【超フィルター】点列を用いずに距離空間を完備化しよう
超フィルターについて、記号や定義、事実は以下の記事の1章に準拠します。
【超フィルター論 ①】超フィルターによる位相空間の定義・自由なコンパクトハウスドルフ空間
超フィルターは雑に括れば点列と似たような物なので、点列でできることは超フィルターでもできます。
今回はその具体例として距離空間の完備化を超フィルターのみで構成します。
1.距離空間
事前準備として距離空間のあれこれを書いておきます。知っている人は読み飛ばしてください。
$X$を集合$,d:X\times X\rightarrow [0,\infty)$とする。
- $d$が$X$上の距離関数であるとは、以下の三条件を満たすことである。
- 任意の$x,y\in X$に対して$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
- 任意の$x,y\in X$に対して$d(x,y)=d(y,x)$
- 任意の$x,y,z\in X$に対して$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
- 集合$X$と$X$上の距離関数$d$の組$(X,d)$を距離空間と呼ぶ。
$X$を集合$,\delta:X\times X\rightarrow [0,\infty)$とする。
- $\delta$が$X$上の擬距離関数であるとは、以下の三条件を満たすことである。
- 任意の$x\in X$に対して$\delta(x,x)=0$
- 任意の$x,y\in X$に対して$\delta(x,y)=\delta(y,x)$
- 任意の$x,y,z\in X$に対して$\delta(x,z)\leq \delta(x,y)+\delta(y,z)$
- 集合$X$と$X$上の距離関数$\delta$の組$(X,\delta)$を擬距離空間と呼ぶ。
$(X,\delta)$を擬距離空間とする。
この時任意の$x,y\in X$に対して$x\sim y\Leftrightarrow\delta(x,y)=0$と定めると、$\sim$は$X$上の同値関係になる。
また$[x],[y]\in X/\sim$に対して$d([x],[y])=\delta(x,y)$と定めると、$d$はwell-definedな距離関数になる。
以下この記事では$(X,d)$は距離空間とします。
- 空でない$A\subset X$に対して$\mathrm{diam}(A)=\sup\{d(x,y)\ |\ x,y\in A\}\in[0,\infty]$
- $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X,a\in X$に対して
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=a\Leftrightarrow$任意の$\varepsilon\gt0$に対して$N\geq1$が存在して、任意の$n\geq N$に対して$d(x_n,a)\lt\varepsilon$ - $\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X$に対して
$\{x_n\}_{n=1}^\infty$がコーシー列$\Leftrightarrow$任意の$\varepsilon\gt0$に対して$N\geq1$が存在して、任意の$n,m\geq N$に対して$d(x_n,x_m)\lt\varepsilon$ - $(X,d)$が完備$\Leftrightarrow$任意のコーシー列が極限を持つ
距離空間$(\overline{X},\overline{d})$と写像$i:X\rightarrow\overline{X}$が$(X,d)$の完備化であるとは、以下の三条件を満たすことである。
- $(\overline{X},\overline{d})$は完備
- 任意の$x,y\in X$に対して$\overline{d}(i(x),i(y))=d(x,y)$
- 任意の$a\in\overline{X}$に対して$\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X$が存在して$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}i(x_n)=a$
任意の距離空間に対して、その完備化が存在する。
距離空間の完備化は、一般的に以下の手順で構成されます。
- $X$上のコーシー列の全体を$C$とする。
$\{x_n\}_{n=1}^\infty,\{y_n\}_{n=1}^\infty\in C$に対して
$\{x_n\}_{n=1}^\infty\sim\{y_n\}_{n=1}^\infty\Leftrightarrow$任意の$\varepsilon\gt0$に対して$N\geq1$が存在して、任意の$n\geq N$に対して$d(x_n,y_n)\lt\varepsilon$
で同値関係を定め、$\overline{X}=C/\sim$と定義する。 - $[\{x_n\}_{n=1}^\infty],[\{y_n\}_{n=1}^\infty]\in\overline{X}$に対して$\overline{d}([\{x_n\}_{n=1}^\infty],[\{y_n\}_{n=1}^\infty])=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(x_n,y_n)$と定める。
- $x\in X$に対して$i(x)=[\{x\}_{n=1}^\infty]$と定める。
次章では、点列を用いずに超フィルターだけで完備化を構成します。
構成の流れは概ね同じです。
2.超フィルターを用いた距離空間の完備化
$S=\{\mathcal{U}\in\mathrm{Ult}(X)\ |\ ^\forall\varepsilon\gt0,^\exists A\in\mathcal{U}\ s.t.\ \mathrm{diam}(A)\lt\varepsilon\}$とする。
$\mathcal{U},\mathcal{V}\in S$に対して
$\mathcal{U}\sim\mathcal{V}\Leftrightarrow$任意の$\varepsilon\gt0$に対して$A\in\mathcal{U}\cap\mathcal{V}$が存在して$\mathrm{diam}(A)\lt\varepsilon$
