東大数理院試過去問解答例(2021A05)
$p>\frac{1}{2}$について積分値
$$
\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}\int_0^\infty\frac{\sin(x^p)}{\sqrt{x}}dx
$$
を計算しなさい。
まず
$$
\begin{split}
\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)} \int_0^\infty\frac{\sin(x^p)}{\sqrt{x}}dx&=\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)} \int_0^\infty\frac{\sin(t)}{t^{\frac{1}{2p}}}\frac{dt}{pt^{\frac{p-1}{p}}}\\
&=\frac{1}{p {\Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}}\int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t^{1-\frac{1}{2p}}}\\
&=\frac{1}{p \Gamma\left(\frac{1}{2p}\right)}\int_0^\infty t^{\frac{1}{2p}-1}\sin(t)dt\\
&=\frac{\sin(\frac{\pi}{4p})}{p}
\end{split}
$$
であるから、求める値は$\color{red}\frac{1}{p}\sin\frac{\pi}{4p}$である。
解答例としては良くないことですが、上の議論の中でさらっと使った
$$
\forall x\in(0,1)\quad \int_0^\infty t^{x-1}\sin(t)dt=\Gamma(x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)
$$
は本来きちんと証明しなければいけないことです。この積分は以前に
東大数理2014B09
を取り扱った際に計算したため、この記事では計算を省略しましたが、実際に解答を書く際はきちんと議論しましょう。
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