集合系 ⑧

Prop & Proof

$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ と仮定する。$\bigcup\mathcal{A}\subseteq\bigcup\mathcal{B}$ を示す。
部分集合の定義により、任意の $x\in U$ について
$$ x\in\bigcup\mathcal{A}\ \Rightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{B} $$
を示せば十分である。
$ $
そこで、任意に $x\in U$ をとり、
$$ x\in\bigcup\mathcal{A} $$
と仮定する。
集合系の和集合の定義より、ある集合 $E\in\mathcal{A}$ が存在して
$$ x\in E $$
となる。
いま、$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ であるから、部分集合の定義より
$$ E\in\mathcal{A}\ \Rightarrow\ E\in\mathcal{B} $$
が成り立つ。したがって、$E\in\mathcal{A}$ より
$$ E\in\mathcal{B} $$
を得る。
$ $
ゆえに、ある集合 $E\in\mathcal{B}$ が存在して $x\in E$ となるから、再び集合系の和集合の定義より
$$ x\in\bigcup\mathcal{B} $$
である。
したがって、任意の $x\in U$ について
$$ x\in\bigcup\mathcal{A}\ \Rightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{B} $$
が成り立つ。よって、部分集合の定義より
$$ \bigcup\mathcal{A}\subseteq\bigcup\mathcal{B} $$
である。
$$ \Box$$

$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ と仮定する。$\bigcap\mathcal{G}\subseteq\bigcap\mathcal{F}$ を示す。
部分集合の定義により、任意の $x\in U$ について
$$ x\in\bigcap\mathcal{G}\ \Rightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F} $$
を示せば十分である。
$ $
そこで、任意に $x\in U$ をとり、
$$ x\in\bigcap\mathcal{G} $$
と仮定する。共通部分の定義より
$$ x\in X,\quad \forall A\in\mathcal{G}\ (x\in A) $$
が成り立つ。ここで、$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ であるから、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して $A\in\mathcal{G}$ である。
したがって、上の全称命題より、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して
$$ x\in A $$
が成り立つ。ゆえに
$$ \forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A) $$
である。
したがって、$x\in X$ とあわせて、共通部分の定義より
$$ x\in\bigcap\mathcal{F} $$
を得る。
以上より、任意の $x\in U$ について
$$ x\in\bigcap\mathcal{G}\ \Rightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F} $$
が成り立つので、部分集合の定義より
$$ \bigcap\mathcal{G}\subseteq\bigcap\mathcal{F} $$
である。
$$ \Box$$

集合の相等を示すために、両方の包含関係を示す。

1. $(\subseteq)$ を示す。
   任意に $x\in U$ をとり、
   $$ x\in A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
   と仮定する。共通部分の定義より
   $$ x\in A\ \land\ x\in\bigcup\mathcal{A} $$
   である。
   さらに、集合系の和集合の定義より、ある集合 $X\in\mathcal{A}$ が存在して
   $$ x\in X $$
   となる。
   したがって、$x\in A$ かつ $x\in X$ であるから
   $$ x\in A\cap X $$
   である。
   ここで、$X\in\mathcal{A}$ であるから、集合系 $\{A\cap X\mid X\in\mathcal{A}\}$ のある元 $A\cap X$ が存在して、
   その元に $x$ が属していることになる。ゆえに、和集合の定義より
   $$ x\in \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
   である。
   したがって
   $$ A\cap\bigcup\mathcal{A}\subseteq \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. $(\supseteq)$ を示す。
   任意に $x\in U$ をとり、
   $$ x\in \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
   と仮定する。
   和集合の定義より、ある集合 $X\in\mathcal{A}$ が存在して
   $$ x\in A\cap X $$
   となる。
   共通部分の定義より
   $$ x\in A\ \land\ x\in X $$
   である。また、$X\in\mathcal{A}$ かつ $x\in X$ であるから、集合系の和集合の定義より
   $$ x\in\bigcup\mathcal{A} $$
   である。したがって、$x\in A$ かつ $x\in\bigcup\mathcal{A}$ であるから
   $$ x\in A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
   を得る。
   ゆえに
   $$ \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X)\subseteq A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
   が成り立つ。

-以上より
$$ A\cap\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
である。
$$ \Box$$