で同値関係を定め、$\overline{X}=S/\sim$と定義する。
$[\mathcal{U}],[\mathcal{V}]\in\overline{X}$に対して
$\overline{d}([\mathcal{U}],[\mathcal{V}])=\inf\{\mathrm{diam}(A)\ |\ A\in\mathcal{U}\cap\mathcal{V}\}$
と定めると、これはwell-definedで、$\overline{X}$上の距離関数になる。
また、$x\in X$に対して$i(x)=[\langle x\rangle_X]$と定めると、$(\overline{X},\overline{d}),i$は$(X,d)$の完備化になる。
$\mathcal{U},\mathcal{V}\in S$に対して$\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})=\inf\{\mathrm{diam}(A)\ |\ A\in\mathcal{U}\cap\mathcal{V}\}$と定める。
【$\delta$の有界性】
$\mathcal{U},\mathcal{V}\in S$とする。
$A\in\mathcal{U},B\in\mathcal{V}$が存在して$\mathrm{diam}(A),\mathrm{diam}(B)\lt1$となる。
$a\in A,b\in B$を取って固定する。
$x\in A,y\in B$を任意に取ると$d(x,y)\leq d(x,a)+d(a,b)+d(b,y)\lt d(a,b)+2$となる。
$x\in A,y\in B$は任意だったので$\mathrm{diam}(A\cup B)\leq d(a,b)+2$である。
$A\cup B\in\mathcal{U}\cap\mathcal{V}$であるから$\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})\leq d(a,b)+2\lt\infty$である。
【三角不等式】
$\mathcal{U},\mathcal{V},\mathcal{W}\in S,\varepsilon\gt0$とする。
$A\in\mathcal{U}\cap\mathcal{V},B\in\mathcal{V}\cap\mathcal{W}$が存在して$\mathrm{diam}(A)\lt\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})+\frac{\varepsilon}{2},\mathrm{diam}(B)\lt\delta(\mathcal{V},\mathcal{W})+\frac{\varepsilon}{2}$となる。
$A,B\in\mathcal{V}$であるから$c\in A\cap B$が取れる。
$x\in A,y\in B$を任意に取ると$d(x,y)\leq d(x,c)+d(c,y)\leq \mathrm{diam}(A)+\mathrm{diam}(B)\lt\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})+\delta(\mathcal{V},\mathcal{W})+\varepsilon$となる。
$x,y$は任意だったので$\mathrm{diam}(A\cup B)\lt\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})+\delta(\mathcal{V},\mathcal{W})+\varepsilon$である。
従って$A\cup B\in\mathcal{U}\cap\mathcal{W}$より$\delta(\mathcal{U},\mathcal{W})\lt\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})+\delta(\mathcal{V},\mathcal{W})+\varepsilon$となるが、
$\varepsilon\gt0$は任意だったので$\delta(\mathcal{U},\mathcal{W})\leq\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})+\delta(\mathcal{V},\mathcal{W})$である。
【まとめ】
以下の事柄は自明である。
- 任意の$\mathcal{U}\in S$に対して$\delta(\mathcal{U},\mathcal{U})=0$
- 任意の$\mathcal{U},\mathcal{V}\in S$に対して$\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})=\delta(\mathcal{V},\mathcal{U})$
- $\mathcal{U}\sim\mathcal{V}\Leftrightarrow\delta(\mathcal{U},\mathcal{V})=0$
よって$\delta$は擬距離になり、$(\overline{X},\overline{d})$は距離空間である。
【$i$のwell-defined性】
$x\in X$とする。
$\mathrm{diam}(\{x\})=\sup\{d(x,x)\}=d(x,x)=0$であるから$\langle x\rangle_X\in S$である。
よって$i:X\to\overline{X}:x\mapsto[\langle x\rangle_X]$はwell-definedである。
【$\overline{d}(i(x),i(y))=d(x,y)$であること】
$x,y\in X$とする。
$\overline{d}(i(x),i(y))=\overline{d}([\langle x\rangle_X],[\langle y\rangle_X])=\delta(\langle x\rangle_X,\langle y\rangle_X)\leq \mathrm{diam}(\{x,y\})=\sup \{d(x,x),d(x,y),d(y,y)\}=d(x,y)$である。
