Flexion unit13: E-pushの性質
前の記事 の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
$\swamu$と$\answamu$
\begin{align}
\swamu(A,B)&:=\swap(\swap(A)\times \swap(B))\\
\answamu(A,B)&:=\anti(\swamu(\anti(A),\anti(B)))
\end{align}
とする. 次が成り立つ.
\begin{align}
\swamu(A,B)(\bw)&=\sum_{\ba\bb=\bw}B(\ba\rfloor_{\bb})A({}_{\ba}\lceil\bb)\\
\answamu(A,B)(\bw)&=\sum_{\ba\bb=\bw}A(\ba\rceil_{\bb})B({}_{\ba}\lfloor\bb)\\
\swamu(A\times B,C)&=\swamu(A,C)\times B\qquad \text{if}\,\,A\in\LU\\
\answamu(A\times B,C)&=A\times \answamu(B,C)\qquad \text{if}\,\,B\in\LU\\
\swamu(\answamu(A,B),C)&=\answamu(\swamu(A,C),B)\qquad \text{if}\,\,A\in\LU
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の等式は, 定義から,
\begin{align}
&\swamu(A,B)(w_1,\dots,w_r)\\
&=(\swap(A)\times\swap(B))\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\
&=\sum_{i=0}^r\swap(A)\left(\begin{matrix}v_r,v_{r-1}-v_r,\dots,v_{i+1}-v_{i+2}\\u_1+\cdots+u_r,\dots,u_1+\cdots+u_{i+1}\end{matrix}\right)\swap(B)\left(\begin{matrix}v_i-v_{i+1},\dots,v_1-v_2\\u_1+\cdots+u_i,\dots,u_1+u_2,u_1\end{matrix}\right)\\
&=\sum_{i=0}^rA\left(\begin{matrix}u_1+\cdots+u_{i+1},u_{i+2},\dots,u_r\\v_{i+1},\dots,v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_i\\v_1-v_{i+1},\dots,v_i-v_{i+1}\end{matrix}\right)\\
&=\sum_{\ba\bb=(w_1,\dots,w_r)}B(\ba\rfloor_{\bb})A({}_{\ba}\lceil\bb)
\end{align}
と示される. 2つ目の等式は$\overleftarrow{(w_1,\dots,w_r)}:=(w_r,\dots,w_1)$と書くことにすると,
\begin{align}
&\answamu(A,B)(\bw)\\
&=\swamu(\anti(A),\anti(B))(\overleftarrow{\bw})\\
&=\sum_{\ba\bb=\overleftarrow{\bw}}\anti(B)(\ba\rfloor{}_{\bb})\anti(A)({}_{\ba}\lceil\bb)\\
&=\sum_{\overleftarrow{\bb}\overleftarrow{\ba}=\bw}B({}_{\overleftarrow{\bb}}\lfloor\overleftarrow{\ba})A(\overleftarrow{\bb}\rceil{}_{\overleftarrow{\ba}})\\
&=\sum_{\ba\bb=\bw}A(\ba\rceil_{\bb})B({}_{\ba}\lfloor\bb)
\end{align}
と示される. これらを用いると, 後半の等式は
\begin{align}
\swamu(A\times B,C)(\bw)&=\sum_{\ba\bd=\bw}C(\ba\rfloor{}_{\bd})(A\times B)({}_{\ba}\lceil\bd)\\
&=\sum_{\ba\bb\bc=\bw}C(\ba\rfloor{}_{\bb})A({}_{\ba}\lceil\bb)B(\bc)\qquad \text{if}\,\,A\in\LU\\
&=(\swamu(A,C)\times B)(\bw)\\
\answamu(A\times B,C)(\bw)&=\sum_{\bd\bc=\bw}(A\times B)(\bd\rceil_{\bc})C({}_{\bd}\lceil\bc)\\
&=\sum_{\ba\bb\bc=\bw}A(\ba)B(\bb\rceil_{\bc})C({}_{\bb}\lceil\ba)\qquad \text{if}\,\,B\in\LU\\
&=(A\times\answamu(B,C))(\bw)\\
\swamu(\answamu(A,B),C)(\bw)&=\sum_{\ba\bd=\bw}C(\ba\rfloor{}_{\bd})\answamu(A,B)({}_{\ba}\lceil\bd)\\
&=\sum_{\ba\bb\bc=\bw}C(\ba\rfloor{}_{\bb})A({}_{\ba}\lceil\bb\rceil_{\bc})B({}_{\bb}\lfloor\bc)\qquad \text{if}\,\,A\in\LU\\
&=\sum_{\bd\bc=\bw}\swamu(A,C)(\bd\rceil{}_{\bc})B({}_{\bd}\lfloor\bc)\qquad \text{if}\,\,A\in\LU\\
&=\answamu(\swamu(A,C),B)(\bw)
\end{align}
と示される.
