多重Eisenstein級数の調和正規化
前の記事 で, 多重Eisenstein級数のFourier級数展開を与える公式を示した. 多重Eisenstein級数は$k_1,\dots,k_d\geq 2$であるようなインデックス$(k_1,\dots,k_d)$に対して定義されるが, 今回はそれを調和積を満たすようにより一般のインデックスに拡張するということを考える.
定義
前の記事
における記法を用いる. $k_1,\dots,k_d\geq 2$の場合に前の記事で示した式
\begin{align}
G_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&=\sum_{i=0}^d\zeta(k_1,\dots,k_i)h_{k_{i+1},\dots,k_d}(\tau)\\
h_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq \varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}(n_j\tau)\\
\end{align}
を参考に, 一般のインデックス$(k_1,\dots,k_d),\quad k_d\geq 2$に対し,
前の記事
で扱ったmultitangent functionの調和正規化$\Psi^*$と多重ゼータ値の調和正規化$\zeta^*$を用いて
\begin{align}
h^*_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&:=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq \varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}^*(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}^*(n_j\tau)\\
G_{k_1,\dots,k_d}^*(\tau)&:=\sum_{i=0}^d\zeta^*(k_1,\dots,k_i)h_{k_{i+1},\dots,k_d}^*(\tau)\\
\end{align}
と定義する. 調和代数のHopf代数構造からこの$h^*,G^*$は調和関係式を満たすことが分かる.
Fourier級数展開
定義から$G^*$のFourier級数展開を求めるには$h^*$のFourier級数展開を求めればよい. $k_d\geq 2$として,
前の記事
と同様に
Bouillotの定理
を用いて,
\begin{align}
h^*_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{\bk_1}^*(n_1\tau)\cdots\Psi_{\bk_j}^*(n_j\tau)\\
&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\left(\delta(\bk_1)+\sum_{l_1=1}^{d_1}\sum_{\substack{1\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+m_1+b_1=k_{l_1}^{(1)}}}(-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}\zeta_{a_1}^*(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})\zeta_{b_1}^*(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\Psi_{m_1}(n_1\tau)\right)\\
&\qquad\cdots\\
&\qquad\cdot\left(\delta(\bk_j)+\sum_{l_j=1}^{d_j}\sum_{\substack{1\leq m_j,0\leq a_j,b_j\\a_j+m_j+b_j=k_{l_j}^{(j)}}}(-1)^{k_1^{(j)}+\cdots+k_{l_j-1}^{(j)}+a_j}\zeta_{a_j}^*(k_{l_j-1}^{(j)},\dots,k_1^{(j)})\zeta_{b_j}^*(k_{l_j+1}^{(j)},\dots,k_{d_j}^{(j)})\Psi_{m_j}(n_j\tau)\right)\\
&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\sum_{A\subset\{1,\dots,j\}}\prod_{t\notin A}\delta(\bk_t)\\
&\qquad\cdot\prod_{t\in A}\left(\sum_{l_t=1}^{d_t}\sum_{\substack{1\leq m_t,0\leq a_t,b_t\\a_t+m_t+b_t=k_{l_t}^{(t)}}}(-1)^{k_1^{(t)}+\cdots+k_{l_t-1}^{(t)}+a_t}\zeta_{a_t}^*(k_{l_t-1}^{(t)},\dots,k_1^{(t)})\zeta_{b_t}^*(k_{l_t+1}^{(t)},\dots,k_{d_t}^{(t)})\Psi_{m_t}(n_t\tau)\right)\\
&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{A\subset\{1,\dots,j\}}\prod_{t\notin A}\delta(\bk_t)\\
&\qquad\cdot\left(\prod_{t\in A}\sum_{l_t=1}^{d_t}\sum_{\substack{1\leq m_t,0\leq a_t,b_t\\a_t+m_t+b_t=k_{l_t}^{(t)}}}(-1)^{k_1^{(t)}+\cdots+k_{l_t-1}^{(t)}+a_t}\zeta_{a_t}^*(k_{l_t-1}^{(t)},\dots,k_1^{(t)})\zeta_{b_t}^*(k_{l_t+1}^{(t)},\dots,k_{d_t}^{(t)})\right)g_{m_1',\dots,m_j'}^*(\tau)
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
\delta(\bk)&:=\begin{cases}
\displaystyle\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}&&\bk=(\{1\}^{2n})\\
0&&\mathrm{otherwise}
\end{cases}\\
g^*_{k_1,\dots,k_d}(\tau)&:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_j}\Psi_{k_1}(n_1\tau)\cdots\Psi_{k_j}(n_j\tau)\\
\Psi_0(\tau)&:=1\\
m_t'&:=\begin{cases}
m_t&&t\in A\\
0 &&t \notin A
\end{cases}
\end{align}
とする. つまり以下を得る.
