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二項係数3乗の無限和と楕円積分のLanden Transform

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この記事では、 前の記事 の最後でさらっと触れた次の級数を積分変形のみで示します。(例によってβn=(12)nn!=(2nn)22nとします。)

0nβn3=πΓ(34)4

まず最初に、計算に用いる楕円積分のLanden Transformと呼ばれる変換を示しますが、よく使われる楕円積分の定義は今回の議論には適さないので、nkswtr氏にならい次の記号を導入します。
κ(x):=0nβn2xn

πκ(x)=011t(1t)1xtdt

011t(1t)1xtdt=0nβnxn01tn121tdt=π0nβn2xn=πκ(x)

次の変換が楕円積分のLanden Transformと呼ばれるものです。

11+xκ(4x(1+x)2)=κ(x2)

π11+xκ(4x(1+x)2)=11+x011t(1t)14x(1+x)2tdt=12x04x(1+x)21t(1t)1(1+x)24xtdt(t(1+x)24xt)=12x0x1+t2t1+t1t11(1+x)2xt(1+t)24(1t)(1+t)3dt(t4t(1+t)2)=1x0x1t1(1+t)2(1+x)2xtdt=011t1(1+xt)2(1+x)2tdt(txt)=011t(1t)1x2tdt=πκ(x2)

それでは、定理1の証明を行います。途中の変形でLanden Transformが活躍します。
0nβn3=1π01κ(x)x(1x)dx=2π01κ(4x(1+x)2)x(1+x)dx(x4x(1+x)2)=2π01κ(x2)xdx(Landen Transform)=1π01x141κ(x)dx(xx)=1π201x141011t(1t)1xtdtdx=1π20<x<t<1x141(1x)121dxt141(1t)121dt(xxt)=1π212(01x141(1x)121dx)2=πΓ(34)4
このような感じで
0nβn2β2n=0n(4n)!28n(n!)4=πΓ(58)2Γ(78)2
も計算できることは確認していますが、一般になんらかの超幾何の公式を示すことができるのかは検討していません。なにかわかった方がいらっしゃれば教えてください。

投稿日:20231214
更新日:20231214
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