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東大数理院試過去問解答例(2021A05)

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2021A05

$p>\frac{1}{2}$について積分値
$$ \frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}\int_0^\infty\frac{\sin(x^p)}{\sqrt{x}}dx $$
を計算しなさい。

まず
$$ \begin{split} \frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)} \int_0^\infty\frac{\sin(x^p)}{\sqrt{x}}dx&=\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)} \int_0^\infty\frac{\sin(t)}{t^{\frac{1}{2p}}}\frac{dt}{pt^{\frac{p-1}{p}}}\\ &=\frac{1}{p {\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}}\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t^{1-\frac{1}{2p}}}\\ &=\frac{1}{p \Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}\int_0^\infty t^{\frac{1}{2p}-1}\sin(t)dt\\ &=\frac{\sin(\frac{\pi}{4p})}{p} \end{split} $$
であるから、求める値は$\color{red}\frac{1}{p}\sin\frac{\pi}{4p}$である。

解答例としては良くないことですが、上の議論の中でさらっと使った
$$ \forall x\in(0,1)\quad \int_0^\infty t^{x-1}\sin(t)dt=\Gamma(x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) $$
は本来きちんと証明しなければいけないことです。この積分は以前に 東大数理2014B09 を取り扱った際に計算したため、この記事では計算を省略しましたが、実際に解答を書く際はきちんと議論しましょう。

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投稿者

佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。アサルトリリィのキャラクター(佐々木藍(Ran Sasaki))と名前被りしてたので名前を変えました

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