Flexion unit8: gari-dilator

\begin{align} &\girat(1+\varepsilon \To(f))\circ\exp(-\varepsilon \der)\circ\ganit(\dO(f))\\ &=\ganit(\dO(f))\circ\garit(\ganit(\dO(f))^{-1}(1+\varepsilon\To(f)))\circ\exp(-\varepsilon \der) \end{align}
であることが示せれば, その$\varepsilon$の係数を比較することによって示すべき等式が得られる.
\begin{align} (\exp(-\varepsilon \der)\circ A)(w_1,\dots,w_r)=e^{-\varepsilon r}A(w_1,\dots,w_r) \end{align}
であることから, $\exp(-\varepsilon \der)\circ\ganit(A)=\ganit(\exp(-\varepsilon \der)(A))\circ\exp(-\varepsilon\der)$となる. よって, 示すべき等式は
\begin{align} &\girat(1+\varepsilon \To(f))\circ\ganit(\exp(-\varepsilon \der)(\dO(f)))\\ &=\ganit(\dO(f))\circ\garit(\ganit(\dO(f))^{-1}(1+\varepsilon\To(f))) \end{align}
に帰着する. $h(B):=(\push\circ\swap\circ\invmu\circ\swap)(B)$とすると, 前の記事 の命題2より,
\begin{align} \girat(B)\circ\ganit(A)&=\gaxit(B,h(B)\times\girat(B)(A)) \end{align}
となるから, $A=\exp(-\varepsilon\der)(\dO(f)), B=1+\varepsilon\To(f)$とすると,
\begin{align} &\girat(1+\varepsilon \To(f))\circ\ganit(\exp(-\varepsilon \der)(\dO(f)))\\ &=\gaxit(1+\varepsilon\To(f),h(1+\varepsilon\To(f))\times\girat(1+\varepsilon\To(f))(\exp(-\varepsilon\der)(\dO(f)))) \end{align}
ここで,
\begin{align} h(1+\varepsilon\To(f))&=(\push\circ\swap\circ\invmu)(1+\varepsilon\swap(\To(f)))\\ &=(\push\circ\swap)(1-\varepsilon\swap(\To(f)))\\ &=\push(1-\varepsilon\To(f))\\ &=1+\varepsilon \anti(\To(f)) \end{align}
となる. ここで, 最後の等号は 前の記事 の系1による. よって,
\begin{align} &h(1+\varepsilon\To(f))\times\girat(1+\varepsilon\To(f))(\exp(-\varepsilon\der)(\dO(f)))\\ &=(1+\varepsilon \anti(\To(f)))\times\girat(1+\varepsilon\To(f))(\exp(-\varepsilon\der)(\dO(f)))\\ &=\dO(f)+\varepsilon(\anti(\To(f))\times\dO(f)+\irat(\To(f))(\dO(f))-\der(\dO(f)))\\ &=\dO(f)-\varepsilon \dO(f)\times\To(f)\\ &=\dO(f)\times(1-\varepsilon\To(f)) \end{align}
となる. ここで, 3つ目の等号は$\irat(\To(f))=\iwat(\To(f))$であることと, 前の記事 の命題2による. つまり,
\begin{align} &\girat(1+\varepsilon \To(f))\circ\ganit(\exp(-\varepsilon \der)(\dO(f)))\\ &=\gaxit(1+\varepsilon\To(f), \dO(f)\times(1-\varepsilon\To(f))) \end{align}
が得られた. 一方で, 前の記事 の命題2より,
\begin{align} \ganit(A)\circ\garit(\ganit(A)^{-1}(B))&=\gaxit(B,A\times(\ganit(A)\circ\invmu\circ\ganit(A)^{-1})(B))\\ &=\gaxit(B,A\times \invmu(B)) \end{align}
であるから, $A=\dO(f),B=1+\varepsilon\To(f)$とすると,
\begin{align} &\ganit(\dO(f))\circ\garit(\ganit(\dO(f))^{-1}(1+\varepsilon\To(f)))\\ &=\gaxit(1+\varepsilon\To(f), \dO(f)\times(1-\varepsilon\To(f))) \end{align}
となって示すべき等式が得られる.