$k_d\geq 2$であるようなインデックス$\bk=(k_1,\dots,k_d)$に対し,
\begin{align}
h^*_{\bk}(\tau)&=\sum_{\substack{0< j\\(\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{A\subset\{1,\dots,j\}}\prod_{t\notin A}\delta(\bk_t)\\
&\qquad\cdot\left(\prod_{t\in A}\sum_{l_t=1}^{d_t}\sum_{\substack{1\leq m_t,0\leq a_t,b_t\\a_t+m_t+b_t=k_{l_t}^{(t)}}}(-1)^{k_1^{(t)}+\cdots+k_{l_t-1}^{(t)}+a_t}\zeta_{a_t}^*(k_{l_t-1}^{(t)},\dots,k_1^{(t)})\zeta_{b_t}^*(k_{l_t+1}^{(t)},\dots,k_{d_t}^{(t)})\right)g_{m_1',\dots,m_j'}^*(\tau)\\
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
m_t'&:=\begin{cases}
m_t&&t\in A\\
0 &&t \notin A
\end{cases}
\end{align}
である.
Bachmannの2019年の論文には定理1の明示式までは書かれていないが, 上のように計算することができるということが書かれている. 一般のインデックス$(k_1,\dots,k_d)$に対し, $\Im(\tau)>0, q=e^{2\pi i\tau}$として
\begin{align}
g_{k_1,\dots,k_d}(\tau):=\frac{(-2\pi i)^{k_1+\cdots+k_d}}{(k_1-1)!\cdots(k_d-1)!}\sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_d\\0< m_1,\dots,m_d}}m_1^{k_1-1}\cdots m_d^{k_d-1}q^{m_1n_1+\cdots+m_dn_d}
\end{align}
と定義すると, $k_1,\dots,k_d\geq 2$の場合は
\begin{align}
g_{k_1,\dots,k_d}^*(\tau)=g_{k_1,\dots,k_d}(\tau)
\end{align}
となるが, $1$が含まれている場合は
\begin{align}
\Psi_1(\tau)=-\pi i-2\pi i\sum_{0< n}q^n
\end{align}
の$-\pi i$の分だけずれることになり, 一般にはこれらは一致しない.
定理1においてインデックス$\bk$に$1$が連続する箇所がなければ, $A=\{1,\dots,j\}$の場合以外$0$になり,
\begin{align}
h_{\bk}^*(\tau)&=\sum_{\substack{0< j\\ (\bk_1,\dots,\bk_j)=\bk\\\bk_1,\dots,\bk_j\neq\varnothing}}\sum_{\substack{1\leq l_1\leq d_1\\1\leq m_1,0\leq a_1,b_1\\a_1+m_1+b_1=k_{l_1}^{(1)}}}\cdots \sum_{\substack{1\leq l_j\leq d_j\\1\leq m_j,0\leq a_j,b_j\\a_j+m_j+b_j=k_{l_j}^{(j)}}}\Bigg((-1)^{k_1^{(1)}+\cdots+k_{l_1-1}^{(1)}+a_1}\zeta_{a_1}^*(k_{l_1-1}^{(1)},\dots,k_1^{(1)})\zeta_{b_1}^*(k_{l_1+1}^{(1)},\dots,k_{d_1}^{(1)})\\
&\qquad\cdots\\
&\qquad\cdot(-1)^{k_1^{(j)}+\cdots+k_{l_j-1}^{(j)}+a_j}\zeta_{a_j}^*(k_{l_j-1}^{(j)},\dots,k_1^{(j)})\zeta_{b_j}^*(k_{l_j+1}^{(j)},\dots,k_{d_j}^{(j)})\Bigg)g_{m_1,\dots,m_j}^*(\tau)
\end{align}
と若干簡潔に表される.
