連立方程式-基礎から解法の体系化へ

皆様ごきげんよう。
連立方程式というと、代入法・加減法から始まり、対称式なら和と積、同次式なら比、といった「形と解法の組」を思い浮かべるかもしれません。しかし、形が見えた後に何を決めるための操作なのかが分からないと、初見の問題では選べません。
この記事では、連立方程式を「複数の条件が、未知数の動ける余地をどう絞っていくか」という視点で読み直します。まず代入法と加減法の論理を確かめ、構造ごとに操作の目的を整理します。最後は見る順番を作り、実践問題でその順番を使います。

1　読む前の確認――関数・解・自由度

既に分かっている方は、この節を読み飛ばして構いません。 第2章から読む こともできます。
方程式とは、未知数を含む等式です。その等式を成り立たせる値を解といい、解を求めることを「方程式を解く」といいます。例えば$x+y=3$の解は一組ではありません。$(x,y)=(1,2)$も$(0,3)$も解です。一方、$x+y=3$と$x-y=1$を同時に満たすのは$(2,1)$だけです。ここでは実数解を考え、断りのない限り「組」は順序を区別します。

関数の記号と、二文字の関係

関数$f$は、それぞれの入力に対して値を一つ定めるものです。$f(x)=x^2+1$なら$f(t)=t^2+1$であり、$x,t$は入力に付けた名前です。
一方、$F(x,y)=x^2+1$と書けば二つの入力を受け取る関数としても扱えます。この$F$の値は$y$に依存しませんが、入力を二つ持つこと自体はできます。$f(x)$の文字を$f(t)$に替えることと、$f(x)$を$f(x,y)$にすることは別の話です。
$y=f(x)$のように一方の文字を他方で表した形を陽関数表示、$F(x,y)=0$のように関係を式で与える形を陰関数表示と呼びます。後者が全体として一つの$y=f(x)$になるとは限りません。例えば$x^2+y^2=1$では、$-1\lt x\lt 1$の各$x$に対して$y=\pm\sqrt{1-x^2}$の二つがあります。
また、$y=x^2$では、$x$を決めれば$y$は一つですが、正の$y$を決めても$x$は二つです。「一方を決めれば他方が一つ」と言える向きまで確かめます。

条件によって、どれだけ動ける余地が残るか

$x+y=3$なら$x$を選ぶと$y$が決まり、自由に選ぶ量は一つです。さらに$x-y=1$を課せば両方決まります。
ただし、「式が一本増えれば自由度が必ず一つ減る」という規則はありません。 実数なら$x^2+y^2=0$は一本だけで$(0,0)$を強制します。一方、
$$ \begin{cases}x+y=1,\\2x+2y=2\end{cases} $$
は二本でも実質同じ条件です。式の本数と、その式が与える情報の量は同じではありません。後で見る不等式の等号成立や、二式の独立性を考えるための下準備です。

2　連立方程式と同値変形――代入法・加減法を理解し直す

連立方程式は、例えば
$$ \begin{cases}F(x,y)=0,\\G(x,y)=0\end{cases} $$
という複数の条件を同時に満たす組を求めるものです。図形なら二つの条件が表す曲線の共有点と読むこともできます。式の本数だけで解の個数は決まりません。二式が同じ情報かもしれず、一本が二つの文字を同時に固定することもあるからです。
また、「連立方程式を解け」と書かれていない問題でも、根の和と積、図形の長さと面積など、途中で複数の条件が得られれば、それを同時に扱うことになります。

変形の前後で、解は同じか

連立方程式の同値変形とは、変形の前後で解となる組の集合が変わらない変形です。例えば$x=1$から$x^2=1$は導けますが、$x^2=1$から$x=1$は導けません。前向きの矢印しか示せないときは、元の条件の必要条件を得ただけかもしれません。

