Flexion unit11: ARIの部分Lie代数

定義から,
\begin{align} \neg(A\times B)&=\neg(A)\times\neg(B)\\ \neg(\amit(B)(A))&=\amit(\neg(B))(\neg(A))\\ \neg(\anit(B)(A))&=\anit(\neg(B))(\neg(A)) \end{align}
などが分かるので,
\begin{align} \neg(\ari(A,B))&=\ari(\neg(A),\neg(B)) \end{align}
である. よって, $A,B\in\ARI_{\neg}$ならば, $\ari(A,B)\in\ARI_{\neg}$である.

\begin{align} \mantar=-\pari\circ\anti \end{align}
であり,
\begin{align} \pari(A\times B)&=\pari(A)\times\pari(B)\\ \pari(\amit(B)(A))&=\amit(\pari(B))(\pari(A))\\ \pari(\anit(B)(A))&=\anit(\pari(B))(\pari(A))\\ \anti(A\times B)&=\anti(B)\times\anti(A)\\ \anti(\amit(B)(A))&=\anit(\anti(B))(\anti(A))\\ \anti(\anit(B)(A))&=\amit(\anti(B))(\anti(A)) \end{align}
が成り立つことから,
\begin{align} \mantar(A\times B)&=-\mantar(B)\times\mantar(A)\\ \mantar(\amit(B)(A))&=-\anit(\mantar(B))(\mantar(A))\\ \mantar(\anit(B)(A))&=-\amit(\mantar(B))(\mantar(A)) \end{align}
である. よって,
\begin{align} \mantar(\arit(B)(A))&=\arit(\mantar(B))(\mantar(A))\\ \mantar(\lu(A,B))&=\lu(\mantar(A),\mantar(B))\\ \mantar(\ari(A,B))&=\ari(\mantar(A),\mantar(B)) \end{align}
となる. これより, $A,B\in\ARI_{\mantar}$ならば$\ari(A,B)\in\ARI_{\mantar}$である.

$A,B\in\ARI$に対し,
\begin{align} &\push(A\times B)(w_1,\dots,w_r)\\ &=(A\times B)\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=0}^{r-1}A\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{i}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_i-v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_{r-1}\\v_{i+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=0}^{r-1}\push(A)\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_{i},u_{i+1}+\cdots+u_r\\v_1,\dots,v_{i},v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_{r-1}\\v_{i+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=0}^{r-1}\push(A)\left(w_1\cdots w_{i},{}_{w_{i+1}\cdots w_{r-1}}\lceil w_r\right)B\left(\begin{matrix}(w_{i+1}\cdots w_{r-1})\rfloor{}_{w_r}\end{matrix}\right) \end{align}
である. また,
\begin{align} &\push(\amit(B)(A))(w_1,\dots,w_r)\\ &=\amit(B)(A)\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r-1}A\left(\begin{matrix}-u_{i+1}-\cdots-u_r,u_{i+1},\dots,u_{r-1}\\v_{i}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{i-1}\\-v_{i},v_1-v_{i},\dots,v_{i-1}-v_{i}\end{matrix}\right)\\ &\qquad+\sum_{0\leq i< j< r-1} A\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_i,u_{i+1}+\cdots+u_{j+1},u_{j+2},\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_i-v_r,v_{j+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_j\\v_{i+1}-v_{j+1},\dots,v_j-v_{j+1}\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r-1}\push(A)({}_{w_1\cdots w_i}\lfloor(w_{i+1}\dots w_r))\push(B)(w_1\dots w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_r})\\ &\qquad+\sum_{0\leq i< j< r-1}\push(A)\left(\begin{matrix}w_1\cdots w_i,{}_{w_{i+1}\cdots w_j}\lceil w_{j+1}\cdots w_r\end{matrix}\right)B\left((w_{i+1}\cdots w_j)\rfloor_{w_{j+1}\cdots w_r}\right) \end{align}
であるから, これらを足し合わせて,
\begin{align} \push(\preami(A,B))&=\amit(B)(\push(A))+\swamu(\push(A),\push(B)) \end{align}
となる. 次に,
\begin{align} &\push(\anit(B)(A))(w_1,\dots,w_r)\\ &=\anit(B)(A)\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r-1}A\left(\begin{matrix}-u_{i+1}-\cdots-u_r,u_{i+1},\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_{i+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_1,\dots,u_i\\v_1,\dots,v_i\end{matrix}\right)\\ &\qquad+\sum_{1\leq i< j< r} A\left(\begin{matrix}-u_1-\cdots-u_r,u_1,\dots,u_{i-1},u_i+\cdots+u_j,u_{j+1},\dots,u_{r-1}\\-v_r,v_1-v_r,\dots,v_i-v_r,v_{j+1}-v_r,\dots,v_{r-1}-v_r\end{matrix}\right)B\left(\begin{matrix}u_{i+1},\dots,u_j\\v_{i+1}-v_i,\dots,v_j-v_i\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{i=1}^{r-1}B(w_1,\dots,w_i)\push(A)(w_{i+1},\dots,w_r)+\sum_{1\leq i< j< r} \push(A)\left(w_1\cdots w_i\rceil_{w_{i+1}\cdots w_j},w_{j+1}\cdots w_r\right)B\left({}_{w_i}\lfloor(w_{i+1}\cdots w_j)\right)\\ &=(\anit(B)(\push(A))+B\times \push(A)-\swamu(B,\push(A)))(w_1,\dots,w_r) \end{align}
となって示すべき等式を得る.

