Flexion unit15: GARIの部分群
前の記事 の記法を用いる.
$\exp_{\times}$と$\log_{\times}$
$A$の$\times$に関する$n$乗を$A^{\times n}$として,
\begin{align}
\exp_{\times}(A)&:=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}A^{\times n}\qquad A\in\LU\\
\log_{\times}(A)&:=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-1)^{\times n}\qquad A\in\MU
\end{align}
とする. $\times$は結合的であるから, これらは互いに逆写像になっている.
$A$を自然数の組を引数とするmould,$B_1,B_2,\dots$をbimouldとする. 任意の$B_n$がalternalであるとき,
\begin{align}
C:=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}A(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots \times B_{n_r}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
C(\bx\sh\by)&=\sum_{\substack{0\leq r,s\\1\leq n_1,\dots,n_r\\1\leq m_1,\dots,m_s}}A((n_1,\dots,n_r)\sh(m_1,\dots,m_s))\\
&\qquad\cdot(B_{n_1}\times\cdots \times B_{n_r})(\bx)(B_{m_1}\times\cdots\times B_{m_s})(\by)
\end{align}
が成り立つ. 特に, $A$がalternalであるとき, $C$はalternalであり, $A$がsymmetralであるとき, $C$はsymmetralである.
前の記事 の定理5と全く同様の議論により示される.
$B\in\LU$がalternalであることと, $\exp_{\times}(B)$がsymmetralであることは同値である.
命題1において, $A(n_1,\dots,n_r):=\frac 1{r!}, B_1=B, B_i=0,i\geq 2$とすれば, $A$はsymmetralであるから, $B$がalternalであるとき,
\begin{align}
\exp_{\times}(B)=\sum_{0\leq r}\frac 1{r!}B^{\times r}
\end{align}
はsymmetralである. 逆に, $\exp_{\times}(B)$がsymmetralであるとき, $\bx,\by\neq\varnothing$のとき, $\ell(\bx)+\ell(\by)< r$まで
\begin{align}
B(\bx\sh\by)=0
\end{align}
が成り立つと仮定すると, $\bx,\by\neq\varnothing, \ell(\bx)+\ell(\by)=r$となるようなものに対し, 命題1と全く同様に
\begin{align}
\exp_{\times}(B)(\bx\sh\by)&=B(\bx\sh\by)+\exp_{\times}(B)(\bx)\exp_{\times}(B)(\by)
\end{align}
が成り立つことが示せる. よって, $B(\bx\sh\by)=0$が得られる.
系1は$\exp_{\times}$だけで表したが, $\log_{\times}$で言い換えると, $B\in\MU$がsymmetralであることと$\log_{\times}(B)$がalternalであることは同値である.
$\GARI$の部分群
前の記事
で, $\GARI$の$\gantar$不変な元全体$\GARI_{\gantar}$は$\GARI$の部分群になっていることを示した. 定義から,
\begin{align}
\neg(\gari(A,B))=\gari(\neg(A),\neg(B))
\end{align}
であることも分かるので, $\GARI$の$\neg$不変な元全体$\GARI_{\neg}$も$\GARI$の部分群になっている.
\begin{align}
\gush:=\neg\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar\circ\swap
\end{align}
とする. 定義から
\begin{align}
\gush&=\neg\circ\invmu\circ\pari\circ\anti\circ\swap\circ\invmu\circ\pari\circ\anti\circ\swap\\
&=\neg\circ\invmu\circ\anti\circ\swap\circ\invmu\circ\anti\circ\swap\\
&=\invmu\circ\neg\circ\anti\circ\swap\circ\anti\circ\invmu\circ\swap\\
&=\invmu\circ\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap
\end{align}
と書き換えられる. これを用いると, $\girat$を
\begin{align}
\girat(A)&=\gaxit(A,\invmu(\gush(A)))
\end{align}
と表すことができる. 特に以下が成り立つことが分かる.
$B\in\MU$が$\gush$不変であるとき,
\begin{align}
\gira(A,B)&=\gari(A,B)
\end{align}
である.
\begin{align}
\gush&=\invmu\circ\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap
\end{align}
から, $\swap\circ\push=\push^{-1}\circ\swap$を用いると,
\begin{align}
\swap\circ\gush\circ \swap&=\swap\circ\invmu\circ\swap\circ\push^{-1}\circ\invmu\\
&=\gush^{-1}
\end{align}
を得る. つまり, $A$が$\gush$不変ならば$\swap(A)$も$\gush$不変である.
$B,C\in\MU$に対し,
\begin{align}
&\gantar\circ\gaxit(B,C)\\
&=\gaxit(\invmu(\gantar(C)),\invmu(\gantar(B)))\circ\gantar
\end{align}
が成り立つ.
前の記事 の命題3と全く同様に示される.
$A,B\in\MU$に対し,
\begin{align}
\gush(\gira(A,B))&=\girat(B)(\gush(A))\times\gush(B)
\end{align}
が成り立つ.
