文献あり

Fodorの補題の亜種

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Fodorの補題とは次のような主張でした.

Fodorの補題

$\kappa$を正則非可算基数とする.
$S\subseteq \kappa$がstationaryで$f:S\to \kappa$がregressiveなとき、$f^{-1}[\{\alpha\}]\subseteq \kappa$がstationaryであるような$\alpha\in\kappa$が存在する.

しかし、1を読んでいたところ共終数が非可算な特異基数に対してもFodorの補題を適用しているように思われる箇所がありました(2.30など). そこで、Fodorの仮定を弱めたりしたとき、主張がどの程度成り立つのかについて考えたので共有します.

共終数が非可算な極限順序数の場合

$\gamma$を$\mathrm{cf}(\gamma)>\omega$となる極限順序数とする.
$S\subseteq \gamma$がstationaryで$f:S\to\gamma$がregressiveなとき、$f^{-1}[\alpha]\subseteq \gamma$がstationaryとなるような$\alpha\in\kappa$が存在する.

補題を準備してから示します.

$\gamma$を$\mathrm{cf}(\gamma)>\omega$となる極限順序数とする.
$A\subseteq \gamma$が非有界なら$\gamma$の順序位相における$A$の導集合$A'$は$\gamma$のclub部分集合である.

$\alpha<\gamma$とすると、$\alpha<\beta_0$なる$\beta_0\in A$がとれる. $\forall n\in\omega, \beta_n <\beta_{n+1}$となるよう$\beta_1, \beta_2, \ldots\in A$をとることができる. $\beta_\omega=\sup\{\beta_n:n\in\omega\}$とすると$\mathrm{cf}(\gamma)>\omega$より$\beta_\omega<\gamma$であり、$\alpha<\beta_\omega\in A$. $\alpha<\gamma$は任意にとっていたので$A'$は$\gamma$で非有界.
$\gamma$で有界な$B\subseteq A'$を任意にとる. $\delta=\sup(B)$とする. $\xi<\delta$を任意にとると、$\xi<\xi_0$なる$\xi_0\in B$がとれる. $\xi_0\in A', \xi<\xi_0$より$\xi<\xi_1<\xi_0$なる$\xi_1\in A$がとれる. $\xi<\delta$は任意にとっていたので$\delta\in A'$とわかる. したがって$A'$は$\gamma$で閉である.

$\gamma$を極限順序数とする.
$A\subseteq\gamma$が非有界なら、$\mathrm{otp}(A)=\mathrm{otp}(\bar{A})$. ただし、$\bar{A}$は$\gamma$の順序位相における$A$の閉包.

$\alpha=\mathrm{otp}(A)$とする. ここで、$g:\alpha\to \bar{A}$を

$g(0)=\min(A)$
$\forall \xi<\gamma, g(\xi+1)=\min(A\setminus(g(\xi)+1))$
$\forall\xi<\gamma:\text{極限順序数}, g(\xi)=\sup\{g(\zeta):\zeta<\xi\}$

で定める. これは$\bar{A}$への順序埋め込みにはなっているので、$g$が$\bar{A}$への全射であることを示せばよい.
まず、$g[\alpha]$が$\gamma$で非有界であることを示す. $B$を$\alpha$の後続順序数全体とすると、$\alpha$が極限順序数であることから$\mathrm{otp}(B)=\alpha$. $g\upharpoonright B:B\to A$も順序埋め込みであるので、$\mathrm{otp}(g[B])\ge\mathrm{otp}(B)=\alpha$. 従って$g[B]$は$A$の非有界部分集合で$g[\alpha]\subseteq \bar{A}$も$\gamma$の非有界部分集合.
$\beta\in\bar{A}\setminus g[\alpha]$がとれたとする. $\xi_0=\min\{\xi<\alpha:\beta\le g(\xi)\}$とすると$\beta< g(\xi_0).$ $g$の定義より$\xi_0$は$0$でも極限順序数でもありえない. よって$\xi_0=\delta+1$とかけて、$g(\delta)<\beta< g(\delta+1)$である. $g(\delta+1)$の定義より$\beta\in A, \beta\in A'$どちらの場合でも矛盾である.

次の補題はここでは証明しません. 気になる方はこの記事の例3を見てください.

