Flexion unit10: dimorphic transport
前の記事 の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
$\ARI_{\al}$の性質
$\ARI$のalternalな元全体$\ARI_{\al}$と表す.
\begin{align}
\mantar(A)(w_1,\dots,w_r):=(-1)^{r-1}A(w_r,\dots,w_1)
\end{align}
とする.
$A\in\ARI_{\al}$のとき, $A$は$\mantar$不変である.
シャッフル代数のantipode関係式
\begin{align}
\sum_{i=0}^r(-1)^{r-i}(w_1,\dots,w_i)\sh(w_r,\dots,w_{i+1})=\delta_{r,0}
\end{align}
より, $A$がalternalのとき, $r\geq 1$に対し,
\begin{align}
A(w_1,\dots,w_r)+(-1)^rA(w_r,\dots,w_1)=0
\end{align}
である. よって, $A$はmantar不変である.
\begin{align}
\pus(A)(w_1,\dots,w_r)&:=A(w_r,w_1,\dots,w_{r-1})
\end{align}
とする. 任意の$r\geq 2$に対し,
\begin{align}
(1+\pus+\pus^2+\cdots+\pus^{r-1})(A)(w_1,\dots,w_r)=0
\end{align}
が成り立つとき, $A$は$\pus$-neutralであるという.
$A\in\ARI_{\al}$のとき, $A$は$\pus$-neutralである.
\begin{align}
&(1+\pus+\pus^2+\cdots+\pus^{r-1})(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\sum_{i=1}^rA(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)
\end{align}
ここで, $A$がalternalであることにより,
\begin{align}
0&=A((x,\bx)\sh(y,\by))=A(x,\bx\sh(y,\by))+A(y,(x,\bx)\sh\by)
\end{align}
より,
\begin{align}
A(x,\bx\sh(y,\by))=-A(y,(x,\bx)\sh \by)
\end{align}
であるから, これを繰り返し用いて,
\begin{align}
A(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)&=(-1)^{r-i}A(w_1,(w_r,\dots,w_{i+1})\sh(w_2,\dots,w_i))
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&(1+\pus+\pus^2+\cdots+\pus^{r-1})(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\sum_{i=1}^r(-1)^{r-i}A(w_1,(w_r,\dots,w_{i+1})\sh(w_2,\dots,w_i))\\
&=A\left(w_1,\sum_{i=1}^r(-1)^{r-i}(w_r,\dots,w_{i+1})\sh(w_2,\dots,w_i)\right)\\
&=0
\end{align}
ここで, 最後の等号はシャッフルantipode関係式による.
$A,B\in\ARI_{\al}$に対し, $\lu(A,B), \ari(A,B)\in\ARI_{\al}$である.
$\lu(A,B)(\varnothing)=0$は明らか. $\ell(\bx),\ell(\by)>0$とすると, シャッフル代数の双代数構造より,
\begin{align}
(A\times B)(\bx\sh \by)&=\sum_{\substack{\bx_1\bx_2=\bx\\\by_1\by_2=\by}}A(\bx_1\sh\by_1)B(\bx_2\sh\by_2)\\
&=A(\bx)B(\by)+A(\by)B(\bx)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\lu(A,B)(\bx\sh\by)&=(A\times B)(\bx\sh \by)-(B\times A)(\bx\sh \by)\\
&=0
\end{align}
である. よって, $\lu(A,B)$はalternalである.
\begin{align}
\ari(A,B)=\arit(B)(A)-\arit(A)(B)+\lu(A,B)
\end{align}
であり,
前の記事
の補題3より, 右辺の各項はalternalであるから, $\ari(A,B)$はalternalである.
これより, $\ARI_{\al}$は$\lu,\ari$の両方に関してLie代数になることが分かる. $\lu$に関するLie代数を$\LU_{\al}$と表し, $\ari$に関するLie代数を$\ARI_{\al}$と表すことによって区別することにする.
