Flexion unit14: senary関係式
前の記事 の記法を用いる. $\EE$をflexion unit, $\OO$をその共役unitとする.
Senary関係式
\begin{align}
&\Eter(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&:=A(w_1,\dots,w_r)-A(w_1,\dots,w_{r-1})\EE(w_r)+A((w_1,\dots,w_{r-1})\rceil_{w_r})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lfloor w_r)
\end{align}
とする. 定義から, これは
\begin{align}
\Eter(A)=A-A\times \EE+\answamu(A,\EE)
\end{align}
と表される.
\begin{align}
\Eter^{-1}(A)=\answamu(A,\invmu(\es))\times \es
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\Eter(A)&=A-A\times \EE+\answamu(A,\EE)\\
&=\answamu(A,1+\EE)-A\times \EE
\end{align}
ここで, $1+\EE$の$\answamu$に関する逆元は
\begin{align}
&(\anti\circ\swap\circ\invmu\circ\swap\circ\anti)(1+\EE)\\
&=(\anti\circ\swap\circ\invmu)(1+\OO)\\
&=(\anti\circ\swap)(\pari(\oz))\\
&=\anti(\pari(\es))\\
&=\invmu(\es)
\end{align}
であり, これを$\answamu$で右から掛けて,
前の記事
の命題1を用いると,
\begin{align}
&\answamu(\Eter(A),\invmu(\es))\\
&=A-A\times \answamu(\EE,\invmu(\es))\\
&=A-A\times (1-\invmu(\es))\\
&=A\times \invmu(\es)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
\answamu(\Eter(A),\invmu(\es))\times\es=A
\end{align}
となるので, $A\mapsto \Eter^{-1}(A)$として示すべき等式が得られる.
Bimould$A$は
\begin{align}
\Eter(A)=(\push\circ\mantar\circ\Eter\circ\mantar)(A)
\end{align}
を満たすとき, senary関係式を満たすという. 定義から,
\begin{align}
&(\mantar\circ\Eter\circ\mantar)(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&=(-1)^{r-1}(\Eter\circ\mantar)(A)(w_r,\dots,w_1)\\
&=(-1)^{r-1}\mantar(A)(w_r,\dots,w_1)-(-1)^{r-1}\mantar(A)(w_r,\dots,w_2)\EE(w_1)\\
&\qquad+(-1)^{r-1}\mantar(A)((w_r,\dots,w_2)\rceil_{w_1})\EE({}_{w_r\cdots w_2}\lfloor w_1)\\
&=A(w_1,\dots,w_r)+\EE(w_1)A(w_2,\dots,w_r)-\EE(w_1\rfloor {}_{w_2\cdots w_r})A({}_{w_1}\lceil(w_2,\dots,w_r))
\end{align}
となることから,
\begin{align}
&(\push\circ\mantar\circ\Eter\circ\mantar)(A)(w_1,\dots,w_r)\\
&=\push(A)(w_1,\dots,w_r)+\EE\left(-u_1-\cdots-u_r\atop -v_r\right)A((w_1,\dots,w_{r-1})\rfloor_{w_r})\\
&\qquad-\EE\left(-u_1-\cdots-u_r\atop -v_1\right)A\left(\begin{matrix}-u_2-\cdots-u_r,u_2,\dots,u_{r-1}\\v_1-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\
&=\push(A)(w_1,\dots,w_r)-A((w_1,\dots,w_{r-1})\rfloor_{w_r})\EE({}_{w_1\cdots w_{r-1}}\lceil w_r)+\EE\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_r}\right)\push(A)\left({}_{w_1}\lfloor(w_2,\dots,w_r)\right)
\end{align}
よって, senary関係式は
\begin{align}
&A(w_1,\dots,w_r)-A(w_1,\dots,w_{r-1})\EE(w_r)+A((w_1,\dots,w_{r-1})\rceil_{w_r})\EE({}_{w_1\cdots w_r}\lfloor w_r)\\
&=\push(A)(w_1,\dots,w_r)-A((w_1,\dots,w_{r-1})\rfloor_{w_r})\EE({}_{w_1\cdots w_{r-1}}\lceil w_r)+\EE\left(w_1\rceil_{w_2\cdots w_r}\right)\push(A)\left({}_{w_1}\lfloor(w_2,\dots,w_r)\right)
\end{align}
で与えられる六項関係式である(senaryは6を意味しており, $\Eter$のterは3を意味するternaryであると思われる).
\begin{align}
\Esena:=\Eter^{-1}\circ \push\circ\mantar\circ\Eter\circ\mantar
\end{align}
とする. 上の右辺の表示から
\begin{align}
\Eter(\Esena(A))&=(\push\circ\mantar\circ\Eter\circ\mantar)(A)\\
&=\answamu(1+\EE,\push(A))-\swamu(\EE,A)
\end{align}
と書けることを後で用いる.