代入法――代入元の式を残す

$$ \begin{cases}y=f(x),\\G(x,y)=0\end{cases} $$
を考えます。$y=f(x)$という条件の下では、第二式の$y$を$f(x)$へ替えられます。正確には
$$ \begin{gathered} \begin{cases}y=f(x),\\G(x,y)=0\end{cases}\\[4pt] \Updownarrow\\[4pt] \begin{cases}y=f(x),\\G(x,f(x))=0\end{cases} \end{gathered} $$
第二式を書き換えたのであって、第一式を捨てたのではありません。 $G(x,f(x))=0$だけを残せば、$y$が任意でも成り立つ組まで入ってしまいます。
例えば$y=x+1,\ x+y=5$なら、代入後の$2x+1=5$だけからは$y$が決まらず、残していた$y=x+1$で$(x,y)=(2,3)$へ戻します。
答案では第一式を毎行書かなくても構いません。ただし論理的には保持しており、最後の復元に使っています。「代入法で文字が消えた」とは、もう一つの式からその文字を消した、という意味です。

加減法――一方を残して他方を置き換える

二つの式を$A=0,\ B=0$と書けば、
$$ \begin{gathered} \begin{cases}A=0,\\B=0\end{cases}\\[4pt] \Updownarrow\\[4pt] \begin{cases}A=0,\\A+B=0\end{cases} \end{gathered} $$
逆向きは$(A+B)-A=B$から分かります。一方の式を残しているから戻せるのです。$A+B=0$だけを残しては、$A=1,B=-1$まで許してしまいます。
一般に、一方を残し、他方へその式の定数倍を足しても同値です。例えば$x+y=3,\ x-y=1$で前者を残し、後者へ前者を足せば$x+y=3,\ 2x=4$。ここから$x=2,y=1$です。
ここで、式に別の式の定数倍を足すことと、一つの式に何かを掛けて置き換えることは区別します。後者では、掛ける数が零にならないことを確かめます。例えば$A=0$を$xA=0$だけに置き換えると、$x=0$で$A\ne0$という余分な場合まで許すことがあります。

3　条件を整理する道具――対称性・交代性・循環性

まず直接消せるなら消す

一つの式から$y$をすぐ表せる、あるいは二式の差で高い次数の項が消えるなら、先に短く試します。例えば$x^2+y=5,\ x^2-y=1$は、差を取ると$2y=4$です。何かの構造が見えても、操作後に得たいものが直接得られるなら、大きな置換は必要ありません。
直接消しにくいときは、個々の未知数を追う代わりに、条件が共通して扱う量を探すことにします。

対称式――個々の二文字を、和と積にまとめる

$x,y$を入れ替えても値が変わらない式を、$x,y$について対称な式と呼びます。例えば$x^2+y^2$や$x^2y+xy^2$は対称ですが、$x^2y$だけなら一般には対称ではありません。
二変数の対称な多項式では、
$$ s=x+y,\qquad p=xy $$
を使うと、例えば次のように表せます。
$$ \begin{aligned}x^2+y^2&=s^2-2p,\\x^3+y^3&=s^3-3ps.\end{aligned} $$
目的は$x,y$を個別に決める前に、条件が実際に見ている情報を$s,p$へ集めることです。連立の二式が$s,p$だけで書ければ、まず新しい二文字の連立を解けます。
ただし$s,p$が求まっただけでは終わりません。元の$x,y$は
$$ t^2-st+p=0 $$
の二根です。実数$x,y$が存在するための条件は$s^2-4p\ge0$であり、指定された正負や範囲も確認します。

交代式――入れ替えると符号が変わる

$x,y$を交換すると符号が逆になる多項式$H(x,y)$を交代式と呼びます。$H(x,x)=-H(x,x)$から$H(x,x)=0$。したがって$H$は$x-y$を因子に持ちます。例えば$x^3-y^3$や$x^2y-xy^2$です。
連立方程式で交代式が$0$になったら、$x-y=0$の場合と、残った因子が$0$の場合に分けられます。目的は、一つの複雑な条件を、性質の違う簡単な場合へ分割することです。$x-y$でいきなり割ると、まさに$x=y$という候補を落とします。
三変数で、どの二文字を交換しても符号が変わる多項式は、$(x-y)(y-z)(z-x)$を因子に持ちます。ここで「どの交換でも」という条件が大切です。

