Flexion unit18: reとesの関係
前の記事 の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
$\me$と$\ne$
前の記事
で, $\re_r$を$\re_1:=\EE, \re_{r+1}:=\arit(\re_r)(\EE)$によって再帰的に定義した. Ecalleの論文においては, その類似として, $\me_1:=\ne_1:=\EE, \me_{r+1}:=\amit(\me_r)(\EE),\ne_{r+1}:=\anit(\ne_r)(\EE)$によって再帰的に$\me_r,\ne_r$が定義されている. この定義は
\begin{align}
\me_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})&=\me_r((w_1\cdots w_r)\rfloor_{w_{r+1}})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lceil w_{r+1})\\
\ne_{r+1}(w_1,\dots,w_{r+1})&=\EE(w_1\rceil_{w_2\cdots w_{r+1}})\ne_r({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_{r+1}))
\end{align}
これに従って計算すると,
\begin{align}
\me_r(w_1,\dots,w_r)&=\ez\left(\begin{matrix}u_1,u_1+u_2,\dots,u_1+\cdots+u_r\\v_1-v_2,\dots,v_{r-1}-v_r,v_r\end{matrix}\right)\\
\ne_r(w_1,\dots,w_r)&=\ez\left(\begin{matrix}u_1+\cdots+u_r,\dots,u_{r-1}+u_r,u_r\\v_1,v_2-v_1,\dots,v_r-v_{r-1}\end{matrix}\right)
\end{align}
となる. これらはそれぞれ,
\begin{align}
\me_r(w_1,\dots,w_r)&=\es(w_1,\dots,w_r)\\
\ne_r(w_1,\dots,w_r)&=\es(w_r,\dots,w_1)
\end{align}
と表すことができる. よって, $\me_r,\ne_r$はそれぞれ$\es,\anti(\es)$の長さ$r$部分であることが分かった. よって, 以下$\es_r$を$\es$の長さ$r$部分として, 主にそれを用いることにする.
$\re$と$\es$の関係
\begin{align}
\re_{>r}&:=\sum_{r< s}\re_s\\
\re&:=\re_{>0}
\end{align}
とする.
\begin{align}
\re=\invmu(\es)\times\der(\es)
\end{align}
が成り立つ.
これはEcalleの論文においては$\me_0:=\ne_0:=1$として,
\begin{align}
\re_r=\sum_{\substack{0\leq a,b\\a+b=r}}(-1)^ab\,\ne_a\times\me_b
\end{align}
という形で書かれているものであるが, $\invmu(\es)=\pari(\anti(\es))$であるから, その長さ$r$部分が$(-1)^r\ne_r$となることにより, 同じ式であることが分かる.
\begin{align}
\psi_{A,B}(w_1,\dots,w_r)&:=\sum_{i=1}^rA((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i}){}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r}B({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
とする.
前の記事
の定理1から,
\begin{align}
\ro_r(w_1,\dots,w_r)=\OO(\psi_{\oz,(\der+1)(\oz)}(w_1,\dots,w_r))
\end{align}
と表される.
前の記事
の命題3の証明における式から,
\begin{align}
\swap(\psi_{A,B})(w_1,\dots,w_r)&=\sum_{j=1}^r\left(v_1\atop u_1+\cdots+u_j\right)\push(\swap(B))({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_j))\swap(A)(w_{j+1},\cdots,w_r)
\end{align}
であるから, これを$A=\oz,B=(\der+1)(\oz)$に対して適用すると,
\begin{align}
\re_r(w_1,\dots,w_r)&=\sum_{j=1}^rj\EE\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_j}\right)\push(\es)({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_j))\es(w_{j+1},\dots,w_r)
\end{align}
となる. ここで,
前の記事
の命題2の後に見たように,
\begin{align}
\push(\es)=\invmu(\es)=\pari(\anti(\es))
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
\re_r(w_1,\dots,w_r)&=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}j\es((w_j\cdots w_2)\rfloor_{w_1})\EE\left({}_{w_j\cdots w_2}\lceil w_1\right)\es(w_{j+1},\dots,w_r)\\
&=\sum_{j=1}^r(-1)^{j-1}j\es(w_j,\dots,w_1)\es(w_{j+1},\dots,w_r)\\
&=-(\der(\invmu(\es))\times\es)(w_1,\dots,w_r)
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\re=-\der(\invmu(\es))\times\es
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
0&=\der(\invmu(\es)\times \es)\\
&=\der(\invmu(\es))\times \es+\invmu(\es)\times\der(\es)
\end{align}
であることから,
\begin{align}
\re=\invmu(\es)\times\der(\es)
\end{align}
と書き換えられる.
$r\geq 1$に対し,
\begin{align}
\arit(\re_r)(\es)=\es\times\re_{>r}
\end{align}
が成り立つ.