計算例
計算例1
最小の非自明な例として, $\bk=(1,2)$の場合を計算してみる. まず,
\begin{align}
G_{1,2}^*(\tau)&=\zeta(1,2)+\zeta^*(1)h_2^*(\tau)+h_{1,2}^*(\tau)\\
&=\zeta(3)+h_{1,2}^*(\tau)
\end{align}
である. このような重さが小さい場合は定義から直接計算した方が分かりやすそうである.
前の記事
の定理2を用いて,
\begin{align}
h_{1,2}^*(\tau)&=\sum_{0< n}\Psi_{1,2}^*(n\tau)+\sum_{0< m< n}\Psi_1(m\tau)\Psi_2(n\tau)\\
&=g^*_{1,2}(\tau)
\end{align}
であることが分かるので,
\begin{align}
G_{1,2}^*(\tau)&=\zeta(3)+g_{1,2}^*(\tau)
\end{align}
であることが分かる. さらにこれは, Bradley-Zhao型の$q$多重ゼータ値の双対性を用いて
\begin{align}
g_{1,2}^*(\tau)&=(-2\pi i)^3\left(\sum_{0< m< n}\frac {q^m}{1-q^m}\frac{q^n}{(1-q^n)^2}+\frac 12\sum_{0< m}\frac{(m-1)q^m}{(1-q^m)^2}\right)\\
&=(-2\pi i)^3\left(\sum_{0< n}\frac{q^{2n}}{(1-q^n)^3}-\frac 12\sum_{0< m}\frac{(m-1)q^m}{(1-q^m)^2}\right)\\
\end{align}
と表される. 一方,
\begin{align}
G_3(\tau)&=\zeta(3)+g_3(\tau)
\end{align}
であり,
\begin{align}
g_3(\tau)&=\frac{(-2\pi i)^3}2\sum_{0< n}\frac{q^n(1+q^n)}{(1-q^n)^3}\\
&=(-2\pi i)^3\left(\sum_{0< n}\frac{q^{2n}}{(1-q^n)^3}+\frac 12\sum_{0< n}\frac{q^n}{(1-q^n)^2}\right)
\end{align}
となるから,
\begin{align}
G_{1,2}^*(\tau)-G_3(\tau)&=g_{1,2}^*(\tau)-g_3(\tau)\\
&=(-2\pi i)^3\left(-\frac 12\sum_{0< n}\frac{nq^n}{(1-q^n)^2}\right)\\
&=\pi i\frac{d}{d\tau}(-2\pi i)\sum_{0< n}\frac{q^n}{1-q^n}\\
&=\pi i\frac{d}{d\tau}g_1(\tau)
\end{align}
を得る. 特に
\begin{align}
G_{1,2}^*(\tau)\neq G_3(\tau)
\end{align}
であり, 多重Eisenstein級数の調和正規化は双対性を満たしていないことが分かる.
計算例2
$\bk=(2,1,2)$の場合
\begin{align}
\Psi_{1,2}^*=\Psi_{2,1}^*=\Psi_{2,1,2}^*=0
\end{align}
であるから,
\begin{align}
G_{2,1,2}^*(\tau)&=\zeta(2,1,2)+\zeta^*(2,1)g_2(\tau)+\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g_{2,1,2}^*(\tau)\\
&=\zeta(3,2)-2\zeta(3)g_2(\tau)+\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g_{2,1,2}^*(\tau)\\
\end{align}
となる. 一方, その双対インデックスにおいては,
\begin{align}
G_{3,2}(\tau)&=\zeta(3,2)+\zeta(3)g_2(\tau)+h_{3,2}(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{3,2}(\tau)=-3\zeta(3)\Psi_2(\tau)+\zeta(2)\Psi_3(\tau)$であることから(このような表示に関しては, Bouillotの論文の最後に表がある.)