これから, $\Epush$不変であることと, senary関係式を満たすことが同値であることを示す.
\begin{align}
\Eter(\swamu(\es-1,A))=\swamu(\EE,A)
\end{align}
が成り立つ.
補題1と
前の記事
の命題1を用いて計算すると,
\begin{align}
\Eter^{-1}(\swamu(\EE,A))&=\answamu(\swamu(\EE,A),\invmu(\es))\times\es\\
&=\swamu(\answamu(\EE,\invmu(\es))\times\es,A)\\
&=\swamu((1-\invmu(\es))\times\es,A)\\
&=\swamu(\es-1,A)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
\Eter(\swamu(\es,\Epush(A)))&=\answamu(1+\EE,\push(A))
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の命題7の等式
\begin{align}
&\swap(\Epush^{-1}(A))\\
&=((1-\OO)\times\push(\swap(A))+\push(\OO\times\swap(A)-\swamu(\swap(A),\OO)))\times\oz
\end{align}
の両辺に$\invmu(\oz)=1-\OO$を$\times$で右から掛けて$\swap$を考えると, $\swap\circ\push=\push^{-1}\circ\swap$であることにより,
\begin{align}
&\swamu(\Epush^{-1}(A),1-\EE)\\
&=\swap((1-\OO)\times\push(\swap(A))+\push(\OO\times\swap(A)-\swamu(\swap(A),\OO)))\\
&=\swamu(1-\EE,\push^{-1}(A))+\push^{-1}(\swamu(\EE,A)-A\times\EE)
\end{align}
となる. 両辺に$\push$を作用させて
前の記事
の命題2を用いると, 補題2より,
\begin{align}
&\answamu(1+\EE,\push(\Epush^{-1}(A)))\\
&=\answamu(A,1+\EE)+\swamu(\EE,A)-A\times\EE\\
&=\Eter(A)+\Eter(\swamu(\es-1,A))\\
&=\Eter(\swamu(\es,A))
\end{align}
となる. $A$を$\Epush(A)$に置き換えて示すべき等式を得る.
$A\in\LU$に対し,
\begin{align}
(1-\Esena)(A)=\swamu(\es,(1-\Epush)(A))
\end{align}
が成り立つ. 特に, $A$がsenary関係式を満たすことと$\Epush$不変であることは同値である.
補題2の前に述べたことにより,
\begin{align}
\Eter(\Esena(A))=\answamu(1+\EE,\push(A))-\swamu(\EE,A)
\end{align}
である. 補題2, 補題3を用いると, これは
\begin{align}
\Eter(\Esena(A))=\Eter(\swamu(\es,\Epush(A)))-\Eter(\swamu(\es-1,A))
\end{align}
となる. 両辺に$\Eter^{-1}$を作用させて整理することによって示すべき等式を得る.
Dimorphic transport
\begin{align}
\irat(\mantar(A))\circ\mantar=\mantar\circ\irat(\push^{-1}(A))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\irat(\mantar(A))\circ\mantar&=\axit(\mantar(A),-\push(\mantar(A)))\circ\mantar\\
&=\mantar\circ\axit(\mantar\circ\push\circ\mantar(A),-A)\\
&=\mantar\circ\axit(\push^{-1}(A),-A)\\
&=\mantar\circ\irat(\push^{-1}(A))
\end{align}
と示される.
$C$が$\gantar$不変であるとき,
\begin{align}
\axit(A,B)(C)=C\times\axit(A,B)(\mantar(C))\times C
\end{align}
が成り立つ.
$\axit(A,B)$が$\times$に関して導分であることにより,
\begin{align}
0&=\axit(A,B)(C\times\invmu(C))\\
&=\axit(A,B)(C)\times\invmu(C)+C\times\axit(A,B)(\invmu(C))\\
&=\axit(A,B)(C)\times\invmu(C)-C\times\axit(A,B)(\mantar(C))\\
\end{align}
であることから従う.
$A\in\LU, B\in\{\ess,\dess\}$に対し,
\begin{align}
\swamu(B,(1-\push^{-1})(\adari(B)^{-1}(A)))=\gari((1-\Epush^{-1})(A),B)
\end{align}
が成り立つ.
