Flexion unit7: separation lemma
前の記事
の記法を用いる. $f\in\GIFF$に対し,
\begin{align}
f_{\#}(x)&:=x-\frac{f(x)}{f'(x)}=:\sum_{1\leq r}\gamma_r^{f}x^{r+1}
\end{align}
とする.
$\Se(f),\So(f)$のdilator
\begin{align}
\der(A)(w_1,\dots,w_r)&:=rA(w_1,\dots,w_r)\\
\Te(f)&:=\sum_{1\leq r}\gamma_r^f\re_r
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$f\in\GIFF$に対し
\begin{align}
\der(\Se(f))=\preari(\Se(f),\Te(f))
\end{align}
が成り立つ.
一般に
\begin{align}
\der(S)=\preari(S,D)
\end{align}
という関係式が成り立つとき, $D$は$S$のgari-dilatorと呼ばれる. 以下, $\varepsilon$を二重数とする.
\begin{align}
\Se(f)+\varepsilon \preari(\Se(f),\Te(f))=\gari(\Se(f),1+\varepsilon\Te(f))
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
\exp\left(\varepsilon f_{\#}(x)\frac{d}{dx}\right)=x+\varepsilon f_{\#}(x)
\end{align}
であるから
\begin{align}
\Se(\mathrm{id}+\varepsilon f_{\#})&=\expari\left(\He\left(\varepsilon f_{\#}(x)\frac{d}{dx}\right)\right)\\
&=\expari(\varepsilon\Te(f))\\
&=1+\varepsilon\Te(f)
\end{align}
となることを用いると,
前の記事
の命題5より,
\begin{align}
\Se(f)+\varepsilon \preari(\Se(f),\Te(f))&=\gari(\Se(f),\Se(\mathrm{id}+\varepsilon f_{\#}))\\
&=\gari(\Se(f\circ(\mathrm{id}+\varepsilon f_{\#})))
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&(f\circ(\mathrm{id}+\varepsilon f_{\#}))(x)\\
&=x+\varepsilon f_{\#}(x)+\sum_{1\leq r}a_r^f(x+\varepsilon f_{\#}(x))^{r+1}\\
&=x+\varepsilon f_{\#}(x)+\sum_{1\leq r}a_r^f(x^{r+1}+\varepsilon (r+1)x^rf_{\#}(x))\\
&=f(x)+\varepsilon(f_{\#}(x)+(f'(x)-1)f_{\#}(x))\\
&=f(x)+\varepsilon f_{\#}(x)f'(x)\\
&=f(x)+\varepsilon (xf'(x)-f(x))
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
&\exp\left(\sum_{1\leq r}(1+\varepsilon r)\varepsilon_r^fx^{r+1}\frac{d}{dx}\right)(x)\\
&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}(1+\varepsilon r_1)\varepsilon_{r_1}^f\cdots(1+\varepsilon r_n)\varepsilon_{r_n}^fx^{r_1+1}\frac{d}{dx}\cdots x^{r_n+1}\frac{d}{dx}(x)\\
&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}(1+\varepsilon(r_1+\cdots+r_n))\varepsilon_{r_1}^f\cdots\varepsilon_{r_n}^fx^{r_1+1}\frac{d}{dx}\cdots x^{r_n+1}\frac{d}{dx}(x)\\
&=\left(1+\varepsilon\left(x\frac{d}{dx}-1\right)\right)\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}\varepsilon_{r_1}^f\cdots\varepsilon_{r_n}^fx^{r_1+1}\frac{d}{dx}\cdots x^{r_n+1}\frac{d}{dx}(x)\\
&=f(x)+\varepsilon(xf'(x)-f(x))
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\Se(f+\varepsilon(xf'-f))&=\expari\left(\sum_{1\leq r}(1+\varepsilon r)\varepsilon_r^f\re_r\right)\\
&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}(1+\varepsilon(r_1+\cdots+r_n))\varepsilon_{r_1}^f\cdots\varepsilon_{r_n}^f\preari(\re_{r_1},\dots,\re_{r_n})\\
&=\Se(f)+\varepsilon \der(\Se(f))
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\Se(f)+\varepsilon \preari(\Se(f),\Te(f))=\Se(f)+\varepsilon \der(\Se(f))
\end{align}
が得られた. $\varepsilon$の係数を比較して示すべき等式を得る.
ここまでは$\EE$がfalse unitの場合で成り立っている. 以下, 共役unitを考えるので, $\EE$をflexion unitとする.
\begin{align}
\So(f)&:=\swap(\Se(f))\\
\To(f)&:=\swap(\Te(f))\\
\preira(A,B)&:=\swap(\preari(\swap(A),\swap(B)))
\end{align}とする. このとき, 以下が成り立つ.
$f\in\GIFF$に対し
\begin{align}
\der(\So(f))=\preira(\So(f),\To(f))
\end{align}
が成り立つ.
一般に
\begin{align}
\der(S)=\preira(S,D)
\end{align}
という関係式が成り立つとき, $D$は$S$のgira-dilatorと呼ばれる.