$\gamma$を$\mathrm{cf}(\gamma)>\omega$となる極限順序数とし、$C_0\subseteq \gamma$をclub部分集合とするとき、

$C\subseteq C_0$に対し、
$C$は$\gamma$の順序に関してclub$\iff C$は$C_0$の順序に関してclub.
$S\subseteq C_0$に対し、
$S$は$\gamma$の順序に関してstationary$\iff S$は$C_0$の順序に関してstationary.

定理2の証明

$\mathrm{cf}(\gamma)$を$\kappa$とおくとこれは正則非可算基数.
非有界な$A\subseteq \gamma$を$\mathrm{otp}(A)=\kappa$にとれる. このとき$\gamma$における閉包$\bar{A}$は$\gamma$でclubで、補題4より$\mathrm{otp}(\bar{A})=\kappa$である. $\bar{A}\cap S$も$\gamma$でstationaryでとくに$\bar{A}$で非有界なので$\mathrm{otp}(\bar{A}\cap S)=\kappa.$ これより、初めから$\mathrm{otp}(S)=\kappa$であると仮定しても一般性を失わない.
$\bar{S}, S'$をそれぞれ$\gamma$における$S$の閉包、導集合とすると$\bar{S}=S\cup S'$. 補題3より$S'$は$\gamma$でclubであるので$S\cap S'$は$\gamma$でstationary. 補題5より$S\cap S'$は$\bar{S}$の順序でもstationaryである. $g:S\cap S'\to \bar{S}$が$\forall\xi\in S\cap S', f(\xi)< g(\xi)<\xi$となるようにとれる. 補題4より$\mathrm{otp}(\bar{S})=\kappa$であることに注意すると、$\bar{S}$と$\bar{S}$の順序に関してstationaryな$S\cap S'\subseteq \bar{S}$、$g:S\cap S'\to\bar{S}$に対してFodorの補題が適用できて（厳密には、$h:\kappa\to\bar{S}$が同型にとれるので$h^{-1}\circ g\circ h:h^{-1}[S\cap S']\to \kappa$にFodorの補題を適用している）、$g^{-1}[\{\alpha\}]$が$\bar{S}$の順序でstationaryであるような$\alpha\in\bar{S}$が存在する. このとき再び補題5より$g^{-1}[\{\alpha\}]$は$\gamma$の順序でもstationary. $g^{-1}[\{\alpha\}] \subseteq f^{-1}[\alpha]$より$f^{-1}[\alpha]$も$\gamma$でstationaryである.

定理2の仮定においては、定理1のように$f^{-1}[\{\alpha\}]$がstationaryとなる$\alpha$がとれるとは限りません：

$f:\omega_{\omega_1}\setminus\omega_1\to\omega_{\omega_1}$を$\forall \xi\in\omega_{\omega_1}\setminus\omega_1, |\xi|=\aleph_{f(\xi)}$で定めるとこれはregressiveだが一点の逆像は常に$\omega_{\omega_1}$で有界.

$S$のstationary性を非有界性に弱めると"ある有界集合の逆像が非有界"すらいえなくなります：

$S$を$\omega_1$の後続順序数全体とする. このとき$\omega_1\setminus S$は$\omega_1$でclubであり$f:S\to\omega_1;\xi\mapsto\max((\xi+1)\setminus S)$はwell-definedでregressive. しかし任意の$\alpha\in\omega_1$に対し$f^{-1}[\alpha]\subseteq \alpha+\omega$で$f^{-1}[\alpha]$は$\omega_1$で有界.

$S$のstationary性をclubに強めても、"ある有界集合の逆像がclub"はいえません:

$\omega_1\setminus\{0\}$は$\aleph_1$個のstationary部分集合$S_\alpha:\alpha<\omega_1$への分割を持つ（2のTheorem 8.10を見よ）. $f:\omega_1\setminus\{0\}\to\omega_1$を$\forall \alpha<\omega_1, f(\min(S_\alpha))=0\And f[S_\alpha\setminus\{\min(S_\alpha)\}]\subseteq\{\min(S_\alpha)\}$で定めるとregressive. しかし$\alpha<\omega_1$に対し$\alpha\le\min(S_\beta)$となる$\beta<\omega_1$がとれて$f^{-1}[\alpha]\cap (S_\beta\setminus\{\min(S_\beta)\})=\emptyset$であり、$S_\beta\setminus\{\min(S_\beta)\}$は$\omega_1$でstationaryなはずなので$f^{-1}[\alpha]$はclubでない.