Flexion unit12: O-alternalの性質
前の記事 の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
Primary bimouldの逆元
\begin{align}
\gani(A,B):=A\times \ganit(B)(A)\\
\gami(A,B):=\gamit(B)(A)\times B
\end{align}
とする.
前の記事
の命題2から,
\begin{align}
\ganit(B)\circ\ganit(A)&=\ganit(\gani(A,B))\\
\gamit(B)\circ\gamit(A)&=\gamit(\gami(A,B))
\end{align}
となることが分かる. $\gani,\gami$に関する$A$の逆元をそれぞれ$\invgani(A),\invgami(A)$とする.
\begin{align}
\invgani(\ez)&=\pari(\anti(\es))\\
\invgami(\ez)&=\pari(\es)\\
\invgami(\es)&=\pari(\ez)\\
\invgari(\es)&=\pari(\es)\\
\invgira(\ez)&=\pari(\ez)
\end{align}
が成り立つ.
$\es$はsymmetralであるから, $\invmu(\es)=\pari(\anti(\es))$である. よって,
前の記事
の補題5より,
\begin{align}
\ganit(\ez)(\pari(\anti(\es)))=\invmu(\es)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\gani(\ez,\pari(\anti(\es)))=1
\end{align}
を得る. 2つ目の等式, 3つ目の等式は
\begin{align}
\anti(\gani(A,B))&=\gami(\anti(A),\anti(B))\\
\pari(\gami(A,B))&=\gami(\pari(A),\pari(B))
\end{align}
であることから, 上の等式より
\begin{align}
\gami(\ez,\pari(\es))=\gami(\pari(\ez),\es)=1
\end{align}
となることから従う. 4つ目の等式は$\pari(\es)=\expari(-\EE)$であるから,
\begin{align}
\gari(\es,\pari(\es))=\gari(\expari(\EE),\expari(-\EE))=1
\end{align}
となることから従う. 最後の等式は4つ目の等式の$\swap$を考えて$\EE$と$\OO$を入れ換えればよい.
$\ARI_{\ol}$の性質
\begin{align}
\Omantar:=\ganit(\oz)\circ\mantar\circ\ganit(\oz)^{-1}
\end{align}
とする.
前の記事
の命題4より, $A$が$\OO$-alternalならば, $\ganit(\oz)^{-1}(A)$はalternalであるから,
前の記事
の命題1より, $\mantar$不変である. よって, $A$は$\Omantar$不変であることが分かる. これには次のような表示がある.
$\Omantar=\gaxit(\oz,\oz)\circ\mantar$が成り立つ.
前の記事
の命題2より,
\begin{align}
\ganit(B)\circ\gamit(\ganit(B)^{-1}(A))&=\gaxit(A,B)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\gaxit(\oz,\oz)\circ\mantar\\
&=\ganit(\oz)\circ\gamit(\ganit(\oz)^{-1}(\oz))\circ\mantar\\
&=\ganit(\oz)\circ\gamit(\os)\circ\mantar\\
&=\ganit(\oz)\circ\anti\circ\ganit(\os)\circ\anti\circ\mantar\\
&=-\ganit(\oz)\circ\anti\circ\ganit(\os)\circ\pari\\
&=-\ganit(\oz)\circ\anti\circ\pari\circ\ganit(\pari(\anti(\os)))\\
&=\ganit(\oz)\circ\mantar\circ\ganit(\invgani(\os))\\
&=\Omantar
\end{align}
となって示すべき等式が得られる. ここで, 2つ目の等号は
前の記事
の補題5, 最後から2つ目の等号は命題1の1つ目の等式による.
これは, 明示的に書くと
\begin{align}
&\Omantar(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\sum_{\substack{0\leq s\\\ba_1b_1\bc_1\cdots\ba_sb_s\bc_s=(w_r,\dots,w_1)}}(-1)^{s-1}A({}_{\ba_1}\lceil b_1\rceil_{\bc_1},\dots,{}_{\ba_s}\lceil b_s\rceil_{\bc_s})\prod_{i=1}^s\oz(\ba_i\rfloor_{b_i})\oz({}_{b_i}\lfloor\bc_i)
\end{align}
となる.
\begin{align}
\push(\es)&=(\neg\circ\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap)(\es)\\
&=(\neg\circ\anti)(\es)\\
&=\invmu(\es)
\end{align}
であることから,
\begin{align}
&(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(\oz)\\
&=(\push\circ\swap\circ\invmu)(\es)\\
&=(\push\circ\swap\circ\push)(\es)\\
&=\oz
\end{align}
である. よって, $\gaxit(\oz,\oz)=\girat(\oz)$と書きかえることもできる.
