Flexion unit6: GIFFとDIFF
前の記事
の記法を用いる. $\EE$をfalse unitとして, $\re_1:=\EE$, $\re_{r+1}:=\arit(\re_r)(\EE)$によって再帰的に定義する.
\begin{align}
\lu(A,B):=A\times B-B\times A
\end{align}
とする.
$\re$の性質
$r,s\geq 1$に対し,
\begin{align}
\arit(\re_r)(\re_s)&=s\re_{r+s}+\sum_{i=1}^{s-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})\\
\ari(\re_r,\re_s)&=(r-s)\re_{r+s}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
A(r,s)&:=\ari(\re_r,\re_s)-(r-s)\re_{r+s}\\
E(r,s)&:=\arit(\re_r)(\re_s)-s\re_{r+s}-\sum_{i=1}^{s-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})
\end{align}
とする. $\lu(A,B)=-\lu(B,A)$であるから,
\begin{align}
E(s,r)-E(r,s)&=\arit(\re_s)(\re_r)-r\re_{r+s}-\sum_{i=1}^{r-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})\\
&\qquad-\arit(\re_r)(\re_s)+s\re_{r+s}+\sum_{i=1}^{s-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})\\
&=\ari(\re_r,\re_s)-(r-s)\re_{r+s}-\lu(\re_r,\re_s)-\sum_{i=1}^{r-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})-\sum_{i=1}^{s-1}\lu(\re_{r+s-i},\re_i)\\
&=A(r,s)-\sum_{i=1}^{r+s-1}\lu(\re_i,\re_{r+s-i})\\
&=A(r,s)
\end{align}
の関係がある. $\re$の定義より, $E(r,1)=0$であることが分かる. 次に, $E(r,2)=0$を示す. つまり,
\begin{align}
\arit(\re_r)(\re_2)&=2\re_{r+2}+\lu(\EE,\re_{r+1})
\end{align}
を示す. 左辺は
\begin{align}
&\re_{r+2}(w_1,\dots,w_{r+2})\\
&=\re_{r+1}((w_1\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\re_{r+1}({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+2}))\\
&=(\re_{r}((w_1\cdots w_{r})\rfloor_{w_{r+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}\rfloor_{w_{r+2}})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\rfloor_{w_{r+2}})\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})))\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})\\
&\qquad-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})(\re_r((w_2\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor{}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE({}_{w_1}\lfloor w_2\rceil_{w_3\cdots w_{r+2}})\re_r({}_{w_2}\lfloor (w_3\cdots w_{r+2})))\\
\end{align}
と
\begin{align}
&\lu(\EE,\re_{r+1}))(w_1,\dots,w_{r+2})\\
&=\EE(w_1)\re_{r+1}(w_2,\dots,w_{r+2})-\re_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})\EE(w_{r+2})\\
&=\EE(w_1)(\re_{r}((w_2\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_2\rceil_{w_3\cdots w_{r+2}})\re_r({}_{w_2}\lfloor(w_3\cdots w_{r+2})))\\
&\qquad-(\re_{r}((w_1\cdots w_{r})\rfloor_{w_{r+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}})\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1})))\EE(w_{r+2})\\
\end{align}
より,
\begin{align}
&(2\re_{r+2}+\lu(\EE,\re_{r+1}))(w_1,\dots,w_{r+2})\\
&=(2\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE({}_{w_1\dots w_r}\lceil w_{r+1})\EE(w_{r+2}))\re_r((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\\
&\qquad-(2\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}})\EE(w_{r+2}))\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1}))\\
&\qquad-(2\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor{}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_1)\EE({}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2}))\re_r((w_2\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\\
&\qquad+(2\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor w_2\rceil_{w_3\dots w_{r+2}})-\EE(w_1)\EE(w_2\rceil_{w_3\cdots w_{r+2}}))\re_r({}_{w_2}\lfloor(w_3\cdots w_{r+2}))\\
&=(\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1}\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE({}_{w_1\dots w_r}\lceil w_{r+1}\rceil_{w_{r+2}})\EE({}_{w_{r+1}}\lfloor w_{r+2}))\re_r((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\\
&\qquad-(\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor w_{r+2}))\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1}))\\
&\qquad-(\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor{}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})-\EE(w_1\rfloor_{w_{r+2}})\EE({}_{w_1\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2}))\re_r((w_2\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\\
&\qquad+(\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+2}})\EE({}_{w_1}\lfloor w_2\rceil_{w_3\dots w_{r+2}})-\EE(w_1\rfloor _{w_2})\EE({}_{w_1}\lceil w_2\rceil_{w_3\cdots w_{r+2}}))\re_r({}_{w_2}\lfloor(w_3\cdots w_{r+2}))\\
