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フレネル積分の一般化

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

フレネル積分の一般化を考えていきます。

こちら の記事で考えたフレネル積分を拡張していく形になるので、まずはそちらからご覧ください。

$$\int_0^\infty \sin x^ndx $$

$$\d\frac1{\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty \frac{e^{-xt}}{x^{\frac1n}} dx=\frac1{t^{1-\frac1n}} $$

$ \begin{eqnarray*} &&\d\frac1{\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty \frac{e^{-xt}}{x^{\frac1n}} dx\\ &=&\frac1{t^{1-\frac1n}\Gamma\l1-\frac1n\r}\i{\infty}\frac{e^{-u}}{u^{\frac1n}}du~~~~~~~~~~(u=xt)\\ &=&\frac1{t^{1-\frac1n}}\qed\\ \end{eqnarray*} $

$$\mathcal{L}_x[\sin x](p)=\frac1{1+p^2} $$

こちら に書いてあります。

$$\int_0^{\frac\pi2}\tan^axdx=\frac\pi2\sec\frac\pi2a $$

こちら に書いてあります。

この記事ではこの一般化に$\d a=\frac1n$を代入した、

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{\tan^nx}dx=\frac\pi2\sec\frac\pi{2n} $

を使います。

これらの補題を踏まえて解いてみます。

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \sin x^ndx\\ &=&\frac1n\int_0^\infty \frac{\sin t}{t^{1-\frac1n}}dt~~~~~~~~~~(t=x^n)\\ &=&\frac1{n\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty\sin t\int_0^\infty \frac{e^{-yt}}{y^{\frac1n}}dydt\\ &=&\frac1{n\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty\frac1{y^{\frac1n}} \int_0^\infty e^{-yt}\sin tdtdy\\ &=&\frac1{n\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty\frac1{y^{\frac1n}}\mathcal{L}_t[\sin t](y) dy\\ &=&\frac1{n\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^\infty\frac1{y^{\frac1n}(1+y^2)}dy\\ &=&\frac1{n\Gamma\l1-\frac1n\r}\int_0^{\frac\pi2} \frac1{\tan^{\frac1n}\theta}d\theta~~~~~~~~~~(y=\tan\theta)\\ &=&\frac{\pi\sec\frac\pi{2n}}{2n\Gamma\l1-\frac1n\r}\\ &=&\frac{\pi\sin\frac\pi n\sec\frac\pi{2n}\Gamma\l\frac1n\r}{2n\pi}\\ &=&\frac{2\Gamma\l\frac1n\r\sin\frac\pi{2n}\cos\frac{\pi}{2n}}{2n\cos\frac\pi{2n}}\\ &=&\frac1n\sin\frac\pi{2n}\Gamma\l\frac1n\r\\ &=&\sin\frac\pi{2n}\Gamma\l1+\frac1n\r ~~~~~~~~~~\square \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\int_0^\infty \sin x^ndx=\Gamma\l1+\frac1n\r\sin\frac\pi{2n}$

がわかりました。かなり綺麗な結果になりましたね。

投稿日:20201123

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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