Gaussの超幾何定理の二重類似

まず,
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^x{s}^{k+b-1}(1-s{)}^{c-b-1}ds& =\frac{(b{)}_k}{(c{)}_k}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{(c{)}_n}{(b{)}_{n+1}}{x}^{n+b}(1-x{)}^{c-b}\end{array}$$
が成り立つことが両辺の$x$に関する微分が等しいことから確かめられる. これを用いると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(c,d{)}_n}{(a,b{)}_{n+1}}\sum _{k=0}^n\frac{(a,b{)}_k}{k!(c{)}_k}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)}{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le k}\frac{(a{)}_k}{k!}\frac{(b{)}_k}{(c{)}_k}\sum _{n=k}^{\mathrm{\infty }}\frac{(c{)}_n}{(b{)}_{n+1}}{\int }_0^1{t}^{n+d-1}(1-t{)}^{a-d}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)}{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}\sum _{0\le k}\frac{(a{)}_k}{k!}{\int }_{0<s<t<1}{s}^{k+b-1}(1-s{)}^{c-b-1}{t}^{d-b-1}(1-t{)}^{a+b-c-d}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)}{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)}{\int }_{0<s<t<1}{s}^{b-1}(1-s{)}^{c-a-b-1}{t}^{d-b-1}(1-t{)}^{a+b-c-d}dt\end{array}$$
となる. ここで, 定理1を用いると
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{0<s<t<1}{s}^{b-1}(1-s{)}^{c-a-b-1}{t}^{d-b-1}(1-t{)}^{a+b-c-d}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c-d)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(1-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c)\mathrm{\Gamma }(1+b-d)}\end{array}$$
が得られるから, これを代入して定理を得る.

Watsonによる 超幾何級数の部分和の公式
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^n\frac{(a,b{)}_k}{k!(c{)}_k}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a+n+1)\mathrm{\Gamma }(b+n+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(a+b+n+1)}\sum _{0\le k}\frac{(a,b,c+n{)}_k}{k!(c,a+b+n+1{)}_k}\end{array}$$
を用いると,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n}\frac{(c,d{)}_n}{(a,b{)}_{n+1}}\sum _{k=0}^n\frac{(a,b{)}_k}{k!(c{)}_k}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(c)}\sum _{0\le n}\frac{(d{)}_n}{n!}\sum _{0\le k}\frac{(a,b{)}_k\mathrm{\Gamma }(c+n+k)}{k!(c{)}_k\mathrm{\Gamma }(a+b+n+k+1)}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c)}\sum _{0\le n}\frac{(d{)}_n}{n!}\sum _{0\le k}\frac{(a,b{)}_k}{k!(c{)}_k}{\int }_0^1{t}^{c+n+k-1}(1-t{)}^{a+b-c}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c)}\sum _{0\le k}\frac{(a,b{)}_k}{k!(c{)}_k}{\int }_0^1{t}^{c+k-1}(1-t{)}^{a+b-c-d}dt\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-d)}\sum _{0\le k}\frac{(a,b{)}_k}{k!(1+a+b-d{)}_k}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c-d)\mathrm{\Gamma }(1-d)}{\mathrm{\Gamma }(1+a+b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+b-d)}\end{array}$$
を得る. 最後の等号はGaussの超幾何定理による.