&=\re_2({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1},w_{r+2})\re_r((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\\
&\qquad-\re_2(w_1,\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}}w_{r+2})\re_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1}))\\
&\qquad-\re_2(w_1,{}_{w_2\cdots w_{r+1}}\lceil w_{r+2})\re_r((w_2\cdots w_{r+1})\rfloor_{w_{r+2}})\\
&\qquad+\re_2(w_1,w_2\rceil_{w_3\cdots w_{r+2}})\re_r({}_{w_2}\lfloor(w_3\cdots w_{r+2}))\\
&=\arit(\re_r)(\re_2)
\end{align}
となる. よって, $E(r,2)=0$が示せた. 以下, $a+b< n$の場合に$E(a,b)=0$が成り立つと仮定して$r+s=n$に対して$E(r,s)=0$を示す. $a,b,c>1, a+b+c=n$とする. $n=3$のときは既に示せているので $n\geq 4$とする. このとき,
前の記事
の命題1より,
\begin{align}
0&=\arit(A(a,b))(\re_c)\\
&=\arit(\ari(\re_a,\re_b))(\re_c)-(a-b)\arit(\re_{a+b})(\re_c)\\
&=\arit(\re_b)(\arit(\re_a)(\re_c))-\arit(\re_a)(\arit(\re_b)(\re_c))-(a-b)\arit(\re_{a+b})(\re_c)\\
&=\arit(\re_b)\left(c\re_{a+c}+\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{a+c-i})\right)-\arit(\re_a)\left(c\re_{b+c}+\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{b+c-i})\right)-(a-b)\arit(\re_{a+b})(\re_c)\\
&=c\arit(\re_b)(\re_{a+c})-c\arit(\re_a)(\re_{b+c})-(a-b)\arit(\re_{a+b})(\re_c)\\
&\qquad+\arit(\re_b)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{a+c-i})\right)-\arit(\re_a)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{b+c-i})\right)\\
&=cE(b,a+c)-cE(a,b+c)-(a-b)E(a+b,c)\\
&\qquad+c\sum_{i=1}^{a+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})-c\sum_{i=1}^{b+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})-(a-b)\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})\\
&\qquad+\arit(\re_b)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{a+c-i})\right)-\arit(\re_a)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{b+c-i})\right)
\end{align}
ここで,
前の記事
の補題2より, $\arit(A)$は$\times$に関して導分であるから,
\begin{align}
&\arit(\re_b)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{a+c-i})\right)\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\arit(\re_b)(\re_i),\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\arit(\re_b)(\re_{a+c-i}))\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{b+i-j}),\re_{a+c-i}))\\
&\qquad+\sum_{i=1}^{c-1}(a+c-i)\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{a+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\arit(\re_b)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{a+c-i})\right)-\arit(\re_a)\left(\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{b+c-i})\right)\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{b+i-j}),\re_{a+c-i}))\\
&\qquad+\sum_{i=1}^{c-1}(a+c-i)\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{a+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&\qquad-\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{a+i},\re_{b+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{a+i-j}),\re_{b+c-i}))\\
&\qquad-\sum_{i=1}^{c-1}(b+c-i)\lu(\re_i,\re_{n-i})-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{b+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{a+i},\re_{b+c-i})+(a-b)\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})\\
&\qquad+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{b+i-j}),\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{a+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&\qquad-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{a+i-j}),\re_{b+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{b+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{a+i},\re_{b+c-i})\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}(c-i)\lu(\re_{a+c-i},\re_{b+i})\\
&=\sum_{i=1}^{c-1}i\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}(c-i)\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})\\
&=c\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})
\end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align}
0&=cE(b,a+c)-cE(a,b+c)-(a-b)E(a+b,c)\\
&\qquad+c\left(\sum_{i=1}^{a+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})-\sum_{i=1}^{b+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})\right)\\
&\qquad+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{b+i-j}),\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{a+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&\qquad-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{a+i-j}),\re_{b+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{b+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))