命題1の両辺の$\swap$を考えればよい.
\begin{align}
\irat(A)&:=\axit(A,-\push(A))\\
\iwat(A)&:=\axit(A,\anti(A))
\end{align}
とする.
前の記事
の最後の等式から,
\begin{align}
\preira(A,B)=\irat(B)(A)+A\times B
\end{align}
である.
\begin{align}
\preira(\So(f),\To(f))&=\irat(\To(f))(\So(f))+\So(f)\times \To(f)
\end{align}
であり,
\begin{align}
\To(f)=\sum_{1\leq r}\gamma_r^f\ro_r
\end{align}
であることと,
前の記事
の系1より, $\push(\ro_r)=-\anti(\ro_r)$であることから, 系1は以下のように書き換えられる.
$f\in\GIFF$に対し
\begin{align}
\der(\So(f))=\iwat(\To(f))(\So(f))+\So(f)\times \To(f)
\end{align}
が成り立つ.
Separation lemma
\begin{align}
\dO(f):=\sum_{0\leq r}(r+1)a_r^f\oz_r
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$f\in\GIFF$に対し,
\begin{align}
\der(\dO(f))=\iwat(\To(f))(\dO(f))+\dO(f)\times\To(f)+\anti(\To(f))\times\dO(f)
\end{align}
が成り立つ.
$\anti(\dO(f))=\dO(f)$であることと
\begin{align}
\anti(A\times B)&=\anti(B)\times\anti(A)\\
\anti\circ\anit(A)&=\amit(\anti(A))\circ\anti
\end{align}
であることを用いると,
\begin{align}
&\iwat(\To(f))(\dO(f))+\dO(f)\times\To(f)+\anti(\To(f))\times\dO(f)\\
&=\amit(\To(f))(\dO(f))+\anit(\anti(\To(f)))(\anti(\dO(f)))+\dO(f)\times\To(f)+\anti(\dO(f)\times\To(f))\\
&=(1+\anti)(\amit(\To(f))(\dO(f))+\dO(f)\times\To(f))\\
&=(1+\anti)\preami(\dO(f),\To(f))\\
&=\sum_{1\leq r,s}(r+1)a_r^f\gamma_s^f(1+\anti)\preami(\oz_r,\ro_s)
\end{align}
ここで,
前の記事
の系4を用いると,
\begin{align}
&\iwat(\To(f))(\dO(f))+\dO(f)\times\To(f)+\anti(\To(f))\times\dO(f)\\
&=\sum_{1\leq r,s}(r+s+1)(r+1)a_r^f\gamma_s^f\oz_{r+s}\\
&=\sum_{0\leq r}\oz_r[x^r]\frac{d}{dx}(f'(x)f_{\#}(x))\\
&=\sum_{0\leq r}\oz_r[x^r]\frac{d}{dx}(xf'(x)-f(x))\\
&=\sum_{0\leq r}\oz_r[x^r]xf''(x)\\
&=\sum_{1\leq r}r(r+1)a_r^f\oz_r\\
&=\der(\dO(f))
\end{align}
となって示すべき等式を得る. ここで, $[x^r]f(x)$は$f(x)$の$x^r$の係数を表す.
以下はEcalleのseparation lemmaと呼ばれるものである.
$f\in\GIFF$に対し,
\begin{align}
\anti(\So(f))\times\So(f)=\dO(f)
\end{align}
が成り立つ.
これは,
\begin{align}
\gepar(A):=\anti(\swap(A))\times\swap(A)
\end{align}
として, $\gepar(\Se(f))=\dO(f)$という形でも書かれる.
まず,
\begin{align}
\der(A\times B)(w_1,\dots,w_r)&=r\sum_{i=0}^rA(w_1,\dots,w_i)B(w_{i+1},\dots,w_r)\\
&=\sum_{i=0}^r(i+(r-i))A(w_1,\dots,w_i)B(w_{i+1},\dots,w_r)\\
&=(\der(A)\times B+A\times\der(B))(w_1,\dots,w_r)
\end{align}
であるから, $\der(A\times B)=\der(A)\times B+A\times \der(B)$である. また, $\der\circ\anti=\anti\circ\der$であり,
\begin{align}
\anti\circ\axit(A,B)=\axit(\anti(B),\anti(A))\circ\anti
\end{align}
であることから, $\anti\circ\iwat(A)=\iwat(A)\circ \anti$である. よって, 系2より,
\begin{align}
&\der(\anti(\So(f))\times \So(f))\\
&=\anti(\der(\So(f)))\times \So(f)+\anti(\So(f))\times\der(\So(f))\\
&=\anti(\iwat(\To(f))(\So(f))+\So(f)\times \To(f))\times\So(f)\\
&\qquad+\So(f)\times (\iwat(\To(f))(\So(f))+\So(f)\times \To(f))\\
&=\iwat(\So(f))(\anti(\So(f)))\times\So(f)+\anti(\To(f))\times\anti(\So(f))\times\So(f)\\
&\qquad+\anti(\So(f))\times \iwat(\To(f))(\So(f))+\anti(\So(f))\times\So(f)\times \To(f)\\
&=\iwat(\So(f))(\anti(\So(f))\times\So(f))+\anti(\To(f))\times(\anti(\So(f))\times\So(f))\\
&\qquad+(\anti(\So(f))\times\So(f))\times \To(f)
\end{align}
となる. よって, $\anti(\So(f))\times\So(f),\dO(f)$は全く同じ形の関係式
\begin{align}
\der(A)=\iwat(\To(f))(A)+A\times\To(f)+\anti(\To(f))\times A
\end{align}
を満たす. $\To(\varnothing)=0$であるから, $r\geq 1$に対し, 上の等式から$A(w_1,\dots,w_r)$は長さ$r-1$以下のbiwordに対する$A$の値から決まる. よって, $(\anti(\So(f))\times\So(f))(\varnothing)=\dO(f)(\varnothing)=1$であることから, 帰納的に$\anti(\So(f))\times\So(f)=\dO(f)$を得る.
