ブールの不等式(*´ω｀*)

Prop&Proof

$A,B,C\in\mathcal F$ とする。
$\mathcal F$ は有限和と有限共通部分について閉じているので、
$$ A\cup B\in\mathcal F,\qquad (A\cup B)\cap C\in\mathcal F $$
である。
$2$つの事象に対する加法公式を、事象 $A\cup B$ と $C$ に適用すると、
$$ \mathbb P(A\cup B\cup C) = \mathbb P(A\cup B)+\mathbb P(C)-\mathbb P((A\cup B)\cap C) $$
を得る。
ここで、確率は常に $0$ 以上であるから、
$$ \mathbb P((A\cup B)\cap C)\ge 0 $$
である。したがって、
$$ \mathbb P(A\cup B\cup C)\le \mathbb P(A\cup B)+\mathbb P(C) $$
が成り立つ。
さらに、$2$つの事象に対する加法公式を $A,B$ に適用すると、
$$ \mathbb P(A\cup B)=\mathbb P(A)+\mathbb P(B)-\mathbb P(A\cap B) $$
である。
ここで、
$$ \mathbb P(A\cap B)\ge 0 $$
であるから、
$$ \mathbb P(A\cup B)\le \mathbb P(A)+\mathbb P(B) $$
を得る。
以上より、
$$ \mathbb P(A\cup B\cup C) \le \mathbb P(A\cup B)+\mathbb P(C) \le \mathbb P(A)+\mathbb P(B)+\mathbb P(C) $$
が従う。
したがって、
$$ \mathbb P(A\cup B\cup C)\le \mathbb P(A)+\mathbb P(B)+\mathbb P(C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$A,B,C\in\mathcal F$ とする。
$\mathcal F$ は補集合について閉じているので、
$$ A^c,B^c,C^c\in\mathcal F $$
である。
ド・モルガンの法則より、
$$ (A\cap B\cap C)^c=A^c\cup B^c\cup C^c $$
である。
したがって、補集合の確率公式より、
$$ \begin{aligned} \mathbb P(A\cap B\cap C) &= 1-\mathbb P((A\cap B\cap C)^c)\\ &= 1-\mathbb P(A^c\cup B^c\cup C^c) \end{aligned} $$
が成り立つ。
ここで、$A^c,B^c,C^c$ に Boole の不等式を適用すると、
$$ \mathbb P(A^c\cup B^c\cup C^c) \le \mathbb P(A^c)+\mathbb P(B^c)+\mathbb P(C^c) $$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \mathbb P(A\cap B\cap C) &= 1-\mathbb P(A^c\cup B^c\cup C^c)\\ &\ge 1-\{\mathbb P(A^c)+\mathbb P(B^c)+\mathbb P(C^c)\}\\ &= 1-\mathbb P(A^c)-\mathbb P(B^c)-\mathbb P(C^c) \end{aligned} $$
である。
以上より、
$$ \mathbb P(A\cap B\cap C)\ge 1-\mathbb P(A^c)-\mathbb P(B^c)-\mathbb P(C^c) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

$n\in\mathbb N_{>0}$ に関する数学的帰納法を用いる。

1. $n=1$ の場合を示す。
   このとき、
   $$ \bigcup_{i=1}^1 A_i=A_1 $$
   であるから、
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^1 A_i\Bigr) = \mathbb P(A_1) = \sum_{i=1}^1 \mathbb P(A_i) $$
   が成り立つ。
   したがって、$n=1$ の場合は成立する。
   $ $
2. 帰納法の仮定をおく。
   ある $k\in\mathbb N_{>0}$ に対して、任意の事象 $E_1,\dots,E_k\in\mathcal F$ について
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^k E_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^k \mathbb P(E_i) $$
   が成り立つと仮定する。
   $ $
3. $n=k+1$ の場合を示す。
   任意の事象 $A_1,\dots,A_{k+1}\in\mathcal F$ をとる。
   $\mathcal F$ は有限和について閉じているので、
   $$ \bigcup_{i=1}^{k}A_i\in\mathcal F $$
   である。
   また、
   $$ \bigcup_{i=1}^{k+1} A_i = \Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\cup A_{k+1} $$
   である。
   ここで、任意の事象 $X,Y\in\mathcal F$ に対して、$2$つの事象に対する加法公式より
   $$ \mathbb P(X\cup Y) = \mathbb P(X)+\mathbb P(Y)-\mathbb P(X\cap Y) $$
   が成り立つ。
   さらに、確率は非負であるから、
   $$ \mathbb P(X\cap Y)\ge0 $$
   である。したがって、
   $$ \mathbb P(X\cup Y)\le \mathbb P(X)+\mathbb P(Y) $$
   が成り立つ。
   これを
   $$ X=\bigcup_{i=1}^{k} A_i,\qquad Y=A_{k+1} $$
   に適用すると、
   $$ \begin{aligned} \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\Bigr) &= \mathbb P\Bigl(\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\cup A_{k+1}\Bigr)\\ &\le \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)+\mathbb P(A_{k+1}) \end{aligned} $$
   を得る。
   一方、帰納法の仮定を $E_i:=A_i$ $(i=1,\dots,k)$ に適用すれば、
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^{k} \mathbb P(A_i) $$
   である。
   したがって、
   $$ \begin{aligned} \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k+1} A_i\Bigr) &\le \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{k} A_i\Bigr)+\mathbb P(A_{k+1})\\ &\le \sum_{i=1}^{k} \mathbb P(A_i)+\mathbb P(A_{k+1})\\ &= \sum_{i=1}^{k+1} \mathbb P(A_i) \end{aligned} $$
   が成り立つ。
   よって、$n=k+1$ の場合も成立する。
   以上より、数学的帰納法により、任意の $n\in\mathbb N_{>0}$ と任意の事象 $A_1,\dots,A_n\in\mathcal F$ に対して
   $$ \mathbb P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\Bigr)\le \sum_{i=1}^{n} \mathbb P(A_i) $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

任意に $n\in\mathbb N_{>0}$ をとり、任意に $A_1,\dots,A_n\in\mathcal F$ をとる。
$\mathcal F$ は補集合について閉じているので、各 $i\in\{1,\dots,n\}$ に対して
$$ A_i^c\in\mathcal F $$
である。
ド・モルガンの法則より、
$$ \left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)^c = \bigcup_{i=1}^{n}A_i^c $$
が成り立つ。
したがって、補集合の確率公式より、
$$ \begin{aligned} \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) &= 1-\mathbb P\left(\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)^c\right)\\ &= 1-\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \end{aligned} $$
である。
ここで、有限個の場合の Boole の不等式を事象 $A_1^c,\dots,A_n^c$ に適用すると、
$$ \mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \le \sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
が成り立つ。
よって、
$$ -\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right) \ge -\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
である。
したがって、
$$ \begin{aligned} \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) &= 1-\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i^c\right)\\ &\ge 1-\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) \end{aligned} $$
である。
以上より、
$$ \mathbb P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right) \ge 1-\sum_{i=1}^{n}\mathbb P(A_i^c) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$