\end{align}
となる. ここで, 2行目の項は
\begin{align}
&\sum_{i=1}^{a+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})-\sum_{i=1}^{b+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\lu(\re_{b+i},\re_{a+c-i})\\
&=-\sum_{i=a+c}^{n-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=b+c}^{n-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})+\sum_{i=b+1}^{b+c-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})\\
&=\sum_{i=1}^{n-1}\lu(\re_i,\re_{n-i})\\
&=0
\end{align}
である. 続く項は
\begin{align}
&\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{b+i-j}),\re_{a+c-i})+\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{a+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&\qquad-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{i-1}\lu(\lu(\re_j,\re_{a+i-j}),\re_{b+c-i})-\sum_{i=1}^{c-1}\sum_{j=1}^{b+c-i-1}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_{n-i-j}))\\
&=\sum_{\substack{b< i,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\lu(\re_j,\re_i),\re_k)+\sum_{\substack{0< i< c,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&\qquad-\sum_{\substack{a< i,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\lu(\re_j,\re_i),\re_k)-\sum_{\substack{0< i< c,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=\sum_{\substack{b< i,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\left(\lu(\lu(\re_j,\re_i),\re_k)-\lu(\lu(\re_j,\re_k),\re_i)\right)\\
&\qquad+\sum_{\substack{0< i< c,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))-\sum_{\substack{0< i< c,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=\sum_{\substack{b< i,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\left(\lu(\lu(\re_j,\re_i),\re_k)-\lu(\lu(\re_j,\re_k),\re_i)\right)\\
&\qquad+\sum_{\substack{0< i< c,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))-\sum_{\substack{0< i< c,0< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=\sum_{\substack{b< i,1< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_j,\lu(\re_i,\re_k))+\sum_{\substack{0< i< c,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))-\sum_{\substack{1< i< c,1< j,a< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=-\sum_{\substack{0< i< c,a< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))+\sum_{\substack{0< i< c,0< j,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))+\sum_{\substack{0< i< c,a< j,0< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=\sum_{\substack{0< i< c,0< j\leq a,b< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))+\sum_{\substack{0< i< c,a< j,0< k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=\sum_{\substack{0< i< c,0< j,k\\i+j+k=n}}\lu(\re_i,\lu(\re_j,\re_k))\\
&=0
\end{align}
となるので,
\begin{align}
0&=cE(b,a+c)-cE(a,b+c)-(a-b)E(a+b,c)
\end{align}
が得られた. この等式において, $b=c=1$とすると
\begin{align}
E(1,n-1)=E(n-2,2)+(n-3)E(n-1,1)=0
\end{align}
を得る. 上の等式で$b=1,c=2$とすると,
\begin{align}
E(n-3,3)=E(1,n-1)-\frac{n-4}2E(n-2,2)=0
\end{align}
であり, $b=2,c=1$とすると,
\begin{align}
E(2,n-2)=E(n-3,3)+(n-5)E(n-1,1)=0
\end{align}
を得る. $b=1$とすれば,
\begin{align}
cE(a,c+1)=(a-1)E(a+1,c)
\end{align}
を得ることから, これを繰り返し用いることによって, $r\geq 3$に対する$E(r,s)=0$も従う. よって全ての$r+s=n$に対して$E(r,s)=0$であることが分かり, 示すべきことが得られた.
より簡潔な証明が得られるかどうかは考えてみる価値がありそうである.
$\GIFF$と$\DIFF$
$a_0=1$
\begin{align}
f(x)=\sum_{0\leq n}a_nx^{n+1}
\end{align}
の形の形式的べき級数全体が合成に関して群をなす.
結合則が成り立ち, 単位元$\mathrm{id}(x):=x$があることは明らかなので, 逆元があることを示せばよい.
\begin{align}
f(x)&=\sum_{0\leq n}a_nx^{n+1}\\
g(x)&=\sum_{0\leq n}b_nx^{n+1}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
(g\circ f)(x)&=\sum_{1\leq n}b_{n-1}\left(\sum_{0< m}a_{m-1}x^{m}\right)^{n}\\
&=\sum_{1\leq l}x^l\sum_{n=1}^lb_{n-1}\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_{n}\\m_1+\cdots+m_{n}=l}}a_{m_1-1}\cdots a_{m_{n}-1}
\end{align}
よって,
\begin{align}
\sum_{n=1}^lb_{n-1}\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_{n}\\m_1+\cdots+m_{n}=l}}a_{m_1-1}\cdots a_{m_{n}-1}=\delta_{l,1}
\end{align}
が成り立つように$b_1:=1$, $l\geq 2$に対して
\begin{align}
b_{l-1}:=-\sum_{n=1}^{l-1}b_{n-1}\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_{n}\\m_1+\cdots+m_{n}=l}}a_{m_1-1}\cdots a_{m_{n}-1}
\end{align}
によって再帰的に定めると$g$が$f$の逆元を与えること分かる.
