Carlitzによる超球多項式の双線形母関数

今回はCarlitzによる超球多項式の双線形母関数の表示
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac {n!}{(2a)_n}C_n^{(a)}(\cos\theta)C_n^{(a)}(\cos\phi)x^n\\ &=\frac 1{(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\F21{a,a}{2a}{\frac{4x\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}} \end{align}
を示したいと思う.

導出

前の記事 で示した定理1の積分表示
\begin{align} &\int_{-1}^1C_n^{(a)}(\cos\theta\cos\phi+t\sin\theta\sin\phi)C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(t)(1-t^2)^{a-1}\,dt\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{(2a-1)_m(n-m)!(a)_m^2}{m!(2a)_{n+m}}(4\sin\theta\sin\phi)^mC_{n-m}^{(a+m)}(\cos\theta)C_{n-m}^{(a+m)}(\cos\phi) \end{align}
において, $m=0$として,
\begin{align} &\int_{-1}^1C_n^{(a)}(\cos\theta\cos\phi+t\sin\theta\sin\phi)(1-t^2)^{a-1}\,dt\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{n!}{(2a)_{n}}C_{n}^{(a)}(\cos\theta)C_{n}^{(a)}(\cos\phi) \end{align}
を得る. これより, 両辺の母関数を考えると,
\begin{align} &\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\sum_{0\leq n}\frac{n!}{(2a)_{n}}C_{n}^{(a)}(\cos\theta)C_{n}^{(a)}(\cos\phi)x^n\\ &=\int_{-1}^1\sum_{0\leq n}x^nC_n^{(a)}(\cos\theta\cos\phi+t\sin\theta\sin\phi)(1-t^2)^{a-1}\,dt\\ &=\int_{-1}^1\frac{(1-t^2)^{a-1}}{(1-2x(\cos\theta\cos\phi+t\sin\theta\sin\phi)+x^2)^a}\,dt\\ &=\int_{-1}^1\frac{(1-t^2)^{a-1}}{(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2-2x(1+t)\sin\theta\sin\phi)^a}\,dt\\ &=\frac 1{(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\int_{-1}^1\frac{(1-t^2)^{a-1}}{\left(\displaystyle1-2x\frac{(1+t)\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}\right)^a}\,dt\\ &=\frac 1{(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\left(\frac{2x\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}\right)^n\int_{-1}^1(1-t)^{a-1}(1+t)^{a+n-1}\,dt\\ &=\frac 1{(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\left(\frac{2x\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}\right)^n\frac{2^{2a-1+n}\Gamma(a)\Gamma(a+n)}{\Gamma(2a+n)}\\ &=\frac{2^{2a-1}\Gamma(a)^2}{\Gamma(2a)(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\F21{a,a}{2a}{\frac{4x\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}}\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)(1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2)^a}\F21{a,a}{2a}{\frac{4x\sin\theta\sin\phi}{1-2x\cos(\theta+\phi)+x^2}} \end{align}
となるから, 以下を得る.

証明から, この定理は本質的に積公式
\begin{align} &\int_{-1}^1C_n^{(a)}(\cos\theta\cos\phi+t\sin\theta\sin\phi)(1-t^2)^{a-1}\,dt\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{n!}{(2a)_{n}}C_{n}^{(a)}(\cos\theta)C_{n}^{(a)}(\cos\phi) \end{align}
と同値であること分かる. 定理1の左辺は Gasper-RahmanによるRogers多項式の双線形母関数 の古典極限になっているが, そこから定理1を導出することができるかどうかはすぐには分からないところである.

Legendre多項式の場合

$a=\frac 12$とすると超球多項式はLegendre多項式になり, 以下の公式を得る.

これは本質的にBaileyの1938年の論文で示されているもので, 1956年にMaximonによって再発見されている.