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AndrewsによるSchurの分割定理の証明

前回の記事で, Rogers-Ramanujanの分割定理を示した.

自然数の分割 $(λ_{1}, \dots, λ_{m})$ が $d$ -差的であるとは全ての $1 \leq i \leq m - 1$ に対し, $λ_{i} - λ_{i + 1} \geq d$ であることをいう.

Rogers-Ramanujanの分割定理においては, $2$ -差的な分割が現れた. その類似として以下の定理が知られている.

Schurの分割定理

$N$ の分割 $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ で $3$ -差的かつ, $1 \leq i \leq n - 1$ に対し, $λ_{i}$ が $3$ の倍数ならば $λ_{i} - λ_{i + 1} > 3$ であるようなものの個数は, $N$ の分割でその和因子が $6$ を法として $1, 5$ と合同であるものの個数に等しい.

統一的な観点から考えるために, 次のような定義をする.

$B_{d} (N)$ を $N$ の分割 $(λ_{1}, \dots, λ_{n})$ であり, $d$ -差的かつ, $1 \leq i \leq n - 1$ に対し, $λ_{i}$ が $d$ の倍数ならば $λ_{i} - λ_{i + 1} > d$ であるようなものの個数とする. また, $C_{d} (N)$ を上の条件を満たす分割であって, さらに $λ_{n} > d$ を満たすものの個数とする.

2つのRogers-Ramanujanの分割定理は $B_{1} (N)$ が $N$ の $5$ を法として $1, 4$ に合同な和因子による分割の個数と等しいことと, $C_{1} (N)$ が $N$ の $5$ を法として $2, 3$ に合同な和因子による分割の個数と等しいことを意味している. また, Schurの分割定理は, $B_{3} (N)$ が $N$ の $6$ を法として $1, 5$ と合同な和因子による分割と等しいことを意味している. 他に, $B_{2} (N), C_{2} (N)$ に関しても, Göllnitz, Gordonによる分割定理が知られている.
今回は, Schurの分割定理をAndrewsによる方法で示す. まず, $B_{3} (N)$ の定義の条件を満たす, $n$ の $m$ 個の和因子への分割であって, 全ての和因子が $j$ より大きいものの個数を $b_{j} (m, n)$ とする.

以下の等式が成り立つ.
$\begin{aligned} b_{0} (m, n) - b_{1} (m, n) & = b_{0} (m - 1, n - 3 m + 2) \\ b_{1} (m, n) - b_{2} (m, n) & = b_{1} (m - 1, n - 3 m + 1) \\ b_{2} (m, n) - b_{3} (m, n) & = b_{3} (m - 1, n - 3 m) \\ b_{3} (m, n) & = b_{0} (m, n - 3 m) \end{aligned}$

1つ目の等式の右辺は $b_{0} (m, n)$ の条件を満たす分割の中で, $1$ を和因子に持つ分割の個数である. $3$ を引くという操作は $3$ の倍数であるという性質を変えないので, そのような分割に対してその $1$ を除いて, 残りの全ての和因子から $3$ を引いたものは, $b_{0} (m - 1, n - 3 m + 2)$ の条件を満たす分割になっている. これが全単射を与えている. 2つ目以降の等式も同様である.

$\begin{array}{r} f_{i} (x) := 1 + \sum_{0 < m, n} b_{i} (m, n) x^{m} q^{n} \end{array}$
と定義する.

Andrews(1968)

$\begin{aligned} f_{0} (x) & = (x; q^{3})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q, - q^{2}; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{n}} x^{n} \\ = \frac{(- x; q)_{\infty}}{(x^{2}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} x^{2 n} q^{\frac{1}{2} (9 n^{2} - 3 n)} (1 - x q^{6 n}) \frac{(- q; q)_{3 n}}{(- x; q)_{3 n}} \frac{(x^{2}; q^{6})_{n}}{(q^{6}; q^{6})_{n}} \end{aligned}$