$\ARI_{\alal}$の性質
$\ARI_{\al}$の元であって, $\swap(A)$が$\OO$-alternalであるもので, 長さ1のbiwordに対して, $A\left(-u\atop -v\right)=A\left(u\atop v\right)$が成り立つもの全体を$\ARI_{\alol}$とする. $\ARI_{\al}$の元であって, $\swap(A)$がalternalであるもので, 長さ1のbiwordに対して, $A\left(-u\atop -v\right)=A\left(u\atop v\right)$が成り立つもの全体を$\ARI_{\alal}$とする.(ここにおいて, 条件$A\left(-u\atop -v\right)=A\left(u\atop v\right)$を除いたものはそれぞれ, $\ARI_{\mathrm{al}/\mathfrak{ol}}, \ARI_{\mathrm{al}/\mathrm{al}}$と書かれる).
$A\in\ARI_{\alal}$のとき, $\push$不変, $\mathrm{neg}$不変である.
前の記事
で示した等式$\mathrm{neg}\circ\push=\anti\circ\swap\circ\anti\circ\swap$は$\mathrm{neg}\circ\push=\mantar\circ\swap\circ\mantar\circ\swap$と書き換えられるので, $\swap(A)$がalternalであることから,
\begin{align}
(\mathrm{neg}\circ\push)(A)&=(\mantar\circ\swap\circ\mantar\circ\swap)(A)\\
&=(\mantar\circ\swap\circ\swap)(A)\\
&=\mantar(A)\\
&=A
\end{align}
となる. よって$A$は$\mathrm{neg}\circ\push$不変である. これより, $w_i':=\left(-u_i\atop -v_i\right)$として,
\begin{align}
0&=A(w_1'\sh(w_2',\dots,w_r'))\\
&=\mathrm{neg}(A)(w_1\sh(w_2,\dots,w_r))\\
&=\push(A)(w_1\sh(w_2,\dots,w_r))\\
&=\sum_{i=1}^{r-1}\push(A)(w_2,\dots,w_i,w_1,w_{i+1},\dots,w_r)+\push(A)(w_2,\dots,w_r,w_1)\\
&=\sum_{i=1}^{r-1}A\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_2,\dots,u_i,u_1,u_{i+1},\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_2-v_r,\dots,v_i-v_r,v_1-v_r,v_{i+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\
&\qquad+\push(A)(w_2,\dots,w_r,w_1)\\
&=A\left(\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_2,\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_2-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\sh\left(u_1\atop v_1-v_r\right)\right)-A\left(\begin{matrix}u_1,-u_1-\cdots-u_r,u_2,\dots,u_{r-1}\\v_1-v_r,-v_r,v_2-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\
&\qquad+\push(A)(w_2,\dots,w_r,w_1)\\
&=(\push(A)-\push^2(A))(w_2,\dots,w_r,w_1)
\end{align}
となる. よって, $\push(A)=\push^2(A)=(\mathrm{neg}\circ\push)^2(A)=A$となる. よって, $A$は$\push$不変である. $\mathrm{neg}(A)=(\mathrm{neg}\circ\push)(A)=A$であるから, $\mathrm{neg}\circ\push$不変であることも従う.
$A,B\in\ARI_{\alal}$に対し, $\ari(A,B)\in\ARI_{\alal}$である.
$\ari(A,B)\in\ARI_{\al}$である. 命題4より$A,B$は$\push$不変であるから,
前の記事
の定理2より,
\begin{align}
\swap(\ari(A,B))&=\ari(\swap(A),\swap(B))\in\ARI_{\al}
\end{align}
も成り立つ. 長さ1のwordに対しては$A(\varnothing)=B(\varnothing)=0$のとき, $\ari(A,B)(w)=0$であるから, $\ari(A,B)\in\ARI_{\alal}$である.
$\GARI_{\as},\GARI_{\asas}$
$\GARI$の元でsymmetralなもの全体を$\GARI_{\as}$と表す. $\GARI_{\as}$の元であって, $\swap(A)$がsymmetralであるもので, 長さ1のbiwordに対して, $A\left(-u\atop -v\right)=A\left(u\atop v\right)$が成り立つもの全体を$\GARI_{\asas}$と表す.