$\So(f^{-1})=\invgira(\So(f))$であることと, 前の記事 の系1より,
\begin{align} \der(\invgira(\So(f)))&=\preira(\invgira(\So(f)), \To(f^{-1})) \end{align}
つまり,
\begin{align} (\irat(\To(f^{-1}))-\der)(\invgira(\So(f)))+\invgira(\So(f))\times\To(f^{-1})=0 \end{align}
である. よって, 命題1より
\begin{align} 0&=\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}\circ((\irat(\To(f^{-1}))-\der)(\invgira(\So(f)))-\invgira(\So(f))\times\To(f^{-1})))\\ &=(\arit(\ganit(\dO(f^{-1}))(\To(f^{-1})))-\der)(\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\invgira(\So(f))))\\ &\qquad+\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\invgira(\So(f)))\times\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\To(f^{-1}))\\ &=\preari(\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\invgira(\So(f))),\ganit(\dO(f^{-1}))(\To(f^{-1})))\\ &\qquad-\der(\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\invgira(\So(f)))) \end{align}
となる. ここで, Ecalleの基本等式( 前の記事 の系1より)と, 前の記事 の系3より,
\begin{align} \invgira(\So(f))&=\fragira(1,\So(f))\\ &=\ganit(\crash(\So(f)))(\fragari(1,\So(f)))\\ &=\ganit(\dO(f^{-1}))(\invgari(\So(f))) \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\der(\invgari(\So(f)))\\ &=\preari(\invgari(\So(f)),\ganit(\dO(f^{-1}))^{-1}(\To(f^{-1}))) \end{align}
を得る.

まず,
\begin{align} (1+\varepsilon \der)(S)=S+\varepsilon\preari(S,D)=\gari(S,1+\varepsilon D) \end{align}
である. $S$がsymmetralであるとき,
\begin{align} (1+\varepsilon \der)(S)(w_1,\dots,w_r)&=\exp(\varepsilon \der)(S)(w_1,\dots,w_r)\\ &=e^{\varepsilon r}S(w_1,\dots,w_r) \end{align}
であるから, $(1+\varepsilon \der)(S)$もsymmetralである. よって,
\begin{align} 1+\varepsilon D&=\gari(\invgari(S),(1+\varepsilon \der)(S)) \end{align}
はsymmetralである. これより,
\begin{align} (1+\varepsilon D)(\bx\sh\by)&=(1+\varepsilon D)(\bx)(1+\varepsilon D)(\by)\\ &=1+\varepsilon(D(\bx)1(\by)+1(\bx)D(\by)) \end{align}
の$\varepsilon$の係数を比較することによって, $D$がalternalであることが従う. 次に, $D$がalternalであるとして, $S$がsymmetralであることを示す. 前の記事 の補題3の証明の議論により, $\ell(\bw)$で$\bw$の長さを表すとして, $S$が$\ell(\ba)+\ell(\bb)<\ell(\bx)+\ell(\by)$のとき, $S(\ba\sh\bb)=S(\ba)S(\bb)$を満たすとすると,
\begin{align} \arit(D)(S)(\bx\sh\by)&=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bx\\\bc\neq \varnothing}}S(\ba{}_{\bb}\lceil\bc\sh\by)D(\bb\rfloor{}_{\bc})-\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bx\\\ba\neq \varnothing}}S(\ba{}_{\bb}\lceil\bc\sh\by)D(\bb\rfloor{}_{\bc})+\mathrm{idem}(\bx;\by)\\ &=\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bx\\\bc\neq \varnothing}}S(\ba{}_{\bb}\lceil\bc)S(\by)D(\bb\rfloor{}_{\bc})-\sum_{\substack{\ba\bb\bc=\bx\\\ba\neq \varnothing}}S(\ba\rceil_{\bb}\bc)S(\by)D({}_{\bc}\lfloor\bb)+\mathrm{idem}(\bx;\by)\\ &=\arit(D)(S)(\bx)S(\by)+S(\bx)\arit(D)(S)(\by)\\ (S\times D)(\bx\sh\by)&=(S\times D)(\bx)S(\by)+S(\bx)(S\times D)(\by) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} (\ell(\bx)+\ell(\by))S(\bx\sh\by)&=\preari(S,D)(\bx\sh\by)\\ &=\arit(D)(S)(\bx)S(\by)+S(\bx)\arit(D)(S)(\by)\\ &\qquad+(S\times D)(\bx)S(\by)+S(\bx)(S\times D)(\by)\\ &=\preari(S,D)(\bx)S(\by)+S(\bx)\preari(S,D)(\by)\\ &=\der(S)(\bx)S(\by)+S(\bx)\der(S)(\by)\\ &=(\ell(\bx)+\ell(\by))S(\bx)S(\by) \end{align}
となるから, $\ell(\bx)+\ell(\by)$に関する帰納法により, $S$はsymmetralであることが分かる.