\begin{align}
h_{3,2}(\tau)&=g_{3,2}(\tau)-3\zeta(3)g_2(\tau)+\zeta(2)g_3(\tau)
\end{align}
となるので,
\begin{align}
G_{3,2}(\tau)=\zeta(3,2)-2\zeta(3)g_2(\tau)+\zeta(2)g_3(\tau)+g_{3,2}(\tau)
\end{align}
を得る.
計算例3
$\bk=(1,2,2)$の場合
\begin{align}
G_{1,2,2}^*(\tau)&=\zeta(1,2,2)+\zeta(1,2)g_2(\tau)+h_{1,2,2}^*(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{2,2}(\tau)=2\zeta(2)\Psi_2(\tau), \Psi_{1,2,2}^*(\tau)=2\zeta(3)\Psi_2(\tau)$だから,
\begin{align}
h_{1,2,2}^*(\tau)=2\zeta(3)g_2(\tau)+2\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g_{1,2,2}^*(\tau)
\end{align}
となるから,
\begin{align}
G_{1,2,2}^*(\tau)=\zeta(2,3)+3\zeta(3)g_2(\tau)+2\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g_{1,2,2}^*(\tau)
\end{align}
となる. 一方その双対インデックスにおいては,
\begin{align}
G_{2,3}(\tau)&=\zeta(2,3)+\zeta(2)g_3(\tau)+h_{2,3}(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{2,3}(\tau)=3\zeta(3)\Psi_2(\tau)+\zeta(2)\Psi_3(\tau)$であるから,
\begin{align}
h_{2,3}(\tau)=3\zeta(3)g_2(\tau)+\zeta(2)g_3(\tau)+g_{2,3}(\tau)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
G_{2,3}(\tau)=\zeta(2,3)+3\zeta(3)g_2(\tau)+2\zeta(2)g_3(\tau)+g_{2,3}(\tau)
\end{align}
となる.
計算例4
$\bk=(1,1,2)$の場合
\begin{align}
G_{1,1,2}^*(\tau)&=\zeta(1,1,2)+\zeta^*(1,1)g_2(\tau)+h^*_{1,1,2}(\tau)\\
&=\zeta(4)-\frac 12\zeta(2)g_2(\tau)+h^*_{1,1,2}(\tau)\\
\end{align}
であり, $\Psi_{1,1}^*(\tau)=-3\zeta(2), \Psi_{1,1,2}^*(\tau)=-\frac 12\zeta(2)\Psi_2(\tau)$であるから,
\begin{align}
h_{1,1,2}^*(\tau)&=-\frac 12\zeta(2)g_2(\tau)-3\zeta(2)g_{0,2}^*(\tau)+g_{1,1,2}^*(\tau)
\end{align}
となり,
\begin{align}
G_{1,1,2}^*(\tau)=\zeta(4)-\zeta(2)g_2(\tau)-3\zeta(2)g_{0,2}^*(\tau)+g_{1,1,2}^*(\tau)
\end{align}
を得る. 一方, その双対インデックスにおいては
\begin{align}
G_4(\tau)&=\zeta(4)+g_4(\tau)
\end{align}
となる.
計算例5
$\bk=(1,3)$の場合
\begin{align}
G_{1,3}^*(\tau)=\zeta(1,3)+h_{1,3}^*(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{1,3}^*(\tau)=-\zeta(2)\Psi_2(\tau)$となることを用いると,
\begin{align}
h_{1,3}^*(\tau)=-\zeta(2)g_2(\tau)+g_{1,3}^*(\tau)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
G_{1,3}^*(\tau)=\zeta(1,3)-\zeta(2)g_2(\tau)+g_{1,3}^*(\tau)
\end{align}
となる.
