東大数理院試過去問解答例(2021A05)

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2021A05

$p > \frac{1}{2}$ について積分値
$\frac{1}{Γ (\frac{1}{2 p})} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x^{p})}{\sqrt{x}} d x$
を計算しなさい。

まず
$\begin{aligned} \frac{1}{Γ (\frac{1}{2 p})} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x^{p})}{\sqrt{x}} d x & = \frac{1}{Γ (\frac{1}{2 p})} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (t)}{t^{\frac{1}{2 p}}} \frac{d t}{p t^{\frac{p - 1}{p}}} \\ = \frac{1}{p Γ (\frac{1}{2 p})} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (t)}{t^{1 - \frac{1}{2 p}}} \\ = \frac{1}{p Γ (\frac{1}{2 p})} \int_{0}^{\infty} t^{\frac{1}{2 p} - 1} \sin (t) d t \\ = \frac{\sin (\frac{π}{4 p})}{p} \end{aligned}$
であるから、求める値は $\frac{1}{p} \sin \frac{π}{4 p}$ である。

解答例としては良くないことですが、上の議論の中でさらっと使った
$\forall x \in (0, 1) \int_{0}^{\infty} t^{x - 1} \sin (t) d t = Γ (x) \sin (\frac{π x}{2})$
は本来きちんと証明しなければいけないことです。この積分は以前に東大数理2014B09 を取り扱った際に計算したため、この記事では計算を省略しましたが、実際に解答を書く際はきちんと議論しましょう。

投稿日：2024年3月5日

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藍色日和

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