循環式――式が順に入れ替わる

$x\to y\to z\to x$と順に動かしたとき形が保たれるものを循環的といいます。例えば$x^2y+y^2z+z^2x$は循環式ですが、$x,y$だけの交換では一般に同じ値になりません。循環式一般に差積の因子がある、という主張は成り立ちません。
連立の三式が循環しているなら、隣同士を引くと$x-y,\ y-z,\ z-x$に関する関係を得られることがあります。これを三つつなぎ、正負や積から場合を絞るのが一つの使い方です。循環性の目的は、似た三条件の差に同じ型の関係を作ること。循環性だけで$x=y=z$と決めることはできません。 実践問題4 で実際に確かめます。

4　大きさと比を分ける道具――同次性・比例・相反構造

同次式――まず方向、次に大きさ

零でない各項で、考えている文字の指数の合計が同じ多項式を同次式と呼びます。例えば$x^2+3xy-y^2$は二次同次式で、$F(tx,ty)=t^2F(x,y)$です。同次式の定義や比の選び方そのものは、以前の記事 大学入試で使えるらしい同次式を知る で詳しく扱いました。ここでは二つの条件を同時に解くときの役割に絞ります。
二次同次式$H(x,y)=0$なら、$(x,y)$を同時に零でない数倍しても$H=0$です。零でない解があれば、その共通倍率を変えた組も解になるため、その大きさは固定されません。そこで方向、つまり比を先に調べます。ただし、$x^2+y^2=0$のように実数解が原点だけの場合もあります。$y\ne0$なら$t=x/y$として$H(x,y)=y^2H(t,1)$。比の方程式を先に解けます。
一方、$x^2+y^2=5$は大きさも指定します。例えば
$$ \begin{cases}H(x,y)=0,\\x^2+y^2=5\end{cases} $$
という連立なら、第一式から比$t$を求め、第二式の$y^2(t^2+1)=5$から大きさと符号を求める、という分担ができます。比$t$が決まっても$(x,y)$と$(-x,-y)$が残り得ます。

比例式――共通の比を一つ置く

例えば正の$x,y,z$について
$$ \frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y} $$
なら、共通の値を$k$、$s=x+y+z$と置くと$x=k(s-x)$、同様に$y=k(s-y)$、$z=k(s-z)$。つまり
$$ \begin{aligned}(1+k)x&=ks,\\(1+k)y&=ks,\\(1+k)z&=ks.\end{aligned} $$
$k\gt 0$なので$x=y=z$です。三つの分数を次々に交差させる前に、共有している情報を$k$に集めるのが目的です。和$s$が別の条件で与えられれば、その後に三数の値まで決まります。分母が零の可能性がある一般の問題では、比例式を書いた時点の定義域を守ります。

相反構造――逆数にしても残る量を探す

$xy=1$なら$x,y$は互いの逆数です。個別の値より$x+y=x+1/x$を先に知る方が有利な場合があります。$x+y=s,\ xy=1$が分かれば、$x,y$は$t^2-st+1=0$の二根で、入れ替えると互いに逆数になります。
一変数でも、$t\ne0$として係数が前後対称な
$$ t^4+at^3+bt^2+at+1=0 $$
は、$t^2$で割ると
$$ \begin{aligned} &\left(t+\frac1t\right)^2\\ &\quad+a\left(t+\frac1t\right)+b-2=0. \end{aligned} $$
$u=t+1/t$と置く目的は、$t$と$1/t$の両方を一つの情報へまとめ、四次式を二次式にすることです。実数$t\ne0$では$u\ge2$または$u\le-2$であることも忘れません。実際、$t^2-ut+1=0$に実根があるためには$u^2-4\ge0$が必要です。 実践問題7 ではこの形が、$xy=1$という別の条件とつながります。