補題3と
前の記事
の命題3より,
\begin{align}
&\gush(\gira(A,B))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar\circ\swap)(\gira(A,B))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar)(\gari(\swap(A),\swap(B)))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap)(\gari((\gantar\circ\swap)(A),(\gantar\circ\swap)(B)))\\
&=(\neg\circ\gantar)(\gira((\swap\circ\gantar\circ\swap)(A),(\swap\circ\gantar\circ\swap)(B)))\\
&=(\neg\circ\gantar)(\girat((\swap\circ\gantar\circ\swap)(B))(\swap\circ\gantar\circ\swap)(A))\times(\swap\circ\gantar\circ\swap)(B))\\
&=\gaxit((\neg\circ\invmu\circ\gantar\circ\invmu\circ\gush\circ\swap\circ\gantar\circ\swap)(B),(\invmu\circ\gush)(B))(\gush(A))\times \gush(B)
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\neg\circ\invmu\circ\gantar\circ\invmu\circ\gush\circ\swap\circ\gantar\circ\swap\\
&=\neg\circ\invmu\circ\gantar\circ\invmu\circ\neg\circ\gantar\\
&=1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\gush(\gira(A,B))&=\girat(B)(\gush(A))\times \gush(B)
\end{align}
を得る.
$\GARI$の$\gush$不変な元全体を$\GARI_{\gush}$とする. このとき, 以下が成り立つ.
$\GARI_{\gush}$は$\GARI$の部分群である.
命題2,命題4より, $A,B\in\GARI_{\gush}$のとき, $\gari(A,B)\in\GARI_{\gush}$である.
$A\in\GARI$が$\gus$-neutralであるとは, $\log_{\times}(A)$が$\pus$-neutralであることとする. $\GARI$の$\gus$-neutralな元全体を$\GARI_\gusnu$とする. 命題2から,$A$がsymmetralならば$\log_{\times}(A)$はalternalなので$\pus$-neutralであるから,$A$が$\gus$-neutralになることが分かる.
$A$を自然数の組を引数とするmould,$B_1,B_2,\dots$をbimouldとする. $A$と任意の$B_n$が$\pus$-neutralであるとき,
\begin{align}
C:=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}A(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots \times B_{n_r}
\end{align}
とすると, $C$は$\pus$-neutralである.
\begin{align}
&\sum_{i=1}^s(B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r})(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^s\sum_{\ba_1\cdots \ba_r=(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)}B_{n_1}(\ba_1)\cdots B_{n_r}(\ba_r)
\end{align}
ここで, ある$1\leq i\leq r$があって,
\begin{align}
\ba_1\cdots \ba_r=(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)
\end{align}
となるような分割$(\ba_1,\dots,\ba_r)$に対して
\begin{align}
(\ba_1,\dots,\ba_r)\sim(\ba_2,\dots,\ba_r,\ba_1)
\end{align}
による同値類を$[\ba_1,\dots,\ba_r]$と書くことにすると, 上の和は
\begin{align}
&\sum_{i=1}^s(B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r})(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{[\ba_1\cdots \ba_r]}\sum_{i=1}^rB_{n_{i+1}}(\ba_1)\cdots B_{n_r}(\ba_{r-i})B_{n_1}(\ba_{r-i+1})\cdots B_{n_i}(\ba_r)
\end{align}
と書き換えられる. よって, 全体を足し合わせると$n_1,\dots,n_r$の添字を$\ba_1,\dots,\ba_r$に合うように付け替えることによって,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^sC(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\sum_{[\ba_1\cdots \ba_r]}B_{n_1}(\ba_1)\cdots B_{n_r}(\ba_r)\sum_{i=1}^rA(n_{i+1},\dots,n_r,n_1,\dots,n_i)
\end{align}
となる. $A$は$\pus$-neutralだから, $A$の長さ1の部分だけが残り, それは$s\geq 2$のとき,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^sC(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{1\leq n}A(n)\sum_{i=1}^sB_n(w_{i+1},\dots,w_s,w_1,\dots,w_i)\\
&=0
\end{align}
となる. 最後の等号は任意の$B_n$が$\pus$-neutralであることによる.
$A\in\LU$が$A\in\ARI_{\pusnu}$であることと, $\expari(A)\in\GARI_{\gusnu}$であることは同値である.
\begin{align}
C_1=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}A_1(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r}\\
C_2=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}A_2(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r}
\end{align}
のとき,
\begin{align}
C_1\times C_2&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(A_1\times A_2)(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r}
\end{align}
と表されることに着目すると,
\begin{align}
&\log_{\times}\left(\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}A(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r}\right)\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\log_{\times}(A)(n_1,\dots,n_r)B_{n_1}\times\cdots\times B_{n_r}
\end{align}
となることが分かる. よって,
前の記事
の補題4を用いると, $A_n:=\arit(A)^{n-1}(A)$として,
\begin{align}
\log_{\times}(\expari(A))=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\log_{\times}(\Ex)(n_1,\dots,n_r) A_{n_1}\times\cdots \times A_{n_r}
\end{align}
と表される. $\Ex$はsymmetralであるから, $\log_{\times}(\Ex)$はalternalである. よって, $\log_{\times}(\Ex)$は$\pus$-neutralである.
