Flexion unit3

$r=1$のときは明らか. $r$に対して等式が成り立つと仮定して, $r+1$の場合を示せばよい. 定義より,
\begin{align} &\re_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})\\ &=\arit(\re_{r})(\EE)(w_1,\dots,w_{r+1})\\ &=\re_r((w_1,\dots,w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}})\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\ro_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})\\ &=\re_{r+1}\left(\begin{matrix}v_{r+1},v_r-v_{r+1},\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_{r+1},\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\ &=\re_r\left(\begin{matrix}v_{r+1},v_r-v_{r+1},\dots,v_2-v_3\\u_2+\cdots+u_{r+1},\dots,u_2+u_3,u_2\end{matrix}\right)\EE\left(\begin{matrix}v_1\\u_1\end{matrix}\right)\\ &\qquad-\EE\left(\begin{matrix}v_1\\u_1+\cdots+u_{r+1}\end{matrix}\right)\re_r\left(\begin{matrix}v_r-v_{r+1},\dots,v_1-v_2\\-u_{r+1},-u_r-u_{r+1},\dots,-u_2-\cdots-u_{r+1}\end{matrix}\right)\\ &=\OO(w_1)\ro_r\left(w_2,\dots,w_{r+1}\right)-\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\ro_r\left(\begin{matrix}-u_2-\cdots-u_{r+1},u_2,\dots,u_{r}\\v_1-v_{r+1},\dots,v_r-v_{r+1}\end{matrix}\right)\\ &=\OO(w_1)\ro_r\left(w_2,\dots,w_{r+1}\right)-\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\push(\ro_r)\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right) \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} \ro_r(w_1,\dots,w_r)&=\sum_{i=1}^r(r+1-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))\\ &=-\sum_{i=1}^r(r+1-i)\push^{r+1-i}(\oz)(w_1,\dots,w_r)\\ &=-\sum_{i=1}^ri\push^i(\oz)(w_1,\dots,w_r)\\ \end{align}
と書き換えられることから, $\oz$の長さ$r$部分を$\oz_r$と表すことにすると, 長さ$r$のbimould $A$に対し$\push^{r+1}(A)=A$が成り立つことから,
\begin{align} \push(\ro_r)&=-\sum_{i=1}^ri\push^{i+1}(\oz_r)\\ &=-\sum_{i=1}^{r+1}(i-1)\push^{i}(\oz_r)\\ &=-\sum_{i=1}^ri\push^{i}(\oz_r)-r\oz_r+\sum_{i=1}^r\push^i(\oz_r)\\ &=\ro_r-(r+1)\oz_r \end{align}
となる. ここで, 最後の等号は$\oz$のpush-neutrality( 前の記事 の系2)による. よって, tripartite恒等式を適用すれば
\begin{align} &\ro_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})\\ &=\OO(w_1)\ro_r\left(w_2,\dots,w_{r+1}\right)-\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\ro_r\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right)\\ &\qquad+(r+1)\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\oz\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right)\\ &=\OO(w_1)\sum_{i=2}^{r+1}(r+2-i)\oz((w_2\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_2\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\ &\qquad-\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\sum_{i=2}^{r+1}(r+2-i)\oz((w_2\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1}\lfloor({}_{w_2\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}))\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\ &\qquad+(r+1)\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\oz\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right)\\ &=\sum_{i=2}^{r+1}(r+2-i)\oz((w_2\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\\ &\qquad\cdot(\OO(w_1)\OO({}_{w_2\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})-\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\OO({}_{w_1}\lfloor({}_{w_2\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})))\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\ &\qquad+(r+1)\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\oz\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right)\\ &=\sum_{i=2}^{r+1}(r+2-i)\oz((w_2\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO(w_1\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\ &\qquad+(r+1)\OO\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\right)\oz\left({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r+1}(r+2-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1})) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

2つ目の等号は定理1の証明の中で既に示した. 定理1と 前の記事 の系2より,
\begin{align} \anti(\ro_r)(w_1,\dots,w_r)&=\sum_{i=1}^ri\oz((w_{r}\cdots w_{i+1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i-1}\cdots w_1))\\ &=(r+1)\sum_{i=1}^r\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))\\ &\qquad-\sum_{i=1}^r(r+1-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))\\ &=(r+1)\oz(w_1,\dots,w_r)-\ro_r(w_1,\dots,w_r) \end{align}
が成り立つので1つ目の等号も示される.

定理1とtripartite恒等式, 前の記事 の系2より,
\begin{align} &\ro_r((w_1,\dots,w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\OO({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1})\\ &=\sum_{i=1}^r(r+1-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO(({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\rfloor_{w_{r+1}})\OO({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))\\ &=\sum_{i=1}^r(r+1-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\\ &\qquad\cdot(\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r}})\OO(w_{r+1})-\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}})\OO({}_{w_i}\lfloor w_{r+1}))\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))\\ &=\ro_r(w_1,\dots,w_r)\OO(w_{r+1})-\sum_{i=1}^{r+1}(r+1-i)\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})\OO({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_{r+1}})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_{r+1}))\\ &=\ro_r(w_1,\dots,w_r)\OO(w_{r+1})-\ro_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})+\oz(w_1,\dots,w_{r+1})\\ \end{align}
となって示すべき等式を得る.

