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t-structureのheartのtorsion pairからHRS-tiltで新しいt-structureを作る

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$$\newcommand{AA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{BB}[0]{\mathcal{B}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathcal{C}} \newcommand{CM}[0]{\operatorname{\mathsf{CM}}} \newcommand{coker}[0]{\operatorname{Coker}} \newcommand{DD}[0]{\mathcal{D}} \newcommand{DDD}[0]{\mathsf{D}} \newcommand{EE}[0]{\mathcal{E}} \newcommand{End}[0]{\operatorname{End}} \newcommand{equiv}[0]{\Leftrightarrow} \newcommand{Ext}[0]{\operatorname{Ext}} \newcommand{F}[0]{\mathsf{F}} \newcommand{FF}[0]{\mathcal{F}} \newcommand{GG}[0]{\mathcal{G}} \newcommand{HH}[0]{\mathcal{H}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{II}[0]{\mathcal{I}} \newcommand{image}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{imp}[0]{\Rightarrow} \newcommand{implies}[0]{\Rightarrow} \newcommand{inj}[0]{\hookrightarrow} \newcommand{JJ}[0]{\mathcal{J}} \newcommand{ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{KK}[0]{\mathcal{K}} \newcommand{KKK}[0]{\mathsf{K}} \newcommand{LL}[0]{\mathcal{L}} \newcommand{MM}[0]{\mathcal{M}} \newcommand{mod}[0]{\operatorname{\mathsf{mod}}} \newcommand{Mod}[0]{\operatorname{\mathsf{Mod}}} \newcommand{NN}[0]{\mathcal{N}} \newcommand{OO}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{PP}[0]{\mathcal{P}} \newcommand{proj}[0]{\operatorname{\mathsf{proj}}} \newcommand{QQ}[0]{\mathcal{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rep}[0]{\operatorname{\mathsf{rep}}} \newcommand{surj}[0]{\twoheadrightarrow} \newcommand{Tor}[0]{\operatorname{Tor}} \newcommand{TT}[0]{\mathcal{T}} \newcommand{TTT}[0]{\mathsf{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathcal{U}} \newcommand{VV}[0]{\mathcal{V}} \newcommand{XX}[0]{\mathcal{X}} \newcommand{YY}[0]{\mathcal{Y}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathcal{Z}} $$

導入

与えられた$t$-structureから別の「ちょっとずれた$t$-structure」を作る操作として、Happel-Reiten-Smaløが導入したいわゆるHRS-tiltという操作があります。

具体的には、三角圏$\DD$$t$-structure $(\DD^{\leq 0},\DD^{\geq 0})$があり、さらにそのheart $\HH$のアーベル圏としてのtorsion pair $(\TT,\FF)$を考えれば、次の図をイメージしてもらって、新しい$t$-structure $(\DD^{\leq -1} * \TT, \FF[1]*\DD^{\geq 0})$ができそうです。
HRS-tiltの図 HRS-tiltの図
(この図は導来圏なりのAuslander-Reiten quiverのイメージ図ですが、まあAR quiver知らなくてもイメージはつくでしょう、「右から左へ射は消えている」「シフトで右にずれる」ことに注意)

しかもそのheartは$\FF[1] * \TT$と書けて、そのなかでどうも$(\FF[1],\TT)$がtorsion pairになっているように見えます。これが次の文献で導入された通称HRS-tiltです:

  • [HRS] D. Happel, I. Reiten and S. O. Smalø, Tilting in abelian categories and quasitilted algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 120 (1996), no. 575.

ですがその証明は長ったらしく自分にとっては分かりにくいので、もっとシンプルに短く証明するのが本記事の狙いです。

この操作はBridgelandが特に単純加群からくるtorsion pairについて行って「simple tilting」とか呼ばれる操作になっていて、いわゆる流行りのmutationの一部で、いろんな分野とつながるらしいですが詳しくないです。

前提とする知識

三角圏の$t$-structureに慣れていることが望ましい(とくに、Bridgeland安定性 第1回 heartはアーベル圏 を読んでいることが望ましい)。

慣習と記法

いつもと同様ですが、アーベル圏のtorsion classに$\TT$を使いたいので、三角圏は主に$\DD$で表すことにします。

  • 考える部分圏は全てfullで有限直和と同型で閉じることを仮定する(直和因子で閉じることは課さない)。

  • 加法圏$\DD$の部分圏$\XX$に対して、$\XX^\perp$$^\perp \XX$で通常の$\Hom$直交部分圏を指す。また二つの部分圏$\XX,\YY$に対して、$\XX \perp \YY$で、$\TT(\XX,\YY) = 0$を表す。

  • 三角圏$\DD$の対象の集まり$\XX$$\YY$に対し(部分圏でなくてもよい)、
    $$ X \to E \to Y \to X[1] $$
    というtriangleで$X \in \XX$$Y \in \YY$を満たすようなものが存在するような$E$を全て集めたものを$\XX * \YY$と書く(この$*$演算は結合的)。