$\expari:\ARI\to\GARI$の逆写像を$\logari$と書く. 前の記事 の記事の定理5で$A$がalternalならば, $\expari(A)$がsymmetralであることを示した. 逆に, $\expari(A)$の線形部分($A$の積が入っていない部分)は$A$であることから, 前の記事 の定理5の証明を逆にたどると, 長さに関する帰納法により, $\expari(A)$がsymmetralであるとき, $A$はalternalである. つまり, $A$がsymmetralなら$\logari(A)$はalternalであることが分かる. つまり, 以下が成り立つ.
$\expari(\ARI_{\al})=\GARI_{\as}$が成り立つ.
次が重要である.
$\expari(\ARI_{\alal})=\GARI_{\asas}$が成り立つ.
$A\in \ARI_{\alal}$とする. 命題6より, $\expari(A)\in\GARI_{\as}$である. 命題4より, $A$は$\push$不変である.
前の記事
の定理2より,
\begin{align}
\swap(\expari(A))&=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\swap(\preari(\underbrace{A,\dots,A}_n))\\
&=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\preari(\underbrace{\swap(A),\dots,\swap(A)}_n)\\
&=\expari(\swap(A))
\end{align}
であるから, 命題6より, $\swap(\expari(A))\in\GARI_{\as}$である. $A(\varnothing)=0$であることにより, $\expari(A)$の深さ1の部分は$A$に等しいから, $\expari(A)\left(-u\atop -v\right)=\expari(A)\left(u\atop v\right)$も成り立つ. よって, $\expari(\ARI_{\alal})\subset\GARI_{\asas}$である.
次に, $A\in\ARI$が$\expari(A)\in\GARI_{\asas}$を満たしているとする. このとき, $\expari(A)$の深さ1の部分は$A$に等しいから, $A\left(-u\atop -v\right)=A\left(u\atop v\right)$である. また, 命題6より$A$はalternalである. $\swap(A)$が長さ$r-1$までalternalであるとする. このとき, $A$は長さ$r-1$まで$\push$不変である. よって,
前の記事
の定理2より(証明から長さ$r$の元$\bw$に対して, $\swap(\preari(A,B))(\bw)=\preari(\swap(A),\swap(B))(\bw))$であることを示すには$B$が長さ$r-1$まで$\push$不変であれば十分である), 長さ$r$のbiwordに対して,
\begin{align}
&\swap(\expari(A))(w_1,\dots,w_r)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac 1{n!}\preari(\underbrace{\swap(A),\dots,\swap(A)}_n)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\expari(\swap(A))(w_1,\dots,w_r)
\end{align}
である. $\swap(\expari(A))$はsymmetralであるから, $\expari(\swap(A))$は長さ$r$までsymmetralである. よって, $\swap(A)$は長さ$r$までalternalであることが分かる. よって, 長さに関する帰納法によって示すべきことが得られる.
Dimorphic transport
$A,B\in \GARI$に対し,
\begin{align}
\adari(\gari(A,B))&=\adari(A)\circ\adari(B)
\end{align}
が成り立つ. また, $A,B\in\ARI, C\in \GARI$に対し,
\begin{align}
\adari(C)(\ari(A,B))&=\ari(\adari(C)(A),\adari(C)(B))
\end{align}
が成り立つ.
$A,B\in\GARI$とする. 定義から$\adgari(\gari(A,B))=\adgari(A)\circ\adgari(B)$である. よって,
前の記事
の命題6から,
\begin{align}
\adari(\gari(A,B))(M))&=\logari(\adgari(\gari(A,B))(\expari(M)))\\
&=\logari(\adgari(A)(\adgari(B)(\expari(M))))\\
&=\adari(A)(\adari(B)(M))
\end{align}
となる. よって, $\adari(\gari(A,B))=\adari(A)\circ\adari(B)$を得る. 次に, $A,B\in\ARI, C\in \GARI$に対し, 定義から
\begin{align}
\adgari(C)(\gari(\expari(tA),\expari(tB)))&=\gari(\adgari(C)(\expari(tA)),\adgari(C)(\expari(tB)))\\
&=\gari(\expari(t\adari(C)(A)),\expari(t\adari(C)(B)))
\end{align}
である. 左辺は
前の記事
の系3より,
\begin{align}
&\adgari(C)(\gari(\expari(tA),\expari(tB)))\\
&=\adgari(C)\left(\expari\left(t(A+B)+\frac 12t^2\ari(A,B)\right)\right)\pmod{t^3}\\
&=\expari\left(\adari(C)\left(t(A+B)+\frac 12t^2\ari(A,B)\right)\right)\pmod{t^3}
\end{align}
であり, 右辺は
前の記事
の系3より,
\begin{align}
&\gari(\expari(t\adari(C)(A)),\expari(t\adari(C)(B)))\\
&=\expari\left(t(\adari(C)(A)+\adari(C)(B)+\frac 12t^2\ari(\adari(C)(A),\adari(B)))\right)\pmod{t^3}
\end{align}
となる. 両辺の$\logari$を考えて$t^2$の係数を比較すると,
\begin{align}
\adari(C)(\ari(A,B))&=\ari(\adari(C)(A),\adari(C)(B))
\end{align}
を得る.