\begin{align} &\sum_{i=1}^r(A\times B)(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\ &=\sum_{1\leq i\leq j\leq r}A(w_{i+1},\cdots, w_j)B(w_{j+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\ &\qquad+\sum_{1\leq j\leq i\leq r}A(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_j)B(w_{j+1},\dots,w_i) \end{align}
は$A,B$に関して対称であるから,
\begin{align} &\sum_{i=1}^r\lu(A,B)(w_{i+1},\dots,w_r,w_1,\dots,w_i)\\ \end{align}
である. よって, $\lu(A,B)$は$\pus$-neutralである. $\amit(B)(A)$は$A,B$に関して線形なので, $A,B$をそれぞれ長さ$a,b$のbimouldとして示せば十分である. そのとき, $r=a+b$に対し,
\begin{align} \amit(B)(A)(w_1,\dots,w_r)=\sum_{i=0}^{a-1}A(w_1\cdots w_i,{}_{w_{i+1}\cdots w_{i+b}}\lceil w_{i+b+1}\cdots w_r)B((w_{i+1}\cdots w_{i+b}){\rfloor}_{w_{i+b+1}}) \end{align}
となる. $w_{i+r}:=w_i$を満たすように$w_i$の添字$i$を整数全体に拡張すると,
\begin{align} &\sum_{j=1}^r(A\times B)(w_{j+1},\dots,w_r,w_1,\cdots,w_j)\\ &=\sum_{j=1}^r\sum_{i=0}^{a-1}A(w_{j+1}\cdots w_{j+i},{}_{w_{j+i+1}\cdots w_{j+i+b}}\lceil w_{j+i+b+1}\dots w_{j+r})B((w_{j+i+1}\cdots w_{j+i+b}){\rfloor}_{w_{j+i+b+1}})\\ &=\sum_{j=1}^r\sum_{i=0}^{a-1}A(w_{j-i+1}\cdots w_{j},{}_{w_{j+1}\cdots w_{j+b}}\lceil w_{j+b+1}\cdots w_{j-i+r})B((w_{j+1}\cdots w_{j+b}){\rfloor}_{w_{j+b+1}})\qquad(j\mapsto j-i)\\ &=\sum_{j=1}^rB((w_{j+1}\cdots w_{j+b}){\rfloor}_{w_{j+b+1}})\sum_{i=0}^{a-1}A(w_{j-i+1}\cdots w_{j},{}_{w_{j+1}\cdots w_{j+b}}\lceil w_{j+b+1}\cdots w_{j-i+r}) \end{align}
ここで, $A$が$\pus$-neutralであることにより,
\begin{align} &\sum_{i=0}^{a-1}A(w_{j-i+1}\cdots w_{j},{}_{w_{j+1}\cdots w_{j+b}}\lceil w_{j+b+1}\cdots w_{j-i+r})\\ &=(1+\pus+\cdots+\pus^{a-1})A({}_{w_{j+1}\cdots w_{j+b}}\lceil w_{j+b+1}\cdots w_{j+r})\\ &=0 \end{align}
が成り立つ. よって, $\amit(B)(A)\in\ARI_{\pusnu}$である. $\anit(B)(A)$は$\amit(B)(A)$の左右を入れ替えたものであり, $\pus$-neutralであることは左右に関して対称な条件であるから, $\anit(B)(A)\in\ARI_{\pusnu}$である.

$A,B\in\ARI_{\push/\pusnu}$とする. 命題4より, $\ari(A,B)\in\ARI_{\push}$である. $A,B$は$\push$不変であることから, 前の記事 の系5より,
\begin{align} \swap(\ari(A,B))=\ari(\swap(A),\swap(B)) \end{align}
である. $\swap(A),\swap(B)\in\ARI_{\pusnu}$であるから, 命題5より, $\swap(\ari(A,B))\in\ARI_{\pusnu}$となって示すべきことが得られる.