計算例6
$\bk=(1,4)$の場合
\begin{align}
G_{1,4}^*(\tau)=\zeta(1,4)+h_{1,4}^*(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{1,4}^*(\tau)=-\zeta(3)\Psi_2(\tau)-\zeta(2)\Psi_3(\tau)$となることを用いると,
\begin{align}
h_{1,4}^*(\tau)=-\zeta(3)g_2(\tau)-\zeta(2)g_3(\tau)+g_{1,4}^*(\tau)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
G_{1,4}^*(\tau)=\zeta(1,4)-\zeta(3)g_2(\tau)-\zeta(2)g_3(\tau)+g_{1,4}^*(\tau)
\end{align}
となる. 一方, その双対インデックスにおいては
\begin{align}
G_{1,1,3}^*(\tau)&=\zeta(1,1,3)+\zeta^*(1,1)g_3(\tau)+h_{1,1,3}^*(\tau)\\
&=\zeta(1,4)-\frac12\zeta(2)g_3(\tau)+h_{1,1,3}^*(\tau)
\end{align}
となり, $\Psi_{1,1,3}^*(\tau)=-\zeta(3)\Psi_2(\tau)-\frac 12\zeta(2)\Psi_3(\tau)$であるから,
\begin{align}
h_{1,1,3}^*(\tau)&=-\zeta(3)g_2(\tau)-\frac 12\zeta(2)g_{3}(\tau)-3\zeta(2)g_{0,3}^*(\tau)-\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g^*_{1,1,3}(\tau)
\end{align}
を得る. よって
\begin{align}
G_{1,1,3}^*(\tau)&=\zeta(1,4)-\zeta(3)g_2(\tau)-\zeta(2)g_3(\tau)-3\zeta(2)g_{0,3}^*(\tau)-\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+g_{1,1,3}^*(\tau)
\end{align}
となる.
計算例7
$\bk=(1,1,1,2)$の場合
\begin{align}
G_{1,1,1,2}^*(\tau)&=\zeta(1,1,1,2)+\zeta^*(1,1,1)g_2(\tau)+\zeta^*(1,1)g_{1,2}^*(\tau)+h_{1,1,1,2}^*(\tau)\\
&=\zeta(5)+\frac 13\zeta(3)g_2(\tau)-\frac 12\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)+h_{1,1,1,2}^*(\tau)
\end{align}
ここで, $\Psi_{1,1,1,2}^*(\tau)=-\frac 13\zeta(3)\Psi_2(\tau)$であることから
\begin{align}
h_{1,1,1,2}^*(\tau)&=-\frac 13\zeta(3)g_{2}(\tau)-\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)-\frac 12\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{0,1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{1,0,2}^*(\tau)+g_{1,1,1,2}^*(\tau)\\
&=-\frac 13\zeta(3)g_{2}(\tau)-\frac{3}2\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{0,1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{1,0,2}^*(\tau)+g_{1,1,1,2}^*(\tau)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
G_{1,1,1,2}^*(\tau)&=\zeta(5)-2\zeta(2)g_{1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{0,1,2}^*(\tau)-3\zeta(2)g_{1,0,2}^*(\tau)+g_{1,1,1,2}^*(\tau)
\end{align}
となる. 一方その双対インデックスにおいては
\begin{align}
G_5(\tau)&=\zeta(5)+g_5(\tau)
\end{align}
となる.
