Schurの分割関数の二重級数表示
自然数の分割$(\lambda_1,\dots,\lambda_m)$が$d$-差的であるとは全ての$1\leq i\leq m-1$に対し, $\lambda_i-\lambda_{i+1}\geq d$が成り立つことをいう.
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でSchurの分割定理を示した. $(\lambda_1,\dots,\lambda_m)$が$3$-差的かつ$\lambda_i$が$3$の倍数のときは$\lambda_i-\lambda_{i+1}>3$であるようなもの全体の集合を$\mathcal{S}$とする.
\begin{align}
f(x):=\sum_{\substack{\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_m)\in\mathcal{S}}}x^{m}q^{\lambda_1+\cdots+\lambda_m}
\end{align}
とするとき,
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の定理3は
\begin{align}
f(x)=(x;q^3)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(-q,-q^2;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}x^n
\end{align}
と表される. 今回はこの$f(x)$の二重級数表示である以下の結果を示す.
\begin{align} f(x)=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{\binom m2+(m+3n)^2}x^{m+2n}}{(q;q)_m(q^6;q^6)_n} \end{align}
Andrews-Bringmann-Mahlburgの論文においては組合せ論的な議論が用いられているが, ここでは$q$超幾何級数の観点から示したいと思う.
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の定理3より
\begin{align}
f(x)&=(x;q^3)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(-q,-q^2;q^3)_n}{(q^3;q^3)_n}x^n\\
&=\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(-q,-q^2;q^3)_k}{(q^3;q^3)_k}\frac{(-1)^{n-k}q^{3\binom{n-k}2}}{(q^3;q^3)_{n-k}}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(-x)^nq^{3\binom n2}}{(q^3;q^3)_n}\Q32{-q,-q^2,q^{-3n}}{0,0}{q^3;q^3}
\end{align}
を得る. ここで,
Searsの変換公式
において$c,f\to 0$として得られる式
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{d,e}{q}&=\frac{(e/a;q)_n}{(e;q)_n}a^n\Q32{a,d/b,q^{-n}}{d,aq^{1-n}/e}{\frac{bq}e}
\end{align}
においてさらに$ d,e\to 0$として
\begin{align}
\Q32{a,b,q^{-n}}{0,0}{q}&=a^n\Q20{a,q^{-n}}{-}{\frac{bq^n}a}
\end{align}
を得る. よって, これを用いると
\begin{align}
\Q32{-q,-q^2,q^{-3n}}{0,0}{q^3;q^3}&=(-q)^n\Q20{-q,q^{-3n}}{-}{q^3;q^{3n+1}}\\
&=(-q)^n(q^3;q^3)_n\sum_{k=0}^n\frac{(-q;q^3)_k}{(q^3;q^3)_k(q^3;q^3)_{n-k}}q^{3k}
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
f(x)&=\sum_{0\leq n}x^nq^{3\binom n2+n}\sum_{k=0}^n\frac{(-q;q^3)_k}{(q^3;q^3)_k(q^3;q^3)_{n-k}}q^{k}
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}x^n\sum_{k=0}^n\frac{(-q;q^3)_k}{(q^3;q^3)_k(q^3;q^3)_{n-k}}q^{k}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(-q;q^3)_m}{(q^3;q^3)_m}q^{m}x^m\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{(q^3;q^3)_n}\\
&=\frac{(-xq^2;q^3)_{\infty}}{(x,xq;q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(x^2q^4;q^6)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{3n^2+n}}{(q;q)_m(q^6;q^6)_n}x^{m+2n}
\end{align}
であるから, $x^n$の係数を$q^{3\binom n2+n}$倍して,
\begin{align}
f(x)&=\sum_{0\leq n}x^nq^{3\binom n2+n}\sum_{k=0}^n\frac{(-q;q^3)_k}{(q^3;q^3)_k(q^3;q^3)_{n-k}}q^{k}\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{3n^2+n}}{(q;q)_m(q^6;q^6)_n}q^{3\binom{m+2n}2+m+2n}x^{m+2n}\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{\binom m2+(m+3n)^2}x^{m+2n}}{(q;q)_m(q^6;q^6)_n}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
特に$x=1$として, Schurの分割定理は以下のように表される.
\begin{align}
\sum_{0\leq m,n}\frac{(-1)^nq^{\binom m2+(m+3n)^2}}{(q;q)_m(q^6;q^6)_n}=\frac 1{(q,q^5;q^6)_{\infty}}
\end{align}
