お気に入りの積分

私のお気に入りの積分を紹介していきます

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx=e\sqrt{\pi }}$

何故お気に入りなのかと言うと、見た目が綺麗だからです。

証明していきます。

(証明)
$\log x=t$と置換する。
$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx} \\ {\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\log x}{e^{(\log x{)}^2}}dx} \\ {\displaystyle ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{t{e}^t}{e^{t^2}}{e}^{t}dt} \\ {\displaystyle ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t{e}^{2t-t^2}dt} \\ {\displaystyle =e{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}t{e}^{-(t-1{)}^2}dt} \\ {\displaystyle =e{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(t+1)e^{-t^2}dt} \\ {\displaystyle =e{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(t{e}^{-t^2}+e^{-t^2})dt} \end{gathered}$$

ここで、第一項の積分は被積分関数が奇関数なので0、第二項の積分は前回の記事→( https://mathlog.info/articles/89 )より$\sqrt{\pi }$になります。
従って、
${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x\log x}{x^{\log x}}dx=e(0+\sqrt{\pi })=e\sqrt{\pi }}$

証明できました。