フレネル積分の一般化

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フレネル積分の一般化を考えていきます。

こちらの記事で考えたフレネル積分を拡張していく形になるので、まずはそちらからご覧ください。

$\int_{0}^{\infty} \sin x^{n} d x$

$\frac{1}{Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{x^{\frac{1}{n}}} d x = \frac{1}{t^{1 - \frac{1}{n}}}$

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- x t}}{x^{\frac{1}{n}}} d x \\ = & \frac{1}{t^{1 - \frac{1}{n}} Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- u}}{u^{\frac{1}{n}}} d u (u = x t) \\ = & \frac{1}{t^{1 - \frac{1}{n}}} ◻ \end{array}$

$L_{x} [\sin x] (p) = \frac{1}{1 + p^{2}}$

こちらに書いてあります。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{a} x d x = \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2} a$

こちらに書いてあります。

この記事ではこの一般化に $a = \frac{1}{n}$ を代入した、

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\tan^{n} x} d x = \frac{π}{2} \sec \frac{π}{2 n}$

を使います。

これらの補題を踏まえて解いてみます。

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{\infty} \sin x^{n} d x \\ = & \frac{1}{n} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t^{1 - \frac{1}{n}}} d t (t = x^{n}) \\ = & \frac{1}{n Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \sin t \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- y t}}{y^{\frac{1}{n}}} d y d t \\ = & \frac{1}{n Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y^{\frac{1}{n}}} \int_{0}^{\infty} e^{- y t} \sin t d t d y \\ = & \frac{1}{n Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y^{\frac{1}{n}}} L_{t} [\sin t] (y) d y \\ = & \frac{1}{n Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y^{\frac{1}{n}} (1 + y^{2})} d y \\ = & \frac{1}{n Γ (1 - \frac{1}{n})} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\tan^{\frac{1}{n}} θ} d θ (y = \tan θ) \\ = & \frac{π \sec \frac{π}{2 n}}{2 n Γ (1 - \frac{1}{n})} \\ = & \frac{π \sin \frac{π}{n} \sec \frac{π}{2 n} Γ (\frac{1}{n})}{2 n π} \\ = & \frac{2 Γ (\frac{1}{n}) \sin \frac{π}{2 n} \cos \frac{π}{2 n}}{2 n \cos \frac{π}{2 n}} \\ = & \frac{1}{n} \sin \frac{π}{2 n} Γ (\frac{1}{n}) \\ = & \sin \frac{π}{2 n} Γ (1 + \frac{1}{n}) ◻ \end{array}$