また、$A\in\langle x\rangle_X\cap\langle y\rangle_X$を任意に取ると、$\{x,y\}\subset A$より$d(x,y)=\mathrm{diam}(\{x,y\})\leq \mathrm{diam}(A)$となるため$d(x,y)\leq\delta(\langle x\rangle_X,\langle y\rangle_X)$である。
従って$\overline{d}(i(x),i(y))=d(x,y)$である。
【$i$の像が稠密であること】
$\mathcal{U}\in S$とする。
任意の$n=1,2,\cdots$に対して、$A_n\in\mathcal{U}$が存在して$\mathrm{diam}(A_n)\lt \frac{1}{n}$となる。
各$n$に対して$x_n\in A_n$を取る。
$\overline{d}([\mathcal{U}],i(x_n))=\overline{d}([\mathcal{U}],[\langle x_n\rangle_X])=\delta(\mathcal{U},\langle x_n\rangle_X)\leq \mathrm{diam}(A_n)\lt\frac{1}{n}\to0\ (n\to\infty)$
となるため$\{i(x_n)\}_{n=1}^\infty$は$[\mathcal{U}]$に収束する。
- $\{\mathcal{U}_n\}_{n=1}^\infty\subset S$
- 任意の$\varepsilon\gt0$に対して$N\geq1$が存在して、任意の$n,m\geq N$に対して$\delta(\mathcal{U}_n,\mathcal{U}_m)\lt\varepsilon$
とし、$\mathcal{B}=\bigcup\limits_{N=1}^\infty\bigcap\limits_{n=N}^\infty\mathcal{U}_n$とする。
任意の$n\geq1$に対して$\varnothing\notin\mathcal{U}_n$であるから$\varnothing\notin\mathcal{B}$である。
$A,B\in\mathcal{B}$とすると、$N_1,N_2\geq1$が存在して、任意の$n\geq N_1$に対して$A\in\mathcal{U}_n$、任意の$n\geq N_2$に対して$B\in\mathcal{U}_n$となるが、この時任意の$n\geq \max\{N_1,N_2\}$に対して$A\cap B\in\mathcal{U}_n$となるため$A\cap B\in\mathcal{B}$である。
従って帰納法により$\mathcal{B}$は有限交叉族である。
$\varepsilon\gt0$を任意に取る。
$N_0\geq1$が存在して、任意の$n,m\geq N_0$に対して$\delta(\mathcal{U}_n,\mathcal{U}_m)\lt\frac{\varepsilon}{4}$となる。
任意の$n\geq N_0$に対して、$\mathrm{diam}(A_n)\lt\frac{\varepsilon}{4}$となるような$A_n\in\mathcal{U}_n$をとる。
$\bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n\in\mathcal{B}$である。
$x,y\in\bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n$を任意に取る。
$n_0,m_0\geq N_0$が存在して$x\in A_{n_0},y\in A_{m_0}$となる。
$\delta(\mathcal{U}_{n_0},\mathcal{U}_{m_0})\lt\frac{\varepsilon}{4}$より$\mathrm{diam}(B)\lt\frac{\varepsilon}{4}$となる$B\in\mathcal{U}_{n_0}\cap\mathcal{U}_{m_0}$が取れる。
$p\in A_{n_0}\cap B,q\in A_{m_0}\cap B$を取る。
この時
$d(x,y)\leq d(x,p)+d(p,q)+d(q,y)\leq \mathrm{diam}(A_{n_0})+\mathrm{diam}(B)+\mathrm{diam}(A_{m_0})\lt\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}+\frac{\varepsilon}{4}=\frac{3\varepsilon}{4}$
となるため$\mathrm{diam}(\bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n)\leq\frac{3\varepsilon}{4}\lt\varepsilon$である。
従って$\mathcal{B}$の元は直径をいくらでも小さくなるように取ることができる。
$\mathcal{B}$を含む超フィルター$\mathcal{V}$を取る。
上で示したことにより$\mathcal{V}\in S$である。
再度$\varepsilon\gt0$を任意に取る。
上と同様にして、$N_0\geq1,\ A_n\in\mathcal{U}_n\ (^\forall n\geq N_0)$を取って$\mathrm{diam}(\bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n)\lt\varepsilon$とできる。
この時、任意の$n\geq N_0$に対して$\delta(\mathcal{V},\mathcal{U}_n)\leq \mathrm{diam}(\bigcup\limits_{n=N_0}^\infty A_n)\lt\varepsilon$となるため、$\{[\mathcal{U}_n]\}_{n=1}^\infty$は$[\mathcal{V}]$に収束する。
以上により$(\overline{X},\overline{d})$は完備である。$\square$
以上です。
証明に於いて完備性の定義以外の文脈でコーシー列を出現させないようにしたら妙に煩雑になってしまいました・・・・
高評価やコメントをしていただけましたら、大変嬉しいです。