\begin{align}
\push(\swamu(A,B))&=\answamu(\push(B),\push(A))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\neg\circ\push=\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\push(\swamu(A,B))&=(\neg\circ\anti\circ\swap\circ\anti)(\swap(A)\times\swap(B)))\\
&=(\anti\circ\swap)((\neg\circ\anti\circ\swap)(B)\times(\neg\circ\anti\circ\swap)(A))\\
&=(\anti\circ\swap)((\swap\circ\anti\circ\push)(B)\times(\swap\circ\anti\circ\push)(A))\\
&=\answamu(\push(B),\push(A))
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
$\gantar$の性質
$\gantar:=\invmu\circ\pari\circ\anti$とする. $A$がsymmetralであるとき, シャッフルantipode関係式は
\begin{align}
A\times \pari(\anti(A))=1
\end{align}
と表される. よって, $A=\invmu(\pari(\anti(A)))=\gantar(A)$となる. つまり, symmetralならば$\gantar$不変である.
$A,B\in\GARI$に対し,
\begin{align}
\gantar(A\times B)&=\gantar(A)\times \gantar(B)\\
\gantar(\garit(B)(A))&=\garit(\gantar(B))(\gantar(A))\\
\gantar(\gari(A,B))&=\gari(\gantar(A),\gantar(B))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\anti(A\times B)&=\anti(B)\times \anti(A)\\
\pari(A\times B)&=\pari(A)\times \pari(B)\\
\invmu(A\times B)&=\invmu(B)\times \invmu(A)
\end{align}
であることから, $\gantar(A\times B)=\gantar(A)\times \gantar(B)$である. よって,
\begin{align}
\gantar(\gari(A,B))&=\gantar(\garit(B)(A)\times B)\\
&=\gantar(\garit(B)(A))\times \gantar(B)
\end{align}
である. ここで, $\anti,\pari,\gaxit(A,B)$は$\invmu$と可換であることから,
\begin{align}
\gantar(\garit(B)(A))&=(\invmu\circ\pari)(\gaxit(\invmu(\anti(B)),\anti(B))(\anti(A)))\\
&=\invmu(\gaxit(\invmu(\pari(\anti(B))),\pari(\anti(B)))(\pari(\anti(A))))\\
&=\gaxit(\invmu(\pari(\anti(B))),\pari(\anti(B)))(\invmu(\pari(\anti(A))))\\
&=\garit(\gantar(B))(\gantar(A))
\end{align}
となるので, 示すべき等式が得られる.
これより, 特に$\GARI$の中の$\gantar$不変な元全体$\GARI_{\mathrm{gantar}}$は$\GARI$の部分群になっていることが分かる.
$A\in\GARI$に対し,
\begin{align}
\gantar\circ\adgari(A)&=\adgari(\gantar(A))\circ\gantar\\
\mantar\circ\adari(A)&=\adari(\gantar(A))\circ\mantar
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の等式は
\begin{align}
&\gantar(\adgari(A)(B))\\
&=\gantar(\gari(A,B,\invgari(A)))\\
&=\gari(\gantar(A),\gantar(B),\invgari(\gantar(A)))\\
&=\adgari(\gantar(A))(\gantar(B))
\end{align}
と示される. 2つ目の等式は, $\varepsilon$を二重数とすると,
\begin{align}
\gantar(1+\varepsilon C)&=\invmu(1+\varepsilon \pari(\anti(C)))\\
&=1+\varepsilon \mantar(C)
\end{align}
となることから,
\begin{align}
\gantar(\adgari(A)(B))&=\adgari(\gantar(A))(\gantar(B))
\end{align}
において, $B\mapsto 1+\varepsilon C$とすると,
\begin{align}
1+\varepsilon \mantar(\adari(A)(C))&=1+\adari(\gantar(A))(\mantar(C))
\end{align}
となるので, $\varepsilon$の係数を比較して示すべき等式を得る.
$B\in\GARI$に対し,
\begin{align}
\mantar(\garit(B)(A))&=\garit(\gantar(B))(\mantar(A))
\end{align}
が成り立つ.
系1の証明と同様に,
\begin{align}
&1+\varepsilon \gantar(\garit(B)(A))\\
&=\gantar(\garit(B)(1+\varepsilon A))\\
&=\garit(\gantar(B))(\gantar(1+\varepsilon A))\\
&=1+\varepsilon\garit(\gantar(B))(\mantar(A))
\end{align}
の$\varepsilon$の係数を比較すればよい.
