二項定理の二重類似
前の記事
でGaussの超幾何定理の二重化
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,d)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a+b-c-d)}{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)}
\end{align}
を示したが, 今回はその方向への二項定理
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}t^n&=(1-t)^{-a}
\end{align}
の二重化を示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n\leq m}\frac{(a)_n}{n!}s^n\frac{(b)_m}{(a)_{m+1}}t^m&=(1-t)^{-b}\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!(n+a)}(1-s)^n\left(\frac{t}{t-1}\right)^n \end{align}
前の記事
で示した部分分数分解
\begin{align}
\frac{(a)_n}{(a)_{m+1}}&=\sum_{j=n}^{m}\frac 1{j+a}\frac{(-1)^{j-n}}{(j-n)!(m-j)!}
\end{align}
を用いると, 二項定理より
\begin{align}
\sum_{0\leq n\leq m}\frac{(a)_n}{n!}s^n\frac{(b)_m}{(a)_{m+1}}t^m&=\sum_{0\leq n}\frac{s^n}{n!}(b)_mt^m\sum_{j=n}^{m}\frac 1{j+a}\frac{(-1)^{j-n}}{(j-n)!(m-j)!}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j}{j!(j+a)}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(-j)_n}{n!}s^n\right)\left(\sum_{0\leq m}\frac{(b)_m}{(m-j)!}t^m\right)\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j}{j!(j+a)}(1-s)^j(b)_j(1-t)^{-b-j}
\end{align}
となって定理が示される.
特に$s=t^{-1}$のとき以下のようによりシンプルな形になる.
\begin{align} \sum_{0\leq n\leq m}\frac{(a)_n}{n!}t^{-n}\frac{(b)_m}{(a)_{n+1}}t^m&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}(1-t)^{-b} \end{align}
定理1とベータ積分より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n\leq m}\frac{(a)_n}{n!}t^{-n}\frac{(b)_m}{(a)_{m+1}}t^m&=(1-t)^{-b}\sum_{0\leq n}\frac{(b)_n}{n!(n+a)}\\
&=(1-t)^{-b}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{-b}\,dx\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-b)}(1-t)^{-b}
\end{align}
と示される.
系1は, Gaussの超幾何定理の二重類似
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,d)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a+b-c-d)}{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)}
\end{align}
において$b=ct$として, $b\to\infty$として導出することもできるので, その特別な場合であるとも言える.
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