  • 上のアーベル圏バージョンも同じ記号でかく。つまりアーベル圏$\AA$の対象の集まり$\XX$$\YY$に対し(部分圏でなくてもよい)、
    $$ 0 \to X \to E \to Y \to 0 $$
    という短完全列で$X \in \XX$$Y \in \YY$を満たすようなものが存在するような$E$を全て集めたものを$\XX * \YY$と書く(この$*$演算は結合的)。

主定理の主張

早速主定理が述べられます(あとで用語を補足します)。

HRS-tilt

三角圏$\DD$$t$-structure $(\DD^{\leq 0},\DD^{\geq 0})$を考え、そのheart $\HH:= \DD^{\leq 0} \cap \DD^{\geq 0}$のアーベル圏としてのtorsion pair $(\TT,\FF)$を考える。このとき次が成り立つ。

  1. $(\DD^{\leq -1} * \TT, \FF[1] * \DD^{\geq 0})$$\DD$$t$-structureである。
  2. そのheartは$\FF[1] * \TT$であり、またこのとき$(\FF[1],\TT)$はこの新しいheartのアーベル圏としてのtorsion pairである。
  3. もとのheart $\HH$への通常のコホモロジカル関手$H^i \colon \DD \to \HH$を考えると、次の等式が成り立つ:
    \begin{align} \DD^{\leq -1} * \TT &= \{X \in \DD \, | \, H^{>0}(X) = 0 \text{ かつ } H^{0}(X) \in \TT \}\\ \FF[1] * \DD^{\geq 0} &= \{X \in \DD \, | \, H^{-1}(X) = 0 \text{ かつ } H^{-1}(X) \in \FF \}\\ \FF[1] * \TT &= \{X \in \DD \, | \, H^{\neq 0,-1}(X) = 0 \text{ かつ } H^{0}(X) \in \TT, H^{-1}(X) \in \FF \}\\ \end{align}

ここで最後の等式をむしろいろいろな論文でHRS-tiltの定義式としているのですが、そうするより$*$積で書いたほうが自然だし証明も一瞬です。

$t$-structureとtorsion pairについて復習と準備

証明に使う定義が見慣れないかもしれないので、確認の意味も含めて復習します。

三角圏の$t$-structure

三角圏$\DD$の部分圏の組$(\UU,\VV)$$t$-structureであるとは、次を満たすときをいう(部分圏は有限直和と同型で閉じていたが直和因子で閉じると仮定していないことに注意)。

  1. $\UU \perp \VV[-1]$.
  2. $\DD = \UU * \VV[-1]$.
  3. $\UU[1] \subseteq \VV$ (もしくは$\VV[-1] \subseteq \VV$に置き換えてもよい).

またこの$t$-structureのheartとは$\UU \cap \VV$のこと。

また$t$-structureを$(\DD^{\leq 0},\DD^{\geq 0})$と書くとき、$\DD^{\leq n}:= \DD^{\leq 0}[-n], \DD^{\geq n}:= \DD^{\geq 0}[-n]$という記法を用います(主定理で用いています)。

ではアーベル圏のtorsion pairも復習します。

アーベル圏のtorsion pair

アーベル圏$\AA$の部分圏の組$(\TT,\FF)$torsion pairであるとは、次を満たすときをいう。

  1. $\TT \perp \FF$.
  2. $\AA = \TT * \FF$ (アーベル圏としての$*$なことに注意)

大体のイメージ的には、アーベル圏を右$\TT$と左$\FF$に分ける別け方です(右から左へは射がないので)。

さて、聡明な読者はここで「三角圏での$*$とアーベル圏での$*$があって紛らわしい!」と思われるかもしれません。が、実際これは$t$-structureのheartを考える上では区別しなくてよいことが次で保証されます:

三角圏$\DD$$t$-structureのheart $\HH$を考えると次が成り立つ。

  1. $\HH$はアーベル圏であり、$\DD$の中で拡大で閉じている。
  2. $\HH$の射の組$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z$完全列であることと、ある$\DD$での三角$X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \xrightarrow{h} X[1]$が存在することは同値。
  3. $\HH$の二つの部分圏$\TT$$\FF$について、$\TT * \FF$をアーベル圏$\HH$のなかで考えたものと、三角圏$\DD$の中で考えたものは一致する。

1と2については t-structureのheartがアーベル圏になる記事 を参照。3は1と2から直ちに従う。

主定理の証明

さてもう一瞬で主定理を証明できます。

主定理の証明

三角圏$\DD$$t$-structure $(\DD^{\leq 0},\DD^{\geq 0})$をとり、そのheart $\HH$のtorsion pair $(\TT,\FF)$をとる。