定義から
\begin{align} \ami(\oz,\ro_s)(\bw)&=\sum_{\ba\bb\bc=\bw}\oz(\ba{}_{\bb}\lceil\bc)\ro_s(\bb\rfloor_{\bc})\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\bc=\varnothing}}\oz(\ba)\ro_s(\bb)\oz(\bc)+\sum_{\ba\bb d\bc=\bw}\oz(\ba)\ro_s(\bb\rfloor_d)\OO({}_{\bb}\lceil d)\oz(\bc) \end{align}
となる. ここで系2より,
\begin{align} \ro_s(\bb\rfloor_d)\OO({}_{\bb}\lceil d)&=\ro_s(\bb)\OO(d)-\ro_{s+1}(\bb,d)+\oz(\bb,d) \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} \ami(\oz,\ro_s)(\bw)&=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\bc=\varnothing}}\oz(\ba)\ro_s(\bb)\oz(\bc)+\sum_{\ba\bb d\bc=\bw}\oz(\ba)(\ro_s(\bb)\OO(d)-\ro_{s+1}(\bb,d)+\oz_{s+1}(\bb,d))\oz(\bc)\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw}}\oz(\ba)\ro_s(\bb)\oz(\bc)-\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw}}\oz(\ba)\ro_{s+1}(\bb)\oz(\bc)+\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\ell(\bb)=s+1}}\oz(\bw)\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw}}\oz(\ba)\ro_s(\bb)\oz(\bc)-\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw}}\oz(\ba)\ro_{s+1}(\bb)\oz(\bc)+r\oz(\bw)\\ \end{align}
となって示すべき等式を得る.

$\anti(\oz)=\oz$であることと, 系1, 系3より, $\bw$が長さ$r+s$のwordであるとき,
\begin{align} (1+\anti)(\ami(\oz,\ro_s))(\bw)&=\sum_{\ba\bb\bc=\bw}\oz(\ba)(1+\anti)(\ro_s)(\bb)\oz(\bc)-\sum_{\ba\bb\bc=\bw}\oz(\ba)(1+\anti)(\ro_{s+1})(\bb)\oz(\bc)+2r\oz(\bw)\\ &=(s+1)\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\ell(\bb)=s}}\oz(\bw)-(s+2)\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bw\\\ell(\bb)=s+1}}\oz(\bw)+2r\oz(\bw)\\ &=((s+1)(r+1)-(s+2)r+2r)\oz(\bw)\\ &=(r+s+1)\oz(\bw) \end{align}
となることから従う.

まず,
\begin{align} &\swap(\ami(\swap(A),\swap(B)))(w_1,\dots,w_r)\\ &=\ami(\swap(A),\swap(B))\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\\bb\neq 0}}\swap(A)(\ba{}_{\bb}\lceil\bc)\swap(B)(\bb\rfloor_{\bc})\\ &=\sum_{0\leq i< j\leq r}\swap(A)\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r\dots,v_{j+1}-v_{j+2},v_i-v_{j+1},v_{i-1}-v_i\dots,v_1-v_{2}\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+\cdots+u_{j+1},u_1+\cdots+u_i,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\ &\qquad\cdot\swap(B)\left(\begin{matrix}v_j-v_{j+1},\dots,v_{i+1}-v_{i+2}\\u_{i+1}+\cdots+u_j,\cdots,u_{i+1}+u_{i+2},u_{i+1}\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{0\leq i< j\leq r}A\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_i,u_{i+1}+\cdots+u_{j+1},u_{j+2},\dots,u_r\\v_1,\dots,v_i,v_{j+1},\dots,v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_j\\v_{i+1}-v_{j+1},\dots,v_j-v_{j+1}\end{matrix}\right)\\ &=\ami(A,B)(w_1,\dots,w_r) \end{align}
となるので1つ目の等式を得る. 次に,
\begin{align} &\swap(\anit(\swap(B))(\swap(A)))(w_1,\dots,w_r)\\ &=\anit(\swap(B))(\swap(A))\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\\ba,\bb\neq 0}}\swap(A)(\ba\rceil_{\bb}\bc)\swap(B)({}_{\bc}\lfloor\bb)\\ &=\sum_{0\leq i< j< r}\swap(A)\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r\dots,v_{j+2}-v_{j+3},v_{i+1}-v_{j+2},v_i-v_{i+1},v_{i-1}-v_i\dots,v_1-v_{2}\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+\cdots+u_{j+1},u_1+\cdots+u_i,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\ &\qquad\cdot\swap(B)\left(\begin{matrix}v_j-v_{j+1},\dots,v_{i+1}-v_{i+2}\\-u_{j+1},-u_j-u_{j+1},\dots,-u_{i+2}-\cdots-u_{j+1}\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{0\leq i< j< r}A\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_i,u_{i+1}+\dots+u_{j+1},u_{j+2},\dots,u_r\\v_1,\dots,v_{i+1},v_{j+2}\dots,v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}-u_{i+2}-\cdots-u_{j+1},u_{i+2},\dots,u_j\\v_{i+1}-v_{j+1},\dots,v_j-v_{j+1}\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{0\leq i< j< r}A\left((w_1\cdots w_{i+1})\rceil_{w_{i+2}\cdots w_{j+1}}w_{j+2}\cdots w_r\right)\push(B)\left({}_{w_1\cdots w_{i+1}}\lfloor(w_{i+2}\cdots w_j)\right)\\ &=\anit(\push(B))(A)(w_1,\dots,w_r) \end{align}
となるので2つ目の等式を得る.