$\Epush$の性質
\begin{align}
\Eswap:=\adari(\es)\circ\swap\circ\gaxit(\oz,\oz)
\end{align}
とする.
\begin{align}
\Epush=\neg\circ\mantar\circ\Eswap\circ\mantar\circ\swap
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の命題1より,
\begin{align}
\Epush&=\Eneg\circ\mantar\circ\swap\circ\Omantar\circ\swap\\
&=\neg\circ\adari(\es)\circ\mantar\circ\swap\circ\gaxit(\oz,\oz)\circ\mantar\circ\swap
\end{align}
である. ここで, $\es$はsymmetralであるから, 特に$\gantar$不変である. よって, 系1より$\adari(\es)$と$\mantar$は可換であるから,
\begin{align}
\Epush&=\neg\circ\mantar\circ\adari(\es)\circ\swap\circ\gaxit(\oz,\oz)\circ\mantar\circ\swap\\
&=\neg\circ\mantar\circ\Eswap\circ\mantar\circ\swap
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
これによって, $\Epush$の複雑な部分が$\Eswap$に押し付けられたことになる.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\amit(A)(\es)&=\swamu(\es-1,\es\times A)\\
\anit(A)(\es)&=\swamu(\es,\answamu(\es-1,A))
\end{align}
が成り立つ. 特に,
\begin{align}
\preari(\es,A)&=\swamu(\es,A+\es\times A-\answamu(\es,A))
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の等式は
\begin{align}
\amit(A)(\es)(\bw)&=\sum_{\substack{\bw=\ba\bb\bc\\\bc\neq \varnothing}}\es(\ba{}_{\bb}\lceil\bc)A(\bb\rfloor{}_{\bc})\\
&=\sum_{\substack{\bw=\ba\bb\bc\\\bc\neq \varnothing}}\es(\ba\rfloor{}_{\bc})\es({}_{\ba\bb}\lceil\bc)A(\bb\rfloor{}_{\bc})\\
&=\sum_{\bw=\bd\bc,\bc\neq \varnothing}(\es\times A)(\bd\rfloor_{\bc})\es({}_{\bd}\lceil\bc)\\
&=\swamu(\es-1,\es\times A)(\bw)
\end{align}
と示される. 2つ目の等式は
\begin{align}
\anit(A)(\es)(\bw)&=\sum_{\substack{\bw=\ba\bb\bc\\\ba\neq \varnothing}}\es(\ba\rceil{}_{\bb}\bc)A({}_{\ba}\lfloor\bb)\\
&=\sum_{\substack{\bw=\ba\bb\bc\\\ba\neq \varnothing}}\es(\ba\rceil{}_{\bb}\rfloor_{\bc})\es({}_{\ba\bb}\lceil\bc)A({}_{\ba}\lfloor\bb)\\
&=\sum_{\substack{\bw=\bd\bc}}\answamu(\es-1,A)(\bd\rfloor_{\bc})\es({}_{\bd}\lceil\bc)\\
&=\swamu(\es,\answamu(\es-1,A))(\bw)
\end{align}
と示される. これらを足し合わせて, 最後の等式を得る.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
&\Eswap^{-1}(A)\\
&=\swap(\preari(\pari(\es),A))\times (1+\OO)\\
&=\pari(\oz)\times(\swap(A)\times(1+\OO)+\swap(\answamu(\EE,A)-\EE\times A))
\end{align}
が成り立つ.