\begin{align} g_B(\bw)&:=\sum_{\substack{0\leq s\\b_1\bc_1\cdots b_s\bc_s=\bw}}(b_1\rceil_{\bc_1}\cdots b_s\rceil_{\bc_s})\prod_{i=1}^sB({}_{b_i}\lfloor\bc_i)\\ \psi_B(w_1,\dots,w_r)&:=w_1\rceil_{w_2\cdots w_r}B({}_{w_1}\lfloor(w_2\cdots w_r)) \end{align}
とする. 定義から,
\begin{align} g_B(\bw)=\sum_{\substack{0\leq n\\\ba_1\cdots \ba_n=\bw}}\psi_B(\ba_1)\cdots\psi_B(\ba_n) \end{align}
となる. これは$g_B=\sum_{0\leq n}\psi_B^{\times n}=1+\psi_{B}\times g_B$と書きかえられる. ここで, $A^{\times n}:=\underbrace{A\times\cdots\times A}_n$を表す. $g=g_{\ez}, \psi=\psi_{\ez}$とする. $\ez$は$\EE$-symmetralより,
\begin{align} &\psi((x,\bx)\,\text{ш}_{\EE}\,(y,\by))\\ &=\psi(x,\bx\,\text{ш}_{\EE}\,(y,\by))+\psi(y,(x,\bx)\,\text{ш}_{\EE}\,\by)-\EE(x\rfloor{}_{y})\psi({}_{x}\lceil y,\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)-\EE({}_x\lfloor y)\psi(x\rceil_y,\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)\\ &=x\rceil_{\bx y\by}\ez({}_x\lfloor(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,(y,\by)))+y\rceil_{x\bx\by}\ez({}_{y}\lfloor((x,\bx)\,\text{ш}_{\EE}\,\by))-y\rceil_{x\bx\by}\EE(x\rfloor{}_{y})\ez({}_y\lfloor(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by))\\ &\qquad-x\rceil_{\bx y\by}\EE({}_x\lfloor y)\ez({}_x{\lfloor}(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by))\\ &=x\rceil_{\bx y\by}(\ez({}_x\lfloor\bx)\ez({}_x\lfloor(y,\by))-\EE({}_x\lfloor y)\ez({}_x\lfloor\bx)\ez({}_x\lfloor\by))+y\rceil_{x\bx\by}(\ez({}_y\lfloor(x,\bx))\ez({}_y\lfloor\by)-\EE({}_y\lfloor x)\ez({}_y\lfloor\bx)\ez({}_y\lfloor\by))\\ &=0 \end{align}
となる. よって, $\psi$は$\EE$-alternalである. $g(\varnothing\,\text{ш}_{\EE}\,\varnothing)=g(\varnothing)\sh g(\varnothing)=\varnothing$であることは明らかなので, $\ell(\bx)+\ell(\by)>0$とする. $\ell(\ba)+\ell(\bb)<\ell(\bx)+\ell(\by)$のとき, $g(\ba\,\text{ш}_{\EE}\,\bb)=g(\ba)\sh g(\bb)$が成り立つとすると, $\psi$が$\EE$-alternalであることにより,
\begin{align} g(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)&=(\psi\times g)(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)\\ &=\sum_{\ba\bb=\bx}\psi(\ba)g(\bb\,\text{ш}_{\EE}\,\by)+\sum_{\ba\bb=\by}\psi(\ba)g(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\bb)\\ &=\sum_{\ba\bb=\bx}\psi(\ba)(g(\bb)\sh g(\by))+\sum_{\ba\bb=\by}\psi(\ba)(g(\bx)\sh g(\bb))\\ &=g(\bx)\sh g(\by) \end{align}
となる. よって, $\ell(\bx)+\ell(\by)$に関する帰納法により, 任意のbiword$\bx,\by$に対し
\begin{align} g(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)=g(\bx)\sh g(\by) \end{align}
が成り立つことが分かる. よって, $A$がsymmetralならば,
\begin{align} \ganit(\ez)(A)(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by)&=A(g(\bx\,\text{ш}_{\EE}\,\by))\\ &=A(g(\bx)\sh g(\by))\\ &=A(g(\bx))A(g(\by))\\ &=\ganit(\ez)(A)(\bx)\ganit(\ez)(A)(\by) \end{align}
より, $\ganit(\ez)(A)$は$\EE$-symmetralである. 逆に,
\begin{align} g^{-1}(\bx\sh\by)=g^{-1}(\bx)\,\text{ш}_{\EE}\,g^{-1}(\by) \end{align}
であるから($g$の逆写像の存在は 前の記事 の命題5と同様に分かる), $A$が$\EE$-symmetralであるとき, $\ganit(\ez)^{-1}(A)$がsymmetralであることも分かる. $\EE$-alternal性に関する主張も全く同様に従う.