリーズ(???)では自分の好きな積分を紹介していく記事を書いていくつもりです！
第1回はこちらです.
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x^2}{\tan{x}}\,dx=\dfrac{\pi^2}{4}\ln{2}-\dfrac{7}{8}\zeta{(3)}$$
単純に見た目が好きなんです！！！
本題
では解いていきます.だいぶ端折ってます
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x^2}{\tan{x}}\,dx=\dfrac{\pi^2}{4}\ln{2}-\dfrac{7}{8}\zeta{(3)}$$
部分積分する.微分する側を$x^2$とすると,
$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x^2}{\tan{x}}\,dx=\bigl[x^2\ln{(\sin{x})}\bigl]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\ln{(\sin{x})}\,dx=-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\ln{(\sin{x})}\,dx$$
$ $
級数展開
$$\ln{(\sin{x})}=-\ln{2}-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos{(2nx)}}{n}\qquad(0< x<\pi)$$より,
$I=-2J$とすると,
$$J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\ln{(\sin{x})}\,dx=-\ln{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,dx-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\cos{(2nx)}\,dx$$
$ $
積分を解くと,
$ $
$$=-\dfrac{\pi^2}{8}\ln{2}-\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{(-1)^n-1}{4n^2}$$
$$=-\dfrac{\pi^2}{8}\ln{2}-\dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n-1}{n^3}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n-1}{n^3}=-\eta(3)-\zeta(3)=-\dfrac{7}{4}\zeta(3)$$
$$J=-\dfrac{\pi^2}{8}\ln{2}+\dfrac{7}{16}\zeta(3)$$
$ $
よって$I$は
$$\therefore \quad I=\dfrac{\pi^2}{4}\ln{2}-\dfrac{7}{8}\zeta{(3)}$$
最後に
いかがでしたか？
今回のやり方とは別にポリガンマ関数を用いる方法もあります！軽く紹介するなら
$ $
$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\dfrac{\pi}{\sin{\pi x}}$
$ $
という式から$\ln{(\sin{x})}$を表し,過程を踏んで次のように表します.
$$J=-\dfrac{\pi^2}{8}\ln{2}-\dfrac{1}{32}\psi^{(2)}\biggl(\dfrac{1}{2}\biggl)$$
(そしたら勝ち)
ではまた次の記事でお会いしましょ〜
