二項定理の二重類似

前の記事 で示した部分分数分解
$$\begin{array}{rl}\frac{(a{)}_n}{(a{)}_{m+1}}& =\sum _{j=n}^m\frac{1}{j+a}\frac{(-1{)}^{j-n}}{(j-n)!(m-j)!}\end{array}$$
を用いると, 二項定理より
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n\le m}\frac{(a{)}_n}{n!}{s}^n\frac{(b{)}_m}{(a{)}_{m+1}}{t}^m& =\sum _{0\le n}\frac{s^n}{n!}(b{)}_m{t}^m\sum _{j=n}^m\frac{1}{j+a}\frac{(-1{)}^{j-n}}{(j-n)!(m-j)!}\\ & =\sum _{0\le j}\frac{(-1{)}^j}{j!(j+a)}\left(\sum _{0\le n}\frac{(-j{)}_n}{n!}{s}^n\right)\left(\sum _{0\le m}\frac{(b{)}_m}{(m-j)!}{t}^m\right)\\ & =\sum _{0\le j}\frac{(-1{)}^j}{j!(j+a)}(1-s{)}^j(b{)}_j(1-t{)}^{-b-j}\end{array}$$
となって定理が示される.

定理1とベータ積分より,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n\le m}\frac{(a{)}_n}{n!}{t}^{-n}\frac{(b{)}_m}{(a{)}_{m+1}}{t}^m& =(1-t{)}^{-b}\sum _{0\le n}\frac{(b{)}_n}{n!(n+a)}\\ & =(1-t{)}^{-b}{\int }_0^1{x}^{a-1}(1-x{)}^{-b}dx\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(1-b)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)}(1-t{)}^{-b}\end{array}$$
と示される.