このように$a_0=1$
\begin{align}
f(x)=\sum_{0\leq n}a_nx^{n+1}
\end{align}
の形の形式的べき級数全体が合成に関してなす群を$\GIFF$と表す. $f\in\GIFF$に対し, 係数を
\begin{align}
f(x)=\sum_{0\leq n}a_n^fx^{n+1}
\end{align}
と書く. 次に,
\begin{align}
D=\sum_{1\leq n}\varepsilon_nx^{n+1}\frac{d}{dx}
\end{align}
の形で表される微分作用素全体を$\DIFF$とする.
\begin{align}
[D_1,D_2]_{\diff}=D_2D_1-D_1D_2
\end{align}
とすると(これは通常の括弧積$[X,Y]=XY-YX$と符号が違うことに注意),
\begin{align}
\left[x^{r+1}\frac d{dx},x^{s+1}\frac{d}{dx}\right]_{\diff}=(r-s)x^{r+s+1}\frac{d}{dx}
\end{align}
であるから, $\DIFF$はこの括弧積に関して閉じている. よって, $\DIFF$はこの括弧積に関するLie代数である. このとき, $\DIFF$から$\GIFF$への写像$\expdiff$を(これはここだけの記号である)
\begin{align}
\expdiff(D):=\exp(D)x=\sum_{0\leq n}\frac{1}{n!}D^nx
\end{align}
とする.
$\exp(D)$は形式的べき級数環における準同型である. つまり,
\begin{align}
\exp(D)(fg)=\exp(D)(f)\exp(D)(g)
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
D(fg)=(Df)g+f(Dg)
\end{align}
であるから, これを繰り返し用いることにより,
\begin{align}
D^n(fg)=\sum_{k=0}^n\binom nk(D^kf)(D^{n-k}g)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\exp(D)(fg)&=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\sum_{k=0}^n(D^kf)(D^{n-k}g)\\
&=\sum_{0\leq k,l}\frac 1{k!l!}(D^kf)(D^lg)\\
&=\exp(D)(f)\exp(D)(g)
\end{align}
が成り立つ.
$[D]_{\diff}:=D, [D_1,\dots,D_n]_{\diff}:=[[D_1,\dots,D_{n-1}]_{\diff},D_n]_{\diff}$と書くことにする. このとき, 以下が成り立つ.
$s,t$は可換な形式的変数とする. $D,E\in \DIFF$に対し,
\begin{align}
&\expdiff(D)\circ \expdiff(E)\\
&=\expdiff\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{E\}^{r_1},\{D\}^{s_1},\dots,\{E\}^{r_n},\{D\}^{s_n}]_{\diff}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
が成り立つ.
補題3より,
\begin{align}
\exp(E)\exp(D)(x)&=\exp(E)(\expdiff(D)(x))\\
&=\expdiff(D)(\exp(E)x)\\
&=(\expdiff(D)\circ\expdiff(E))(x)
\end{align}
である. 一方,
前の記事
の定理8より
\begin{align}
&\exp(E)\exp(D)\\
&=\exp\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{D\}^{r_1},\{E\}^{s_1},\dots,\{D\}^{r_n},\{E\}^{s_n}]}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)\\
&=\exp\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{E\}^{s_n},\{D\}^{r_n},\dots,\{E\}^{s_1},\{D\}^{r_1}]_{\diff}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
となるので,
\begin{align}
&\expdiff(D)\circ \expdiff(E)\\
&=\expdiff\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{E\}^{r_1},\{D\}^{s_1},\dots,\{E\}^{r_n},\{D\}^{s_n}]_{\diff}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
を得る.