\begin{align}
\pari(A)(w_1,\dots,w_r)&:=(-1)^rA(w_1,\dots,w_r)\\
\mathrm{neg}(A)(w_1,\dots,w_r)&:=A(-w_1,\dots,-w_r)
\end{align}
とする. シャッフル代数におけるantipode関係式
\begin{align}
\sum_{i=0}^r(-1)^{r-i}(w_1,\dots,w_i)\,\text{ш}\,(w_{i+1},\dots,w_{r})=\delta_{r,0}
\end{align}
から, $A$がsymmetralであるとき,
\begin{align}
A\times (\anti\circ\pari)(A)=1
\end{align}
つまり, $\invmu(A)=(\anti\circ\pari)(A)$である. また, 任意のbimould$A$に対し,
\begin{align}
&(\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap)(A)\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_r\\v_1,\dots,v_r\end{matrix}\right)\\
&=(\swap\circ\anti\circ\swap)(A)\left(\begin{matrix}u_r,\dots,u_1\\v_r,\dots,v_1\end{matrix}\right)\\
&=(\anti\circ\swap)(A)\left(\begin{matrix}v_1,v_2-v_1,\dots,v_r-v_{r-1}\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_{r-1}+u_r,u_r\end{matrix}\right)\\
&=\swap(A)\left(\begin{matrix}v_r-v_{r-1},\dots,v_2-v_1,v_1\\u_r,u_{r-1}+u_r,\dots,u_1+\cdots+u_r\end{matrix}\right)\\
&=A\left(\begin{matrix}u_1+\cdots+u_r,-u_1,\dots,-u_{r-1}\\v_r,v_r-v_1,\dots,v_r-v_{r-1}\end{matrix}\right)\\
&=(\mathrm{neg}\circ\push)(A)
\end{align}
となることから, $\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap=\mathrm{neg}\circ\push $である. これらを用いると, 定理3は以下のように書き換えられる.
$f\in\GIFF$に対し,
\begin{align}
\rash(\So(f))&=\dO(f)\\
\crash(\So(f))&=\dO(f^{-1})
\end{align}
が成り立つ. ここで, $f^{-1}$は合成に関する逆元である.
$\rash,\crash$は
前の記事
で導入したものであり, それは
\begin{align}
\rash(A)&:=(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(A)\times A\\
\crash(A)&:=(\rash\circ \invgira)(A)
\end{align}
で定義される.
\begin{align}
\rash(\So(f))&=(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(\So(f))\times \So(f)
\end{align}
であり, ここで, $\sum_{1\leq r}\varepsilon_r^f\re_r$がalternalであることにより,
前の記事
の命題6より$\Se(f)$はsymmetralであるから, $\invmu(\Se(f))=(\anti\circ\pari)(\Se(f))$である. よって,
\begin{align}
&(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(\So(f))\\
&=(\push\circ\swap\circ\invmu)(\Se(f))\\
&=(\push\circ\swap\circ\anti\circ\pari)(\Se(f))\\
&=((\mathrm{neg}\circ\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap)\circ\swap\circ\anti\circ\pari)(\Se(f))\\
&=(\mathrm{neg}\circ\anti\circ\swap\circ\pari)(\Se(f))\\
&=(\anti\circ\swap\circ\mathrm{neg}\circ\pari)(\Se(f))
\end{align}
ここで, $\mathrm{neg}, \pari$は$\expari$と可換であり,
\begin{align}
(\mathrm{neg}\circ\pari)(\Se(f))&=\expari\left(\sum_{1\leq r}\varepsilon_r^f(\mathrm{neg}\circ\pari)(\re_r)\right)\\
&=\expari\left(\sum_{1\leq r}\varepsilon_r^f\re_r\right)\\
&=\Se(f)
\end{align}
となることから, 定理3より
\begin{align}
\rash(\So(f))&=(\anti\circ\swap)(\Se(f))\times \So(f)\\
&=\anti(\So(f))\times \So(f)\\
&=\dO(f)
\end{align}
となる. 2つ目の等式は,
\begin{align}
\invgira(\So(f))&=(\swap\circ\invgari\circ\swap)(\So(f))\\
&=(\swap\circ\invgari)(\Se(f))\\
&=\swap(\Se(f^{-1}))\\
&=\So(f^{-1})
\end{align}
となることから1つ目の等式より従う.