この等式はEcalleの論文において
\begin{align}
\arit(\re_r)(\me_s)=\sum_{1\leq j}\sum_{\substack{s\leq r_1, 1\leq r_2,\dots,r_j\\r_1+\cdots+r_j=r+s}}(-1)^{j-1}r_j\me_{r_1}\times\cdots\times\me_{r_j}
\end{align}
という形で書かれているものと同値である. それは$\invmu(\es)$の長さ$r$部分が
\begin{align}
\sum_{0\leq j}\sum_{\substack{1\leq r_1,\dots,r_j\\r_1+\cdots+r_j=r}}(-1)^j\me_{r_1}\times\cdots\times\me_{r_j}
\end{align}
と表されることから, 命題1を用いて,
\begin{align}
&\sum_{1\leq j}\sum_{\substack{s\leq r_1, 1\leq r_2,\dots,r_j\\r_1+\cdots+r_j=r+s}}(-1)^{j-1}r_j\me_{r_1}\times\cdots\times\me_{r_j}\\
&=-\sum_{1\leq j}\sum_{\substack{0\leq r_1, 1\leq r_2,\dots,r_j\\r_1+\cdots+r_j=r+s}}(-1)^{j}r_j\me_{r_1}\times\cdots\times\me_{r_j}+\sum_{1\leq j}\sum_{\substack{0\leq r_1< s, 1\leq r_2,\dots,r_j\\r_1+\cdots+r_j=r+s}}(-1)^{j}r_j\me_{r_1}\times\cdots\times\me_{r_j}\\
&=\leng_{r+s}(\der(\es)-\es\times\re+\es\times\re_{>r})\\
&=\leng_{r+s}(\es\times\re_{>r})
\end{align}
となることから分かる. ここで, $\leng_r(A)$は$A$の長さ$r$部分を表す.
まず,
前の記事
の系3の右辺は
\begin{align}
&\preami(\oz_r,\ro_s)+\anti(\amit(\ro_s)(\oz_r)+\oz_r\times\ro_s)\\
&=\preami(\oz_r,\ro_s)+\anit(\anti(\ro_s))(\oz_r)+\anti(\ro_s)\times\oz
\end{align}
となる. ここで, 同じ記事の系1を用いると, これはさらに
\begin{align}
\preira(\oz_r,\ro_s)+(s+1)\oz_{r+s}-\ro_s\times\oz_r
\end{align}
と書き換えられる. よって,
前の記事
の系3は
\begin{align}
\preira(\oz_r,\ro_s)-\ro_s\times\oz_r=r\oz_{r+s}
\end{align}
と書き換えられる. $r,s$を入れ替えて,
\begin{align}
\preira(\oz_s,\ro_r)-\ro_r\times\oz_s=s\oz_{r+s}
\end{align}
である. 次に, 同じ記事の系2の両辺に$\oz_{s-1}$を掛けると,
\begin{align}
\ro_r\times\oz_s-\ro_{r+1}\times\oz_{s-1}=\swamu(\oz_s,\ro_r)-\oz_{r+s}
\end{align}
を得る. これを$(r,s)$を$(r+i,s-i)$にしたものを$i=0$から$s-1$まで足し合わせると,
\begin{align}
\ro_{r}\times\oz_s-\ro_{r+s}=\sum_{i=0}^{s-1}\swamu(\oz_{s-i},\ro_{r+i})-s\oz_{r+s}
\end{align}
となる. これは
\begin{align}
\ro_r\times\oz_s=\sum_{i=0}^{s}\swamu(\oz_{s-i},\ro_{r+i})-s\oz_{r+s}
\end{align}
と書き換えられる. これを先ほどの式に代入すると,
\begin{align}
\preira(\oz_s,\ro_r)=\sum_{i=0}^{s}\swamu(\oz_{s-i},\ro_{r+i})
\end{align}
となる. 両辺の$\swap$を考えると,
\begin{align}
\preari(\es_s,\re_r)=\sum_{i=0}^s\es_{s-i}\times\re_{r+i}
\end{align}
つまり
\begin{align}
\arit(\re_r)(\es_s)=\sum_{i=1}^s\es_{s-i}\times\re_{r+i}
\end{align}
が得られる. これを足し合わせると,
\begin{align}
\arit(\re_r)(\es)=\es\times\re_{>r}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
逆に$\es$を$\re$で表す等式は以下のようになる.
\begin{align} \es=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\frac 1{n_1(n_1+n_2)\cdots(n_1+\cdots+n_r)}\re_{n_1}\times\cdots\times\re_{n_r} \end{align}
命題1を書きかえると,
\begin{align}
\der(\es)=\es\times\re
\end{align}
である. 一方, 示すべき等式の右辺を$A$とすると, 全く同じ関係式
\begin{align}
\der(A)=A\times \re
\end{align}
を満たす. これは$A$をより小さい長さの$A$で表す関係式になっていることから, 長さに関する帰納法により, 示すべき等式を得る.
命題1, 命題2を組み合わせると, 前の記事 の定理1に簡潔な証明を与えることができる.
$r,s\geq 1$に対し,
\begin{align}
\arit(\re_r)(\re_s)=s\re_{r+s}+\sum_{i=1}^s\lu(\re_i,\re_{r+s-i})
\end{align}
が成り立つ.
$\arit(B)$は$\times$に関する導分であるから,
\begin{align}
\arit(B)(\invmu(A))=-\invmu(A)\times\arit(B)(A)\times\invmu(A)
\end{align}
となる. また,
\begin{align}
\der(\arit(B)(A))=\arit(\der(B))(A)+\arit(B)(\der(A))
\end{align}
である. これらを用いると, 命題1, 命題2から
\begin{align}
&\arit(\re_r)(\re)\\
&=\arit(\re_r)(\invmu(\es)\times\der(\es))\\
&=-\invmu(\es)\times\arit(\re_r)(\es)\times\invmu(\es)\times\der(\es)\\
&\qquad+\invmu(\es)\times(\der(\arit(\re_r)(\es))-\arit(\der(\re_r))(\es))\\
&=-\re_{>r}\times\re+\invmu(\es)\times(\der-r)(\es\times\re_{>r})\\
&=-\re_{>r}\times\re+\re\times\re_{>r}+(\der-r)(\re_{>r})\\
&=(\der-r)(\re_{>r})+\lu(\re,\re_{>r})
\end{align}
を得る. 両辺の長さ$r+s$の部分を取り出すと示すべき等式が得られる.