$D=\sum_{1\leq r}\varepsilon_r x^{r+1}\frac{d}{dx}\in\DIFF$に対し,
\begin{align}
\He (D):=\sum_{1\leq r}\varepsilon_r\re_r
\end{align}
で定める.
\begin{align}
\exp(D)(x)&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\left(\sum_{1\leq r}\varepsilon_rx^{r+1}\frac{d}{dx}\right)^{n}(x)\\
&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}\varepsilon_{r_1}\cdots \varepsilon_{r_n}x^{r_1+1}\frac{d}{dx}\cdots x^{r_n+1}\frac{d}{dx}x\\
&=\sum_{1\leq n}\frac 1{n!}\sum_{1\leq r_1,\dots,r_n}\varepsilon_{r_1}\cdots \varepsilon_{r_n}(r_2+\cdots+r_n+1)(r_{n-1}+r_n+1)(r_n+1)x^{r_1+\cdots+r_n+1}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
f(x)=\exp(D)(x)
\end{align}
となる$f\in\GIFF$の係数は
\begin{align}
a_m^f=\sum_{n=1}^m\frac 1{n!}\sum_{\substack{1\leq r_1,\dots,r_n\\r_1+\cdots+r_n=m}}\varepsilon_{r_1}\cdots \varepsilon_{r_n}(r_2+\cdots+r_n+1)(r_{n-1}+r_n+1)(r_n+1)
\end{align}
と表される. 逆に$f\in\GIFF$を与えたとき,
\begin{align}
\varepsilon_m=a_m^f-\sum_{n=2}^m\frac 1{n!}\sum_{\substack{1\leq r_1,\dots,r_n\\r_1+\cdots+r_n=m}}\varepsilon_{r_1}\cdots \varepsilon_{r_n}(r_2+\cdots+r_n+1)(r_{n-1}+r_n+1)(r_n+1)
\end{align}
によって再帰的に$\varepsilon_m$を定めると$f(x)=\expdiff(D)$となるような$D=\sum_{1\leq r}\varepsilon_r x^{r+1}\frac{d}{dx}\in\DIFF$が定まる. この$\varepsilon_n$を$\varepsilon_n^f$と書く.
\begin{align}
\Se(f):=\expari(\He(\expdiff^{-1}(f)))
\end{align}
とする. Lie代数$(\LU,\ari)$を$\mathrm{ARI}$と表し, 群$(\MU,\gari)$を$\mathrm{GARI}$と表すことにする. このとき, 以下が成り立つ.
$\He:\DIFF\to \mathrm{ARI}$はLie代数の準同型であり, $\Se:\GIFF\to \mathrm{GARI}$は群準同型である. つまり,
\begin{align}
\He([D,E]_{\diff})&=\ari(\He(D),\He(E))\\
\Se(f\circ g)&=\gari(\Se(f),\Se(g))
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の等式は定理1より,
\begin{align}
\He\left(\left[x^{r+1}\frac d{dx},x^{s+1}\frac{d}{dx}\right]_{\diff}\right)&=(r-s)\He\left(x^{r+s+1}\frac{d}{dx}\right)\\
&=(r-s)\re_{r+s}\\
&=\ari(\re_r,\re_s)\\
&=\ari\left(\He\left(x^{r+1}\frac d{dx}\right),\He\left(x^{s+1}\frac{d}{dx}\right)\right)
\end{align}
であることから分かる. 次に,
\begin{align}
f&=\expdiff(D)\\
g&=\expdiff(E)
\end{align}
となるような$D,E\in\DIFF$をとる. このとき, 命題4より
\begin{align}
f\circ g=\expdiff\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{E\}^{r_1},\{D\}^{s_1},\dots,\{E\}^{r_n},\{D\}^{s_n}]_{\diff}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)
\end{align}
である. よって,
前の記事
の系3より,
\begin{align}
&\Se(f\circ g) \\
&=\expari\left(\He\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}[\{E\}^{r_1},\{D\}^{s_1},\dots,\{E\}^{r_n},\{D\}^{s_n}]_{\diff}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)\right)\\
&=\expari\left(\sum_{0< n}\frac{(-1)^n}n\sum_{0< r_1+s_1,\dots,r_n+s_n}\frac{(-1)^{r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n}\ari(\{\He(E)\}^{r_1},\{\He(D)\}^{s_1},\dots,\{\He(E)\}^{r_n},\{\He(D)\}^{s_n})}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!(r_1+s_1+\cdots+r_n+s_n)}\right)\\
&=\gari(\expari(\He(D)),\expari(\He(E)))\\
&=\gari(\Se(f),\Se(g))
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
$f\in\GIFF$に対し, $\Se(f)$はsymmetralである.
