形式的二重Eisenstein級数の和公式, 制限付き和公式

前の記事 で形式的多重Eisenstein級数を定義した. 今回は, 特に深さが2の場合について和公式, 制限付き和公式を与えたいと思う.

母関数の等式

前の記事 の命題1において, $r=1$とすると
\begin{align} \mathfrak{G}\left(X\atop Y\right)\mathfrak{G}\left(X_1\atop Y_1\right)&=\mathfrak{G}\left(\begin{matrix}X,X_1+X\\Y-Y_1,Y_1\end{matrix}\right)+\mathfrak{G}\left(\begin{matrix}X_1,X_1+X\\Y_1-Y,Y\end{matrix}\right)\\ &\qquad +\frac 1{Y-Y_1}\mathfrak{G}\left(X_1+X\atop Y\right)+\frac 1{Y_1-Y}\mathfrak{G}\left(X_1+X\atop Y_1\right) \end{align}
となる. $Y_1=0$としてから$Y\to 0$とすると
\begin{align} \mathfrak{G}\left(X\atop 0\right)\mathfrak{G}\left(X_1\atop 0\right)&=\mathfrak{G}\left(\begin{matrix}X,X_1+X\\0,0\end{matrix}\right)+\mathfrak{G}\left(\begin{matrix}X_1,X_1+X\\0,0\end{matrix}\right)+\left.\frac{\partial}{\partial Y}\mathfrak{G}\left(X_1+X\atop Y\right)\right|_{Y=0} \end{align}
を得る.
\begin{align} \mathfrak{G}(X_1,\dots,X_r)&:=\mathfrak{G}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\0,\dots,0\end{matrix}\right)\\ \mathfrak{G}'(X)&:=\left.\frac{\partial}{\partial Y}\mathfrak{G}\left(X\atop Y\right)\right|_{Y=0}=\sum_{1\leq k}G^f\left(k\atop 1\right)X^{k-1} \end{align}
とすると, この関係式は以下のように表される.

二重ゼータ値の場合と比較して, $\mathfrak{G}'(X+Y)$の部分が現れているところが違いである. 両辺の係数を比較して,
\begin{align} G^f(k)G^f(l)=G^f((k)\sh(l))+\binom{k+l-2}{k-1}G^f\left(k+l-1\atop 1\right) \end{align}
を得る. これは
\begin{align} G^f((k)*(l)-(k)\sh(l))=\binom{k+l-2}{k-1}G^f\left(k+l-1\atop 1\right)=\frac 1{k+l-2}\binom{k+l-2}{k-1}DG^f(k+l-2) \end{align}
と表される. つまり, 深さ1のインデックス同士の複シャッフル関係式は微分を用いて表すことができる.　

和公式

母関数の調和積から
\begin{align} \mathfrak{G}(X)\mathfrak{G}(Y)=\mathfrak{G}(X,Y)+\mathfrak{G}(Y,X)+\frac 1{X-Y}\mathfrak{G}(X)+\frac 1{Y-X}\mathfrak{G}(Y) \end{align}
と表されるから, 命題1は
\begin{align} &\mathfrak{G}(X,Y)+\mathfrak{G}(Y,X)+\frac 1{X-Y}\mathfrak{G}(X)+\frac 1{Y-X}\mathfrak{G}(Y)\\ &=\mathfrak{G}(X,X+Y)+\mathfrak{G}(Y,X+Y)+\mathfrak{G}'(X+Y) \end{align}
と書き表される. ここで, $Y=0$とすると
\begin{align} &\mathfrak{G}(X,0)+\mathfrak{G}(0,X)+\frac 1{X}\mathfrak{G}(X)-\frac 1{X}\mathfrak{G}(0)\\ &=\mathfrak{G}(X,X)+\mathfrak{G}(0,X)-\mathfrak{G}'(X) \end{align}
つまり,
\begin{align} \mathfrak{G}(X,X)-\mathfrak{G}(X,0)=\frac 1{X}(\mathfrak{G}(X)-\mathfrak{G}(0))+\mathfrak{G}'(X) \end{align}
を得る. 両辺の$X^{k-2}$の係数を比較すると, 以下を得る.

