集合系 ⑧
Prop&Proof
全体集合 $U$ を固定する。集合系 $\mathcal{A},\mathcal{B}\subseteq\mathcal{P}(U)$ について
$$
\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\ \Rightarrow\ \bigcup\mathcal{A}\subseteq\bigcup\mathcal{B}
$$
が成り立つ。
$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ と仮定する。$\bigcup\mathcal{A}\subseteq\bigcup\mathcal{B}$ を示す。
部分集合の定義により、任意の $x\in U$ について
$$
x\in\bigcup\mathcal{A}\ \Rightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{B}
$$
を示せば十分である。
$ $
そこで、任意に $x\in U$ をとり、
$$
x\in\bigcup\mathcal{A}
$$
と仮定する。
集合系の和集合の定義より、ある集合 $E\in\mathcal{A}$ が存在して
$$
x\in E
$$
となる。
いま、$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ であるから、部分集合の定義より
$$
E\in\mathcal{A}\ \Rightarrow\ E\in\mathcal{B}
$$
が成り立つ。したがって、$E\in\mathcal{A}$ より
$$
E\in\mathcal{B}
$$
を得る。
$ $
ゆえに、ある集合 $E\in\mathcal{B}$ が存在して $x\in E$ となるから、再び集合系の和集合の定義より
$$
x\in\bigcup\mathcal{B}
$$
である。
したがって、任意の $x\in U$ について
$$
x\in\bigcup\mathcal{A}\ \Rightarrow\ x\in\bigcup\mathcal{B}
$$
が成り立つ。よって、部分集合の定義より
$$
\bigcup\mathcal{A}\subseteq\bigcup\mathcal{B}
$$
である。
$$ \Box$$
全体集合 $U$ を固定し $X\subseteq U$ とする。集合系 $\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(X)$ について
$$
\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}\ \Rightarrow\ \bigcap\mathcal{G}\subseteq\bigcap\mathcal{F}
$$
が成り立つ。
ここで、集合族 $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(X)$ に対して
$$
\bigcap\mathcal{H}
=
\{x\in X:\forall A\in\mathcal{H}\ (x\in A)\}
$$
と定める。
$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ と仮定する。$\bigcap\mathcal{G}\subseteq\bigcap\mathcal{F}$ を示す。
部分集合の定義により、任意の $x\in U$ について
$$
x\in\bigcap\mathcal{G}\ \Rightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F}
$$
を示せば十分である。
$ $
そこで、任意に $x\in U$ をとり、
$$
x\in\bigcap\mathcal{G}
$$
と仮定する。共通部分の定義より
$$
x\in X,\quad \forall A\in\mathcal{G}\ (x\in A)
$$
が成り立つ。ここで、$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$ であるから、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して $A\in\mathcal{G}$ である。
したがって、上の全称命題より、任意の $A\in\mathcal{F}$ に対して
$$
x\in A
$$
が成り立つ。ゆえに
$$
\forall A\in\mathcal{F}\ (x\in A)
$$
である。
したがって、$x\in X$ とあわせて、共通部分の定義より
$$
x\in\bigcap\mathcal{F}
$$
を得る。
以上より、任意の $x\in U$ について
$$
x\in\bigcap\mathcal{G}\ \Rightarrow\ x\in\bigcap\mathcal{F}
$$
が成り立つので、部分集合の定義より
$$
\bigcap\mathcal{G}\subseteq\bigcap\mathcal{F}
$$
である。
$$ \Box$$
この命題では、集合系 $\mathcal{F},\mathcal{G}$ を
$$
\mathcal{F},\mathcal{G}\subseteq\mathcal{P}(X)
$$
としている。したがって、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{G}$ の各要素はいずれも $X$ の部分集合である。
このとき、共通部分を $\mathcal{P}(X)$ の範囲で閉じた形で扱うために、集合系 $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(X)$ に対して
$$
x\in\bigcap\mathcal{H}
\ \Leftrightarrow\
x\in X\ \land\ \forall A\in\mathcal{H}\ (x\in A)
$$
と定義する。
この定義を用いると、$\mathcal{H}=\varnothing$ の場合にも、空な領域にわたる全称命題は空虚に真であるから
$$
\bigcap\varnothing=X
$$
となる。
したがって、空集合族を許しても、常に
$$
\bigcap\mathcal{H}\subseteq X
$$
が成り立つ。
一方、共通部分を全体集合 $U$ の中で
$$
x\in\bigcap\mathcal{H}
\ \Leftrightarrow\
x\in U\ \land\ \forall A\in\mathcal{H}\ (x\in A)
$$
と定義すると、$\mathcal{H}=\varnothing$ のとき
$$
\bigcap\varnothing=U
$$
となる。
そのため、$X\subset U\ \land\ X \neq U $ の場合には、$\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(X)$ であっても
$$
\bigcap\mathcal{H}\subseteq X
$$
が成り立つとは限らない。
よって、この命題では、$\mathcal{P}(X)$ の元からなる集合系の共通部分を $X$ の中で解釈しているのである。
集合 $A\subseteq U$ と集合系 $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(U)$ に対し
$$
A\cap\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X)
$$
が成り立つ。
集合の相等を示すために、両方の包含関係を示す。
- $(\subseteq)$ を示す。
任意に $x\in U$ をとり、
$$ x\in A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
と仮定する。共通部分の定義より
$$ x\in A\ \land\ x\in\bigcup\mathcal{A} $$
である。
さらに、集合系の和集合の定義より、ある集合 $X\in\mathcal{A}$ が存在して
$$ x\in X $$
となる。
したがって、$x\in A$ かつ $x\in X$ であるから
$$ x\in A\cap X $$
である。
ここで、$X\in\mathcal{A}$ であるから、集合系 $\{A\cap X\mid X\in\mathcal{A}\}$ のある元 $A\cap X$ が存在して、
その元に $x$ が属していることになる。ゆえに、和集合の定義より
$$ x\in \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
である。
したがって
$$ A\cap\bigcup\mathcal{A}\subseteq \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
が成り立つ。
$ $ - $(\supseteq)$ を示す。
任意に $x\in U$ をとり、
$$ x\in \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X) $$
と仮定する。
和集合の定義より、ある集合 $X\in\mathcal{A}$ が存在して
$$ x\in A\cap X $$
となる。
共通部分の定義より
$$ x\in A\ \land\ x\in X $$
である。また、$X\in\mathcal{A}$ かつ $x\in X$ であるから、集合系の和集合の定義より
$$ x\in\bigcup\mathcal{A} $$
である。したがって、$x\in A$ かつ $x\in\bigcup\mathcal{A}$ であるから
$$ x\in A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
を得る。
ゆえに
$$ \bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X)\subseteq A\cap\bigcup\mathcal{A} $$
が成り立つ。
-以上より
$$
A\cap\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{X\in\mathcal{A}}(A\cap X)
$$
である。
$$ \Box$$
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