$m$を$A$が$0$にならないbiwordの最小の長さとして, $\lead(A)$を$A$の長さ$m$の部分とする. このとき, 以下が成り立つ.
$A\in\ARI_{\alol}$に対し, $\lead(A)\in\ARI_{\alal}$である.
定義から, $\lead(A)\in\ARI_{\al}$であり, $\swap(\lead(A))=\lead(\swap(A))$である. $m$を$A$が$0$にならないbiwordの最小の長さとすると, $\ell(\bx)+\ell(\by)=m$のとき,
\begin{align}
\swap(A)(\bx\osh\by)&=\lead(\swap(A))(\bx\sh\by)
\end{align}
であるから, $\lead(\swap(A))$はalternalである. 長さ1のときに, $\lead(A)\left(-u\atop -v\right)=\lead(A)\left(u\atop v\right)$となることは定義から明らかである. よって, $\lead(A)\in\ARI_{\alal}$である.
$\adari(\ess),\adari(\dess)$は線形同型$\ARI_{\alal}\to \ARI_{\alol}$を与える.
$A\in\ARI_{\alal}$とする.
前の記事
の定理5より, $\expari(A)$はsymmetralであり,
前の記事
の命題6より, $\ess$はsymmetralであるから,
\begin{align}
\adari(\ess)(A)&=\logari(\gari(\ess,\expari(A),\invgari(\ess)))
\end{align}
はalternalである.
前の記事
の定理4より, $\doss$はsymmetralであるから, 上と同様に$\adari(\doss)(\swap(A))$はalternalである. 命題4より, $A$は$\push$不変であるから, Ecalleの第二基本等式(
前の記事
の系2)と
前の記事
の命題6より,
\begin{align}
\swap(\adari(\ess)(A))&=\ganit(\oz)(\adari(\doss)(\swap(A)))
\end{align}
である. よって, 前の記事 の命題4より, $\swap(\adari(\ess)(A))$は$\OO$-alternalである. また, 定義から直接$\adari(\ess)(A)$の長さ1の部分は$A$に一致することが分かるので, $\adari(\ess)(A)\left(-u\atop -v\right)=\adari(\ess)(A)\left(u\atop v\right)$も成り立つ. よって, $\adari(\ess)(A)\in\ARI_{\alol}$である.
次に, $B\in\ARI_{\alol}$とする. このとき, $A_0:=B$
\begin{align}
A_{n+1}:=A_n-\adari(\ess)(\lead(A_n))
\end{align}
によって定めると, 補題9より, 帰納的に$A_n\in\ARI_{\alol}$である. よって,
\begin{align}
B&=A_0\\
&=\sum_{0\leq n}(A_n-A_{n+1})\\
&=\sum_{0\leq n}\adari(\ess)(\lead(A_n))\\
&=\adari(\ess)\left(\sum_{0\leq n}\lead(A_n)\right)
\end{align}
であり, 補題9より, $\sum_{0\leq n}\lead(A_n)\in\ARI_{\alal}$であるから, $\adari(\ess)(\ARI_{\alal})=\ARI_{\alol}$となって示すべきことが得られた. $\dess$の方も全く同様である.
定理10と補題8より, 以下が成り立つことが分かる.
$\ARI_{\alol}$は$\ARI$の部分Lie代数であり, $\adari(\ess),\adari(\dess)$によって$\ARI_{\alal}$とLie代数として同型である.