と, 補題2は
$\begin{aligned} f_{0} (x) - f_{1} (x) & = x q f_{0} (x q^{3}) \\ f_{1} (x) - f_{2} (x) & = x q^{2} f_{1} (x q^{3}) \\ f_{2} (x) - f_{3} (x) & = x q^{3} f_{3} (x q^{3}) \\ f_{3} (x) & = f_{0} (x q^{3}) \end{aligned}$
と書き換えられる. 1つ目の等式より,
$\begin{aligned} f_{1} (x) & = f_{0} (x) - x q f_{0} (x q^{3}) \end{aligned}$
3つ目, 4つ目の等式より,
$\begin{array}{r} f_{2} (x) = f_{0} (x q^{3}) + x q^{3} f_{0} (x q^{6}) \end{array}$
これらを2つ目の式に代入すると,
$\begin{aligned} f_{0} (x) & = (1 + x q + x q^{2}) f_{0} (x q^{3}) - x q^{3} (1 - x q^{3}) f_{0} (x q^{6}) \end{aligned}$
を得る.
$\begin{aligned} G (x) & := \frac{f_{0} (x)}{(x; q^{3})_{\infty}} \end{aligned}$
とすると, これは
$\begin{array}{r} (1 - x) G (x) = (1 + x q + x q^{2}) G (x q^{3}) - x q^{3} G (x q^{6}) \end{array}$
と表される.
$\begin{aligned} G (x) & =: \sum_{0 \leq n} A_{n} (q) x^{n} \end{aligned}$
とすると, $A_{0} (q) = 1$
$\begin{aligned} A_{n} (q) - A_{n - 1} (q) & = q^{3 n} A_{n} (q) + q^{3 n - 2} A_{n - 1} (q) + q^{3 n - 1} A_{n - 1} (q) + q^{6 n - 3} A_{n - 1} (q), n \geq 1 \end{aligned}$
つまり,
$\begin{aligned} A_{n} (q) & = \frac{(1 + q^{3 n - 1}) (1 + q^{3 n - 2})}{1 - q^{3 n}} A_{n - 1} (q), n \geq 1 \end{aligned}$
を得る. よって, これを繰り返し用いて,
$\begin{aligned} A_{n} (q) & = \prod_{j = 1}^{n} \frac{(1 + q^{3 j - 1}) (1 + q^{3 j - 2})}{1 - q^{3 j}} \\ = \frac{(- q, - q^{2}; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{n}} \end{aligned}$
を得る. よって,
$\begin{aligned} f_{0} (x) & = (x; q^{3})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q, - q^{2}; q^{3})_{n}}{(q^{3}; q^{3})_{n}} x^{n} \end{aligned}$
である. 次に, Watsonの $_{8} ϕ_{7}$ 変換公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - a q^{2 k}}{1 - a} \frac{(a, b, c, d, e, q^{- n}; q)_{k}}{(q, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{n + 1}; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q^{n + 2}}{b c d e})}^{k} \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(a q / b c, d, e, q^{- n}; q)_{k}}{(q, a q / b, a q / c, d e q^{- n} / a; q)_{k}} q^{k} \end{aligned}$
において, $n, b, c \to \infty$ としてから, $q \mapsto q^{3}, a \mapsto x, d \mapsto - q, e \mapsto - q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - x q^{6 k}}{1 - x} \frac{(x, - q, - q^{2}; q^{3})_{k}}{(q^{3}, - x q, - x q^{2}; q^{3})_{k}} (- 1)^{k} q^{9 (\binom{k}{2})} (x^{2} q^{3})^{k} \\ = \frac{(x q^{3}, x; q^{3})_{\infty}}{(- x q, - x q^{2}; q^{3})_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(- q, - q^{2}; q^{3})_{k}}{(q^{3}; q^{3})_{k}} x^{k} \end{aligned}$
となる. よって,
$\begin{aligned} f_{0} (x) & = (x; q^{3})_{\infty} \sum_{0 \leq k} \frac{(- q, - q^{2}; q^{3})_{k}}{(q^{3}; q^{3})_{k}} x^{k} \\ = \frac{(- x q, - x q^{2}; q^{3})_{\infty}}{(x; q^{3})_{\infty}} \sum_{0 \leq k} (1 - x q^{6 k}) \frac{(x, - q, - q^{2}; q^{3})_{k}}{(q^{3}, - x q, - x q^{2}; q^{3})_{k}} (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}} x^{2 k} \\ = \frac{(- x; q)_{\infty}}{(x, - x; q^{3})_{\infty}} \sum_{0 \leq k} (1 - x q^{6 k}) \frac{(x, - x; q^{3})_{k} (- q; q)_{3 k}}{(q^{3}, - q^{3}; q^{3})_{k} (- x; q)_{3 k}} (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}} x^{2 k} \\ = \frac{(- x; q)_{\infty}}{(x^{2}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq k} (1 - x q^{6 k}) \frac{(x^{2}; q^{6})_{k} (- q; q)_{3 k}}{(q^{6}; q^{6})_{k} (- x; q)_{3 k}} (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}} x^{2 k} \end{aligned}$
となって定理を得る.