$(\DD^{\leq -1} * \TT,\FF[1] * \DD^{\geq 0})$$t$-structureなこと

定義の1-3を順番に確かめよう。

  1. 直交関係について。これは$\DD^{\leq -1} \perp \DD^{\geq 0}$等と、$\TT \perp \FF$により直ちにわかる。
  2. 生成について。まず$\DD = \DD^{\leq 0} * \DD^{\geq 1}$だが、さらに$\DD^{\leq 0} = \DD^{\leq -1} * \HH$が分かり、よって$\DD = (\DD^{\leq -1} * \HH) * \DD^{\geq 1}$である。
    次に$\HH = \TT * \FF$がアーベル圏の意味で成り立つが、上の命題により三角圏の意味でも成り立つ。よって、$*$演算の結合性を使うと、
    \begin{align} \DD & = \DD^{\leq -1} * \HH * \DD^{\geq 1} \\ & = \DD^{\leq -1} * (\TT * \FF) * \DD^{\geq 1} \\ & = (\DD^{\leq -1} * \TT) * (\FF * \DD^{\geq 1}) \end{align}
    より成り立つ。
  3. 明らか。

以下、$\UU' := \DD^{\leq -1} * \TT$$\VV':= \FF[1] * \DD^{\geq 0}$と置く。

$(\UU',\VV')$のheart $\HH'$$\FF[1] * \TT$なこと

まずheartは拡大で閉じるので、明らかに$\FF[1] * \TT \subseteq \UU' \cap \VV'$である。また、$\UU'$について、
\begin{align} \UU' = \DD^{\leq -1} * \TT& = \DD^{\leq -2} * \HH[1] * \TT \\ & = \DD^{\leq -2} * (\TT[1] * \FF[1]) * \TT \\ & = (\DD^{\leq -2} * \TT[1]) * (\FF[1] * \TT)\\ & = \UU'[1] * (\FF[1] * \TT) \end{align}

であり、$\UU \cap \VV$の元$X$を取ると、三角
$$ U'[1] \to X \to H \to U $$
$U' \in \UU'$$H \in \FF[1]*\TT \subseteq \UU' \cap \VV'$があるが、これと自明な三角$0 \to X \to X \to 0$を比較すると、次の補題により$H \cong X$が分かる。よって$X \in \FF[1] * \TT$である。

$(\FF[1],\TT)$がアーベル圏$\HH'$のtorsion pairなこと

まずHom直交は$\FF[1] \subseteq \HH[1]$$\TT \subseteq \HH$$\HH[1] \perp \HH$より明らか。また$\HH' = \FF[1] * \TT$が三角圏として成り立つことが分かっていたので、上の命題によりアーベル圏としても成り立つ。よってtorsion pairなことが分かった。

コホモロジカル関手を使った定義との同値性

読者への演習問題とする。

$(\UU,\VV)$を三角圏$\DD$$t$-structureとしたとき、対象$X \in \DD$について三角
$U[1] \to X \to H \to U$
であり$U \in \UU$$H \in \UU \cap \VV$を満たすような三角は、存在すれば同型をのぞいて一意的である。

上の三角が$\UU[1] * \VV$という分解を与えており、$(\UU[1],\VV[1])$$\DD$$t$-structureだったことから、 Bridgeland安定性第1回 の命題4により従う。

また完全に独立したちょっとおもしろい応用として次が分かります。

HRS-tiltの

アーベル圏$\AA$のtorsion pair $(\TT,\FF)$が与えられたとき、ある別のアーベル圏$\BB$とそこのtorsion pair $(\TT',\FF')$が存在して、$\TT' \simeq \FF$$\FF' \simeq \TT$である。つまり$\TT$をtorsion-free、$\FF$をtorsion classとして実現するようにアーベル圏を作れる。

$\AA$の有界導来圏$\DDD^b(\AA)$の標準$t$-strを考え、その$(\TT,\FF)$についてのHRS-tiltを取ると、新しくできる$t$-strのheart $\FF[1] * \TT$$\BB$とおけば、$(\FF[1],\TT)$$\BB$のtorsion pairであり、$\FF[1] \simeq \FF$より従う。

これは知っている人から見れば、ある種のBrenner-Butlerの定理の一般化だとも見れますね。Brenner-Butlerは、classical tilting moduleから誘導されるtorsion pairを考えると、そのtilted algebra上ではtorsionとtorsion-freeがひっくり返っている、というものです。

まとめ、予告

  • 三角圏やアーベル圏や完全圏での$*$記法は非常に便利で直感的なのでもっと広まって欲しいと思います(三角圏の論文でよく三角を重ねて書いたりしてるけど、単に$*$を繰り返しとっただけと見たほうが見やすい)。
  • そのうちに、HRS-tiltの逆、つまり$t$-structureがあって、そこから離れすぎてない(2-termな)$t$-structureがあったら、そこからheartのtorsion pairが定まり、それについてのHRS-tiltと見れること、またこの対応で「heartのtorsion classのなすposet」と「離れすぎていない$t$-structureのposet」が同型なことを見る予定です。
投稿日:20201126

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某大ポスドク、詳しくはtwitterまで。自分の分野(環の表現論)でよく使われるfolkloreの解説記事を主に書いています。

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