Gaussの超幾何定理の二重類似2
前回の記事 でGaussの超幾何定理の二重類似
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,d)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a+b-c-d)}{\Gamma(1+a+b-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)} \end{align}
を示した. 上の等式において$N$を非負整数として$d=-N$とすると, Vandermondeの恒等式の以下の二重類似を得ることができる.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\frac{N!(1+a+b-c)_N}{(a,b)_{N+1}} \end{align}
今回はこの等式について部分分数分解を用いて別の証明を与える. 使われるのは次の補題である.
$k\leq n$が整数のとき,
\begin{align}
\frac{(a)_k}{(a)_{n+1}}&=\sum_{j=k}^n\frac{1}{j+a}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!(n-j)!}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\frac{(a)_k}{(a)_{n+1}}&=\prod_{j=k}^n\frac 1{k+a}\\
&=\sum_{j=k}^n\frac{c_j}{j+a}
\end{align}
と部分分数分解したときの係数$c_j$は
\begin{align}
c_j&=\lim_{a\to -j}(j+a)\prod_{i=k}^n\frac 1{i+a}\\
&=\prod_{k\leq i\leq n, i\neq j}\frac 1{i-j}\\
&=\frac {(-1)^{j-k}}{(j-k)!(n-j)!}
\end{align}
と求められる.
補題2より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(a,b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}&=\sum_{0\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(b)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(b)_k}{k!(c)_k}\sum_{k\leq j\leq n}\frac 1{j+a}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!(n-j)!}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac 1{j+a}\left(\sum_{j\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(b)_{n+1}(n-j)!}\right)\left(\sum_{0\leq k}\frac{(b)_k}{k!(c)_k}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!}\right)
\end{align}
それぞれ, Vandermondeの恒等式より,
\begin{align}
\sum_{j\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(b)_{n+1}(n-j)!}&=\frac{(c,-N)_j}{(b)_{j+1}}\sum_{0\leq n}\frac{(c+j,j-N)_n}{(b+j+1)_{n}n!}\\
&=\frac{(c,-N)_j}{(b)_{j+1}}\frac{(b-c+1)_{N-j}}{(b+j+1)_{N-j}}\\
&=\frac{(b-c+1)_{N}}{(b)_{N+1}}\frac{(-1)^j(c,-N)_j}{(c-b-N)_j}\\
\sum_{0\leq k}\frac{(b)_k}{k!(c)_k}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!}&=\frac{(-1)^j}{j!}\frac{(c-b)_j}{(c)_j}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq j}\frac 1{j+a}\left(\sum_{j\leq n}\frac{(c,-N)_n}{(b)_{n+1}(n-j)!}\right)\left(\sum_{0\leq k}\frac{(b)_k}{k!(c)_k}\frac{(-1)^{j-k}}{(j-k)!}\right)\\
&=\frac{(b-c+1)_{N}}{(b)_{N+1}}\sum_{0\leq j}\frac 1{j+a}\frac{(-N,c-b)_j}{j!(c-b-N)_j}\\
&=\frac{(b-c+1)_{N}}{a(b)_{N+1}}\F32{a,c-b,-N}{a+1,c-b-N}1
\end{align}
である. ここで,
Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
\F32{a,c-b,-N}{a+1,c-b-N}1&=\frac{N!(1+a+b-c)_N}{(a+1,1+b-c)_N}
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
このように, 有限和の場合は部分分数分解と超幾何級数の和公式を用いたシンプルな証明が与えられることが分かった. この手法は, 他にも様々な場合に適用できることが分かっている. また, 有限和の場合を上手く補間することによって無限和の場合も示すことができると思われる.
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