前の記事
の命題5を繰り返し用いると, 任意の$A_n$は$\pus$-neutralであることが分かるから, $\log_{\times}(\expari(A))$は$\pus$-neutralである. よって, $\expari(A)$は$\gus$-neutralである. この議論を逆にたどって長さに関する帰納法を用いることによって, 逆も示される.
命題6と, $\ARI_{\pusnu}$が$\ARI$の部分Lie代数であることから, 以下を得る.
$\GARI_{\gusnu}$は$\GARI$の部分群である.
$\GARI_{\asas}$の性質
$\GARI_{\asas}$の元は$\neg$不変である.
$\GARI_{\asas}$の元は$\gush$不変である.
$A\in\GARI_{\asas}$とすると, $A,\swap(A)$は$\gantar$不変であるから,
\begin{align}
\gush(A)&=(\neg\circ\swap\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar)(A)\\
&=(\neg\circ\swap\circ\gantar\circ\swap)(A)\\
&=\neg(A)
\end{align}
となる. 命題7より$\neg(A)=A$であるから, 示すべきことが得られる.
$\GARI_{\asas}$は$\GARI$の部分群である.
$A,B\in\GARI_{\asas}$とするとき, $\gari(A,B)\in\GARI_{\as}$であることは良い.
\begin{align}
\swap(\gari(A,B))&=\gira(\swap(A),\swap(B))
\end{align}
であり, 命題8より, $B$は$\gush$不変であるから, $\swap(B)$も$\gush$不変である. よって, 命題2より
\begin{align}
\swap(\gari(A,B))&=\gari(\swap(A),\swap(B))\in\GARI_{\as}
\end{align}
である. $\gari(A,B)$の長さ1部分は$A+B$の長さ1部分に等しいから, $\neg$不変である. よって, $\gari(A,B)\in\GARI_{\asas}$である.
命題9は$\ARI_{\alal}$がLie代数となることと, $\GARI_{\asas}=\expari(\ARI_{\alal})$となることが既に示せていたので, それを用いても示すことができる.
Lie代数との関係
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\gantar(\expari(A))=\expari(\mantar(A))
\end{align}
が成り立つ. 特に$\expari(\ARI_{\mantar})=\GARI_{\gantar}$である.
前の記事
の補題4を用いる. $A_n:=\arit(A)^{n-1}(A)$として, $\Ex$はsymmetralであるから,
\begin{align}
\invmu(\expari(A))&=\invmu\left(\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\right)\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}\invmu(\Ex)(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(-1)^r\Ex(n_r,\dots,n_1)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(-1)^r\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_r}\times\cdots\times A_{n_1}
\end{align}
となる. 一方, $\anti\circ\arit(A)=-\arit(A)\circ \anti$であるから,
\begin{align}
\anti(\expari(-A))&=\anti\left(\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(-1)^{n_1+\cdots+n_r}\Ex(n_1,\dots,n_r)A_{n_1}\times\cdots\times A_{n_r}\right)\\
&=\sum_{\substack{0\leq r\\1\leq n_1,\dots,n_r}}(-1)^r\Ex(n_1,\dots,n_r)(\anti(A))_{n_r}\times\cdots\times (\anti(A))_{n_1}
\end{align}
となる. よって, これらを比較して,
\begin{align}
\invmu(\expari(A))=\anti(\expari(-\anti(A)))
\end{align}
となる. $\expari$は$\pari$と可換であるから,
\begin{align}
\gantar(\expari(A))&=(\pari\circ\anti\circ\invmu)(\expari(A))\\
&=\expari(-(\pari\circ\anti)(A))\\
&=\expari(\mantar(A))
\end{align}
を得る.
$\expari(\ARI_{\push})=\GARI_{\gush}$が成り立つ.
$A\in\ARI_{\push}$とするとき, $\swap(\expari(A))=\expari(\swap(A))$であるから,
\begin{align}
&\gush(\expari(A))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar\circ\swap)(\expari(A))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap\circ\gantar)(\expari(\swap(A)))\\
&=(\neg\circ\gantar\circ\swap)(\expari((\mantar\circ\swap)(A)))
\end{align}
である. ここで, $\mantar\circ\push\circ\mantar=\push^{-1}$であることから, $(\mantar\circ\swap)(A)$も$\push$不変であるから,
\begin{align}
&\gush(\expari(A))\\
&=(\neg\circ\gantar)(\expari((\swap\circ\mantar\circ\swap)(A)))\\
&=\expari(\push(A))\\
&=\expari(A)
\end{align}
となる. 逆に, $\expari(A)$が$\gush$不変であるとき, 長さ$r-1$まで$A$が$\push$不変であるとすると, 上と全く同様の議論により, 長さ$r$において$\gush(\expari(A))$と$\expari(\push(A))$が等しいことが示せる. よって, 長さに関する帰納法により$A$は$\push$不変である.
他のLie代数との対応として, $\expari(\ARI_{\neg})=\GARI_{\neg}$であることは$\neg$と$\expari$が可換であることから分かり, $\expari(\ARI_{\pusnu})=\GARI_{\gusnu}$であることは命題6で既に示した.