計算例8
$\bk=(1,2,1,2)$の場合
\begin{align}
G_{1,2,1,2}^*(\tau)&=\zeta(1,2,1,2)+\zeta^*(1,2,1)g_2(\tau)+\zeta(1,2)g_{1,2}^*(\tau)+h_{1,2,1,2}^*(\tau)\\
&=\zeta(3,3)-3\zeta(4)g_2(\tau)+\zeta(3)g_{1,2}^*(\tau)+h_{1,2,1,2}^*(\tau)
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
\Psi_{1,2,1,2}^*(\tau)&=\zeta^*(1,2,1)\Psi_{2}(\tau)=-3\zeta(4)\Psi_2(\tau)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
h_{1,2,1,2}^*(\tau)&=-3\zeta(4)g_2(\tau)+g_{1,2,1,2}^*(\tau)
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
G_{1,2,1,2}^*(\tau)=\zeta(3,3)-6\zeta(4)g_2(\tau)+\zeta(3)g_{1,2}^*(\tau)+g_{1,2,1,2}^*(\tau)
\end{align}
を得る. 一方, 双対インデックスにおいては
\begin{align}
G_{3,3}(\tau)&=\zeta(3,3)+\zeta(3)g_3(\tau)+h_{3,3}(\tau)
\end{align}
であり, $\Psi_{3,3}(\tau)=-6\zeta(4)\Psi_2(\tau)$であることから,
\begin{align}
h_{3,3}(\tau)=-6\zeta(4)g_2(\tau)+g_{3,3}(\tau)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
G_{3,3}(\tau)&=\zeta(3,3)-6\zeta(4)g_2(\tau)+\zeta(3)g_3(\tau)+g_{3,3}(\tau)
\end{align}
となる.
計算例9
$\bk=(1,3,2)$の場合
\begin{align}
G_{1,3,2}^*(\tau)&=\zeta(1,3,2)+\zeta(1,3)g_2(\tau)+h_{1,3,2}^*(\tau)\\
&=\zeta(1,3,2)+\frac 14\zeta(4)g_2(\tau)+h_{1,3,2}^*(\tau)\\
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
\Psi_{1,3,2}^*(\tau)&=(-\zeta(2)^2+\zeta^*(3,1))\Psi_2(\tau)\\
&=-\frac{15}4\zeta(4)\Psi_2(\tau)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
h_{1,3,2}^*(\tau)&=-\frac{15}4\zeta(4)g_2(\tau)-3\zeta(3)g_{1,2}^*(\tau)+\zeta(2)g_{1,3}^*(\tau)-\zeta(2)g_{2,2}(\tau)+g_{1,3,2}^*(\tau)
\end{align}
となる. よって
\begin{align}
G_{1,3,2}^*(\tau)&=\zeta(1,3,2)-\frac 72\zeta(4)g_2(\tau)-3\zeta(3)g_{1,2}^*(\tau)+\zeta(2)g_{1,3}^*(\tau)-\zeta(2)g_{2,2}(\tau)+g_{1,3,2}^*(\tau)
\end{align}
を得る. 一方, 双対インデックスにおいては
\begin{align}
G_{2,1,3}^*(\tau)&=\zeta(2,1,3)+\zeta^*(2,1)g_3(\tau)+\zeta(2)h_{1,3}^*(\tau)+h_{2,1,3}^*(\tau)\\
&=\zeta(1,3,2)-2\zeta(3)g_3(\tau)+\zeta(2)h_{1,3}^*(\tau)+h_{2,1,3}^*(\tau)\\
\end{align}
となる. 先ほど計算したように,
\begin{align}
h_{1,3}^*(\tau)&=-\zeta(2)g_2(\tau)+g_{1,3}^*(\tau)
\end{align}
であり, また$\Psi_{2,1,3}^*(\tau)=-\zeta(4)\Psi_2(\tau)-\zeta(3)\Psi_3(\tau)$であるから,
\begin{align}
h_{2,1,3}^*(\tau)&=-\zeta(4)g_2(\tau)-\zeta(3)g_3(\tau)-\zeta(2)g_{2,2}(\tau)+g^{*}_{2,1,3}(\tau)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
G_{2,1,3}^*(\tau)&=\zeta(1,3,2)-2\zeta(3)g_3(\tau)+\zeta(2)(-\zeta(2)g_2(\tau)+g_{1,3}^*(\tau))\\
&\qquad-\zeta(4)g_2(\tau)-\zeta(3)g_3(\tau)-\zeta(2)g_{2,2}(\tau)+g^{*}_{2,1,3}(\tau)\\
&=\zeta(1,3,2)-\frac 72\zeta(4)g_2(\tau)-3\zeta(3)g_3(\tau)+\zeta(2)g_{1,3}^*(\tau)-\zeta(2)g_{2,2}(\tau)+g^{*}_{2,1,3}(\tau)
\end{align}
を得る.