$B=\dess$とする. $C=\push^{-1}(\adari(\dess)^{-1}(A))$とすると, 示すべき等式は
\begin{align}
\swamu(\dess,(\push-1)(C))=\gari((1-\Epush^{-1})(\adari(\dess)(\push(C))),\dess)
\end{align}
となる. これは
\begin{align}
&\Epush^{-1}(\adari(\dess)(\push(C)))\\
&=\adari(\dess)(\push(C))-\fragari(\swamu(\dess,(\push-1)(C)),\dess)\\
&=\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,(\push-1)(C)),\dess)\\
\end{align}
と同値である. よって, $C\in\LU$に対して,
\begin{align}
&\Epush(\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,(\push-1)(C)),\dess))\\
&=\adari(\dess)(\push(C))
\end{align}
を示せばよい. まず, Ecalleの基本等式より,
\begin{align}
&\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,(\push-1)(C)),\dess)\\
&=\swap(\fragira(\preira(\oss,\swap(\push(C)))-\oss\times\swap((\push-1)(C)),\oss))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz))(\fragari(\preira(\oss,\push^{-1}(\swap(C)))-\oss\times(\push^{-1}-1)(\swap(C)),\oss))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz))(\fragari(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\swap(C),\oss))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz))(\garit(\oss)^{-1}(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\swap(C))\times\invgari(\oss))\\
\end{align}
となる. よって,
前の記事
の系2より, $\garit(\oss)$は$\mantar$と可換であるから,
\begin{align}
&(\swap\circ\Omantar\circ\swap)(\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,C),\dess))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz)\circ\mantar)(\garit(\oss)^{-1}(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\swap(C))\times\invgari(\oss))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz))(\invmu(\invgari(\oss))\times\garit(\oss)^{-1}(\mantar(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\swap(C))))\\
\end{align}
となる. ここで, 補題5, 補題6より
\begin{align}
&\mantar(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss))\\
&=\irat(\mantar(\swap(C)))(\mantar(\oss))\\
&=\mantar(\oss)\times\irat(\mantar(\swap(C)))(\oss)\times\mantar(\oss)\\
&=\invmu(\oss)\times\irat(\mantar(\swap(C)))(\oss)\times\invmu(\oss)
\end{align}
であるから, $\garit(X)^{-1}(X)=\invmu(\invgari(X))$であることも用いると,
\begin{align}
&\garit(\oss)^{-1}(\mantar(\irat(\push^{-1}(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\swap(C)))\\
&=\garit(\oss)^{-1}(\invmu(\oss)\times\irat(\mantar(\swap(C)))(\oss)\times\invmu(\oss)\\
&\qquad\qquad\qquad\qquad+\mantar(\swap(C))\times\invmu(\oss))\\
&=\invgari(\oss)\times\garit(\oss)^{-1}(\irat(\mantar(\swap(C)))(\oss)+\oss\times\mantar(\swap(C)))\times\invgari(\oss)\\
&=\invgari(\oss)\times\fragari(\preira(\oss,\mantar(\swap(C))),\oss)
\end{align}
となる. よって, これを代入すると, Ecalleの基本等式より,
\begin{align}
&(\swap\circ\Omantar\circ\swap)(\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,C),\dess))\\
&=(\swap\circ\ganit(\oz))(\fragari(\preira(\oss,\mantar(\swap(C))),\oss))\\
&=\swap(\fragira(\preira(\oss,\mantar(\swap(C))),\oss))\\
&=\fragari(\preari(\dess,\swap(\mantar(\swap(C)))),\dess)\\
&=\adari(\dess)(\swap(\mantar(\swap(C))))
\end{align}
となる. ここで,
前の記事
の系1から
\begin{align}
&\mantar(\adari(\dess)(\swap(\mantar(\swap(C)))))\\
&=\adari(\dess)(\mantar(\swap(\mantar(\swap(C)))))\\
&=\adari(\dess)(\neg(\push(C)))
\end{align}
であり,
前の記事
の定理4の証明における議論と全く同様に$\Eneg=\adari(\dess)\circ\neg\circ\adari(\dess)^{-1}$となることから($\slash(\dess)=\es$であることによる),
\begin{align}
&\Epush(\fragari(\preari(\dess,\push(C))-\swamu(\dess,(\push-1)(C)),\dess))\\
&=\Eneg(\adari(\dess)(\neg(\push(C))))\\
&=\adari(\dess)(\push(C))
\end{align}
となって示すべき等式が得られた. $B=\ess$の方も全く同様の議論により示される.
$\ARI$の元の中で$\Epush$不変な元全体を$\ARI_{\Epush}$とする. このとき, 定理7から, $B\in\{\ess,\dess\}$に対し, $\adari(B)^{-1}(A)\in\ARI_{\push}$と$A\in\ARI_{\Epush}$は同値である. 特に以下を得る.
$B\in\{\ess,\dess\}$に対し,
\begin{align}
\adari(B):\ARI_{\push}\to\ARI_{\Epush}
\end{align}
は線形同型を与える. 特に, $\ARI_{\Epush}$は$\ARI$の部分Lie代数になる.