$A\in\ARI$が$\Opus$-neutralであるとは, $\ganit(\oz)^{-1}(A)$が$\pus$-neutralであることとする. $A$が$\OO$-alternalであるとき, $\ganit(\oz)^{-1}(A)$はalternalであるから, $\pus$-neutralである. よって, $A$は$\Opus$-neutralである. より直接的な特徴づけとして, 以下のようなものがある.
$A$が$\Opus$-neutralであることは, 任意の$r\geq 2$に対し
\begin{align}
&\sum_{i=1}^rA(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})A({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
が成り立つことと同値である.
$A$が$\Opus$-neutralであるとすると, $B=\ganit(\oz)^{-1}(A)$は$\pus$-neutralである. このとき,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^rA(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\ganit(\oz)(B)(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\sum_{\substack{0\leq s\\b_1\bc_1\cdots b_s\bc_s=(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)}}B(b_1\rceil_{\bc_1},\dots,b_s\rceil_{\bc_s})\prod_{i=1}^s\oz({}_{b_i}\lfloor\bc_i)
\end{align}
となる. ここで, $\ba_j:=b_j\bc_j$を一つのブロックと考えて, ある$1\leq i\leq r$が存在して
\begin{align}
\ba_1\cdots \ba_s=(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)
\end{align}
となるような組$(\ba_1,\dots,\ba_s)$全体の集合を, 同値関係
\begin{align}
(\ba_1,\dots,\ba_s)\sim(\ba_s,\ba_1,\dots,\ba_2)
\end{align}
で割ったものを$[\ba_1,\dots,\ba_s]$と書くことにすると,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^r\sum_{\substack{0\leq s\\b_1\bc_1\cdots b_s\bc_s=(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)}}B(b_1\rceil_{\bc_1},\dots,b_s\rceil_{\bc_s})\prod_{i=1}^s\oz({}_{b_i}\lfloor\bc_i)\\
&=\sum_{\substack{0\leq s\\ [\ba_1,\dots,\ba_s]}}\sum_{1\leq \forall i\leq s, b_i\bc_i=\ba_i}\left(\prod_{i=1}^s\oz({}_{b_i}\lfloor\bc_i)\right)\sum_{j=1}^sB(b_{j+1}\rceil_{\bc_j},\dots,b_s\rceil_{\bc_s},b_1\rceil_{\bc_1},\dots,b_j\rceil_{\bc_j})
\end{align}
と書き換えられることが分かる. $B$は$\pus$-neutralであるから, $s\geq 2$の場合の内側の和は$0$になることから,
\begin{align}
&\sum_{i=1}^rA(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\sum_{b\bc=(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)}\oz({}_b\lfloor\bc)B(b\rceil_{\bc})\\
&=\sum_{i=1}^r\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})B({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
となる. 長さ1のbiwordに対しては$B(w)=A(w)$であるから, 示すべき等式が得られた. 逆に, 等式
\begin{align}
&\sum_{i=1}^rA(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\
&=\sum_{i=1}^r\oz((w_1\cdots w_{i-1})\rfloor_{w_i})A({}_{w_1\cdots w_{i-1}}\lceil w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\oz({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_r))
\end{align}
を満たしているときに$A$が$\Opus$-neutralであることは, 上の証明を逆にたどると, $B$の長さに関する帰納法によって示されることが分かる.
$\ARI_{\alol}$の性質
\begin{align}
\Enegpush&:=\mantar\circ\swap\circ\Omantar\circ\swap\\
\Eneg&:=\mathrm{neg}\circ\adari(\es)\\
\Epush&:=\Eneg\circ\Enegpush
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$A\in\ARI_{\alol}$のとき, $A$は$\Eneg, \Enegpush, \Epush$に関して不変である.
$A\in\ARI_{\alol}$とする. $A$はalternalであるから, $\mantar$不変であり, $\swap(A)$は$\OO$-alternalであるから, $\Omantar$不変である. よって,
\begin{align}
\Enegpush(A)&=(\mantar\circ\swap\circ\Omantar\circ\swap)(A)\\
&=\mantar(A)\\
&=A
\end{align}
となるから, $A$は$\Enegpush$不変である. 次に,
\begin{align}
\neg(\adari(A)(B))=\adari(\neg(A))(\neg(B))
\end{align}
となることと, $\slash(\ess)=\es$である(
前の記事
の命題6)ことから,
\begin{align}
\Eneg&=\neg\circ\adari(\gari(\neg(\ess),\ess))\\
&=\neg\circ\adari(\neg(\ess))\circ\adari(\ess)^{-1}\\
&=\adari(\ess)\circ\neg\circ\adari(\ess)^{-1}
\end{align}
である.
前の記事
の定理10より, $\adari(\ess)^{-1}(A)$は$\ARI_{\alal}$の元であるから, 同じ記事の命題4より, $\neg$不変である. よって, $A$は$\Eneg$不変である. 定義から, $A$は$\Epush$不変であることも従う.