まず,
前の記事
の命題1から, $\invgari(\es)=\pari(\es)$であるから,
前の記事
の補題8より, $\adari(\es)^{-1}=\adari(\invgari(\es))=\adari(\pari(\es))$である. よって,
\begin{align}
&(\swap\circ\adari(\es)^{-1})(A)\\
&=(\swap\circ\adari(\pari(\es))(A)\\
&=\swap(\gari(\preari(\pari(\es),A), \es))\\
&=\gira(\swap(\preari(\pari(\es),A)), \oz)\\
&=\girat(\oz)(\swap(\preari(\pari(\es),A)))\times\oz
\end{align}
前の記事
の命題2の後に述べたように, $\gaxit(\oz,\oz)=\girat(\oz)$である. よって,
\begin{align}
\Eswap^{-1}(A)&=(\girat(\oz)^{-1}\circ\swap\circ\adari(\es)^{-1})(A)\\
&=\swap(\preari(\pari(\oz),A))\times\girat(\oz)^{-1}(\oz)
\end{align}
である. ここで,
前の記事
の命題1より, $\invgira(\oz)=\pari(\oz)$であるから,
\begin{align}
\girat(\oz)^{-1}(\oz)&=\girat(\invgira(\oz))(\oz)\\
&=\gira(\oz,\invgira(\oz))\times\invmu(\invgira(\oz))\\
&=\invmu(\pari(\oz))\\
&=1+\OO
\end{align}
であるから1つ目の等号を得る. 次に命題5と
\begin{align}
\pari(\swamu(A,B))&=\swamu(\pari(A),\pari(B))\\
\pari(\answamu(A,B))&=\answamu(\pari(A),\pari(B))
\end{align}
などが成り立つことを用いると,
\begin{align}
&\preari(\pari(\es),A)\\
&=\pari(\preari(\es,\pari(A)))\\
&=\pari(\swamu(\es,\pari(A)+\es\times \pari(A)-\answamu(\es,\pari(A))))\\
&=\swamu(\pari(\es),A+\pari(\es)\times A-\answamu(\pari(\es),A))
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\swap(\preari(\pari(\es),A))\\
&=\pari(\oz)\times (\swap(A)+\swamu(\pari(\oz), \swap(A))-\swap(\answamu(\pari(\es),A)))
\end{align}
である. ここで, 命題1より,
\begin{align}
\swamu(1-\pari(\oz), \swap(A))&=\swamu(\OO\times\pari(\oz),\swap(A))\\
&=\swamu(\OO,\swap(A))\times\pari(\oz)\\
&=\swap(\EE\times A)\times\pari(\oz)
\end{align}
であり,
\begin{align}
\swap(\swap(\answamu(\EE,A))\times\pari(\oz))&=\swamu(\answamu(\EE,A),\pari(\es))\\
&=\answamu(\swamu(\EE,\pari(\es)),A))\\
&=\answamu(1-\pari(\es),A)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\swap(\answamu(1-\pari(\es),A))=\swap(\answamu(\EE,A))\times\pari(\oz)
\end{align}
である. これらを用いると,
\begin{align}
&\swamu(\pari(\oz), \swap(A))-\swap(\answamu(\pari(\es),A))\\
&=\swap(\answamu(\EE,A)-\EE\times A)\times\pari(\oz)
\end{align}
と書き換えられる. よって,
\begin{align}
\Eswap^{-1}(A)&=\pari(\oz)\times (\swap(A)+\swap(\EE\times A-\answamu(\EE,A))\times\pari(\oz))\times(1+\OO)\\
&=\pari(\oz)\times (\swap(A)\times(1+\OO)+\swap(\answamu(\EE,A)-\EE\times A))\\
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
$\Eswap$の定義には$\adari(\es)$や$\gaxit(\oz,\oz)$などの複雑な作用素が含まれていたが, 命題6の表示はより明示的な表示になっている. これを用いることによって, 以下のように$\Epush^{-1}$の明示的な表示も与えることができる.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
&\swap(\Epush^{-1}(A))\\
&=((1-\OO)\times\push(\swap(A))+\push(\OO\times\swap(A)-\swamu(\swap(A),\OO)))\times\oz
\end{align}
が成り立つ.
命題4と命題6より, $\neg\circ\push=\mantar\circ\swap\circ\mantar\circ\swap$であることも用いると,
\begin{align}
&(\swap\circ\Epush^{-1})(A)\\
&=(\mantar\circ\Eswap^{-1}\circ\mantar\circ\neg)(A)\\
&=\mantar(\pari(\oz)\times(\swap\circ\mantar\circ\neg)(A)\times(1+\OO)\\
&\qquad\qquad\qquad+\swap(\answamu(\EE,\mantar(\neg(A))-\EE\times \mantar(\neg(A))))\\
&=((1-\OO)\times(\mantar\circ\swap\circ\mantar\circ\neg)(A)\\
&\qquad+(\mantar\circ\swap\circ\anti\circ\swap)(\OO\times(\swap\circ\anti\circ\mantar\circ\neg)(A))\\
&\qquad-(\mantar\circ\swap)(\EE\times \mantar(\neg(A))))\times\oz\\
&=((1-\OO)\times\push(\swap(A))+(\pari\circ\neg\circ\push)(\OO\times(\swap\circ\pari\circ\neg)(A))\\
&\qquad-(\neg\circ\push\circ\swap\circ\mantar)(\EE\times \mantar(\neg(A))))\times\oz\\
&=((1-\OO)\times\push(\swap(A))+\push(\OO\times\swap(A))-(\push\circ\swap)(A\times \EE)\times\oz\\
&=((1-\OO)\times\push(\swap(A))+\push(\OO\times\swap(A)-\swamu(\swap(A),\OO)))\times\oz
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
$A$を$\swap(A)$に置き換えると,
\begin{align}
\swap(\Epush^{-1}(\swap(A)))&=((1-\OO)\times\push(A)+\push(\OO\times A-\swamu(A,\OO)))\times\oz
\end{align}
と若干簡潔に書ける.