定理3から, Schurの分割定理は以下のように示される.

定理1の証明

Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} 1 + \sum_{0 < n} B_{3} (n) q^{n} & = lim_{x \to 1} f_{0} (x) \\ = lim_{x \to 1} \frac{(- x; q)_{\infty}}{(x^{2}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq k} (1 - x q^{6 k}) \frac{(x^{2}; q^{6})_{k} (- q; q)_{3 k}}{(q^{6}; q^{6})_{k} (- x; q)_{3 k}} (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}} x^{2 k} \\ = \frac{(- 1; q)_{\infty}}{2 (q^{6}; q^{6})_{\infty}} (1 + \sum_{0 < k} (1 + q^{3 k}) (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}}) \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{k \in Z} (- 1)^{k} q^{\frac{9 k^{2} - 3 k}{2}} \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} (q^{3}, q^{6}, q^{9}; q^{9})_{\infty} \\ = \frac{(- q; q)_{\infty} (q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}; q^{2})_{\infty} (q^{3}; q^{3})_{\infty}}{(q; q)_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}, q^{4}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty}}{(q, q^{2}, q^{3}, q^{4}, q^{5}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{6}; q^{6})_{\infty}} \\ = \frac{1}{(q, q^{5}; q^{6})_{\infty}} \end{aligned}$
となるから, この両辺の係数を比較して定理を得る.

定理3の系として, $C_{3} (n)$ の母関数の表示も得ることができる.

$\begin{aligned} 1 + \sum_{0 < n} C_{3} (n) q^{n} & = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}} (1 - q^{6 n + 3})}{(1 + q^{3 n + 1}) (1 + q^{3 n + 2})} \end{aligned}$

定理3の証明における等式,
$\begin{aligned} f_{3} (x) & = f_{0} (x q^{3}) \end{aligned}$
より, 定理3を用いて
$\begin{aligned} 1 + \sum_{0 < n} C_{3} (n) q^{n} & = f_{3} (1) \\ = f_{0} (q^{3}) \\ = \frac{(- q^{3}; q)_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}} (1 - q^{6 n + 3}) \frac{(1 + q) (1 + q^{2})}{(1 + q^{3 n + 1}) (1 + q^{3 n + 2})} \\ = \frac{(- q; q)_{\infty}}{(q^{6}; q^{6})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}} (1 - q^{6 n + 3})}{(1 + q^{3 n + 1}) (1 + q^{3 n + 2})} \end{aligned}$
と示される.

この系は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}} (1 - q^{6 n + 3})}{(1 + q^{3 n + 1}) (1 + q^{3 n + 2})} & = \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}} (\frac{1}{1 + q^{3 n + 1}} - \frac{1}{1 + q^{- 3 n - 2}}) \\ = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} \frac{q^{\frac{9 n (n + 1)}{2}}}{1 + q^{3 n + 1}} \end{aligned}$
と変形すればより簡潔に表すこともできる. これはAppell-Lerch型の級数である.