Bachmann-Kühn-Matthesの論文においては, $k\geq 2, d\geq 0$に対し, より一般的な和公式
\begin{align} \sum_{\substack{1\leq k_1,k_2,k_1+k_2=k\\0\leq d_1,d_2,d_1+d_2=d\\(k_2,d_1)\neq (1,0)}}(-1)^{d_1}\binom{d}{d_1}G^f\left(\begin{matrix}k_1,k_2\\d_1,d_2\end{matrix}\right)=G^f\left(k\atop d\right)-\frac 1{d+1}G^f\left(k-1\atop d+1\right) \end{align}
が示されている.

制限付き和公式

先ほどの式
\begin{align} &\mathfrak{G}(X,Y)+\mathfrak{G}(Y,X)+\frac 1{X-Y}\mathfrak{G}(X)+\frac 1{Y-X}\mathfrak{G}(Y)\\ &=\mathfrak{G}(X,X+Y)+\mathfrak{G}(Y,X+Y)+\mathfrak{G}'(X+Y) \end{align}
において, $Y=-X$とすると,
\begin{align} &\mathfrak{G}(X,-X)+\mathfrak{G}(-X,X)+\frac 1{2X}\mathfrak{G}(X)-\frac 1{2X}\mathfrak{G}(-X)\\ &=\mathfrak{G}(X,0)+\mathfrak{G}(-X,0)+\mathfrak{G}'(0) \end{align}
両辺の$X^{2k-2}$の係数を比較すると, $k\geq 2$のとき,
\begin{align} 2\sum_{j=1}^{2k-2}(-1)^{j-1}G^f(j,2k-j)=-G^f(2k) \end{align}
となる. ここで, 右辺は定理2を用いると,
\begin{align} 2\sum_{j=1}^{2k-2}(-1)^{j-1}G^f(j,2k-j)&=2\sum_{j=1}^{2k-2}G^f(j,2k-j)-4\sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j,2k-2j)\\ &=2G^f(2k)-2G^f\left(2k-1\atop 1\right)-4\sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j,2k-2j) \end{align}
と書き換えられるので,
\begin{align} \sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j,2k-2j)&=\frac 34G^f(2k)-\frac 12G^f\left(2k-1 \atop 1\right) \end{align}
となる. つまり以下を得る.

ここで, 調和関係式から,
\begin{align} \sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j,2k-2j)&=\frac 12\sum_{j=1}^{k-1}(G^f(2j,2k-2j)+G^f(2k-2j,2j))\\ &=\frac 12\sum_{j=1}^{k-1}(G^f(2j)G^f(2k-2j)-G^f(2k))\\ &=\frac 12\sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j)G^f(2k-2j)-\frac{k-1}2G^f(2k) \end{align}
と書き換えられるので, 定理3は
\begin{align} \sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j)G^f(2k-2j)=\frac{2k+1}2G^f(2k)-G^f\left(2k-1\atop 1\right) \end{align}
と書き換えられる. これは
\begin{align} \frac 1{2k-2}DG^f\left(2k-2\right)=\frac{2k+1}2G^f(2k)-\sum_{j=1}^{k-1}G^f(2j)G^f(2k-2j) \end{align}
と表すと, 通常のEisenstein級数の微分をEisenstein級数で表す Ramanujanの公式
\begin{align} \frac{\pi i\tau}{k-1}\frac{d}{d\tau}G_{2k-2}(\tau)=\frac{2k+1}2G_{2k}(\tau)-\sum_{j=1}^{k-1}G_{2j}(\tau)G_{2k-2j}(\tau) \end{align}
の形式的な類似であることが分かる. ここで, $G_{2k}(\tau)$は 前の記事 で定義したものである. 定理2と定理3の差を考えると以下の制限付き和公式も得られる.

別の形の制限付き和公式として, Bachmann-Kühn-Matthesの論文において偶数$k\geq 8$に対し,
\begin{align} \sum_{\substack{4\leq k_1,k_2:\mathrm{even}\\k_1+k_2=k}}(k_1-1)(k_2-1)G^f(k_1)G^f(k_2)=\frac{(k+1)(k-1)(k-6)}{12}G^f(k) \end{align}
が成り立つことが示されている. これより, 再帰的に偶数の$k$に対して$G^f(k)$は$G^f(2),G^f(4),G^f(6)$の多項式で表されることが分かる. これは通常のEisenstein級数に関してよく知られた結果の形式的な類似である.