t-structureのheartのtorsion pairからHRS-tiltで新しいt-structureを作る

導入

与えられた$t$-structureから別の「ちょっとずれた$t$-structure」を作る操作として、Happel-Reiten-Smaløが導入したいわゆるHRS-tiltという操作があります。

具体的には、三角圏$\mathcal{D}$の$t$-structure $({\mathcal{D}}^{\le 0},{\mathcal{D}}^{\ge 0})$があり、さらにそのheart $\mathcal{H}$のアーベル圏としてのtorsion pair $(\mathcal{T},\mathcal{F})$を考えれば、次の図をイメージしてもらって、新しい$t$-structure $({\mathcal{D}}^{\le -1}\ast \mathcal{T},\mathcal{F}[1]\ast {\mathcal{D}}^{\ge 0})$ができそうです。
HRS-tiltの図
（この図は導来圏なりのAuslander-Reiten quiverのイメージ図ですが、まあAR quiver知らなくてもイメージはつくでしょう、「右から左へ射は消えている」「シフトで右にずれる」ことに注意）

しかもそのheartは$\mathcal{F}[1]\ast \mathcal{T}$と書けて、そのなかでどうも$(\mathcal{F}[1],\mathcal{T})$がtorsion pairになっているように見えます。これが次の文献で導入された通称HRS-tiltです:

• [HRS] D. Happel, I. Reiten and S. O. Smalø, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996), no. 575.

ですがその証明は長ったらしく自分にとっては分かりにくいので、もっとシンプルに短く証明するのが本記事の狙いです。

この操作はBridgelandが特に単純加群からくるtorsion pairについて行って「simple tilting」とか呼ばれる操作になっていて、いわゆる流行りのmutationの一部で、いろんな分野とつながるらしいですが詳しくないです。

前提とする知識

三角圏の$t$-structureに慣れていることが望ましい（とくに、Bridgeland安定性 第1回 や heartはアーベル圏 を読んでいることが望ましい）。

慣習と記法

いつもと同様ですが、アーベル圏のtorsion classに$\mathcal{T}$を使いたいので、三角圏は主に$\mathcal{D}$で表すことにします。

• 考える部分圏は全てfullで有限直和と同型で閉じることを仮定する（直和因子で閉じることは課さない）。

• 加法圏$\mathcal{D}$の部分圏$\mathcal{X}$に対して、${\mathcal{X}}^{\perp }$や${}^{\perp }\mathcal{X}$で通常の$\mathrm{Hom}$直交部分圏を指す。また二つの部分圏$\mathcal{X},\mathcal{Y}$に対して、$\mathcal{X}\perp \mathcal{Y}$で、$\mathcal{T}(\mathcal{X},\mathcal{Y})=0$を表す。

• 三角圏$\mathcal{D}$の対象の集まり$\mathcal{X}$と$\mathcal{Y}$に対し（部分圏でなくてもよい）、
  $$X\to E\to Y\to X[1]$$
  というtriangleで$X\in \mathcal{X}$と$Y\in \mathcal{Y}$を満たすようなものが存在するような$E$を全て集めたものを$\mathcal{X}\ast \mathcal{Y}$と書く（この$\ast$演算は結合的）。

• 上のアーベル圏バージョンも同じ記号でかく。つまりアーベル圏$\mathcal{A}$の対象の集まり$\mathcal{X}$と$\mathcal{Y}$に対し（部分圏でなくてもよい）、
  $$0\to X\to E\to Y\to 0$$
  という短完全列で$X\in \mathcal{X}$と$Y\in \mathcal{Y}$を満たすようなものが存在するような$E$を全て集めたものを$\mathcal{X}\ast \mathcal{Y}$と書く（この$\ast$演算は結合的）。

主定理の主張

早速主定理が述べられます（あとで用語を補足します）。

ここで最後の等式をむしろいろいろな論文でHRS-tiltの定義式としているのですが、そうするより$\ast$積で書いたほうが自然だし証明も一瞬です。

$t$-structureとtorsion pairについて復習と準備

証明に使う定義が見慣れないかもしれないので、確認の意味も含めて復習します。

また$t$-structureを$({\mathcal{D}}^{\le 0},{\mathcal{D}}^{\ge 0})$と書くとき、${\mathcal{D}}^{\le n}:={\mathcal{D}}^{\le 0}[-n],{\mathcal{D}}^{\ge n}:={\mathcal{D}}^{\ge 0}[-n]$という記法を用います（主定理で用いています）。

ではアーベル圏のtorsion pairも復習します。

大体のイメージ的には、アーベル圏を右$\mathcal{T}$と左$\mathcal{F}$に分ける別け方です（右から左へは射がないので）。

さて、聡明な読者はここで「三角圏での$\ast$とアーベル圏での$\ast$があって紛らわしい！」と思われるかもしれません。が、実際これは$t$-structureのheartを考える上では区別しなくてよいことが次で保証されます：

主定理の証明

さてもう一瞬で主定理を証明できます。

また完全に独立したちょっとおもしろい応用として次が分かります。

これは知っている人から見れば、ある種のBrenner-Butlerの定理の一般化だとも見れますね。Brenner-Butlerは、classical tilting moduleから誘導されるtorsion pairを考えると、そのtilted algebra上ではtorsionとtorsion-freeがひっくり返っている、というものです。

まとめ、予告

• 三角圏やアーベル圏や完全圏での$\ast$記法は非常に便利で直感的なのでもっと広まって欲しいと思います（三角圏の論文でよく三角を重ねて書いたりしてるけど、単に$\ast$を繰り返しとっただけと見たほうが見やすい）。
• そのうちに、HRS-tiltの逆、つまり$t$-structureがあって、そこから離れすぎてない（2-termな）$t$-structureがあったら、そこからheartのtorsion pairが定まり、それについてのHRS-tiltと見れること、またこの対応で「heartのtorsion classのなすposet」と「離れすぎていない$t$-structureのposet」が同型なことを見る予定です。