お気に入りの積分

僕のお気に入りの積分を紹介していきます

$\displaystyle\int_0^\infty\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx=e\sqrt{\pi}$

何故お気に入りなのかと言うと、見た目が綺麗だからです。

証明していきます。

(証明)
$\log x=t$と置換する。
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx \\\displaystyle=\int_0^\infty\frac{x\log x}{e^{(\log x)^2}}dx \\\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty\frac{te^t}{e^{t^2}}e^tdt \\\displaystyle=\int_{-\infty}^\infty te^{2t-t^2}dt \\\displaystyle=e\int_{-\infty}^\infty te^{-(t-1)^2}dt \\\displaystyle=e\int_{-\infty}^\infty(t+1)e^{-t^2}dt \\\displaystyle=e\int_{-\infty}^\infty\left(te^{-t^2}+e^{-t^2}\right)dt$

ここで、第一項の積分は被積分関数が奇関数なので0、第二項の積分は前回の記事→( https://mathlog.info/articles/89 )より$\sqrt{\pi}$になります。
従って、
$\displaystyle\int_0^\infty\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx=e(0+\sqrt{\pi})=e\sqrt{\pi}$

証明できました。