5　候補を絞り、存在を確かめる道具

因数分解――場合を分けて、それぞれを解く

$UV=0$なら$U=0$または$V=0$です。例えば
$$ \begin{cases}x^2-y^2=0,\\x+y=2\end{cases} $$
では$(x-y)(x+y)=0$。第二式から$x+y=2\ne0$なので$x-y=0$、結局$(x,y)=(1,1)$です。因数分解の目的は、複雑な一条件を、確認すべき枝へ分けること。枝によって別の式との相性が変わります。
元が$UV=0$なら二つの枝の両方を調べます。積を零にした式が二式の差などから得た必要条件なら、枝ごとの候補は元の二式にも戻して確かめます。この区別は総合問題でも重要です。

非負性・不等式の等号――動ける余地を消す

実数$U,V$に対し$U^2+V^2=0$なら、それぞれが零です。一本の式で二条件が出るのは、各項が非負だからです。同様に、正の$x,y$では$(x-y)^2\ge0$を整理して$x+y\ge2\sqrt{xy}$。$x+y=2\sqrt{xy}$まで分かれば$x=y$が強制されます。
例えば$x,y\gt 0,\ x+y=4,\ xy=4$なら、$x+y\ge2\sqrt{xy}=4$が等号です。従って$x=y=2$。二式から候補を漫然と計算する代わりに、与えられた条件が不等式の端に達していないか見ています。
平方和と一次式の組にも、重要な等号があります。
$$ \begin{aligned}&(u^2+v^2)(x^2+y^2)\\&\quad-(ux+vy)^2\\&=(vx-uy)^2\ge0.\end{aligned} $$
ここで$u,v$は定数です。二つの条件によって左辺が零になったら、$vx=uy$まで決まります。これはコーシー・シュワルツの不等式の等号の場合を、平方完成で確かめたものです。

判別式――候補が本当に元の実数を与えるか

対称式を$s=x+y,\ p=xy$へまとめた後、$x,y$を実数へ戻せる条件は
$$ D=s^2-4p\ge0. $$
$D\gt 0$なら順序を区別して二組、$D=0$なら一組、$D\lt 0$なら実数解なしです。もちろん、さらに$x,y\gt 0$などがあれば別途調べます。判別式の目的は、変形して得た新しい文字の値が、元の未知数から実現できるかを判定することです。
代入法で$y=x^2$と$y=mx+b$を合わせる場合も、共有点は$x^2-mx-b=0$の実根です。判別式の符号は交点が二つ、一つ（接する）、零個のいずれかを表します。

図形的処理――式を共有点と接触として読む

$R\gt 0$、$(u,v)\ne(0,0)$とします。このとき$x^2+y^2=R^2$と$ux+vy=c$は、原点中心の円と直線です。直線が円と交わるかは、原点から直線までの距離
$$ \frac{|c|}{\sqrt{u^2+v^2}} $$
と半径$R$を比較して判定できます。距離が$R$より小さければ二点、等しければ一点、大きければ共有点はありません。
共有点が存在する条件を代数で書けば、
$$ c^2\le(u^2+v^2)R^2 $$
です。これは、先ほどのコーシー・シュワルツの不等式に、$ux+vy=c$と$x^2+y^2=R^2$を入れても得られます。等号は$(x,y)$が$(u,v)$の実数倍のときです。
図形に直す目的は、二式を別々の計算として追わず、共有点の個数や接触という位置関係で捉えることです。
判別式と図形は別々の結論を与えるわけではありません。接するなら判別式は零、直線の距離が半径と等しくなります。問題で座標が必要なら代数計算へ戻り、個数だけなら図形で済むこともあります。

6　複数の視点をつなぎ、初見の問題を読む順番を作る

途中で連立条件が現れる

$s=r_1+r_2,\ p=r_1r_2$と置けば
$$ f(t)=t^2-st+p $$
より、
$$ \begin{cases}p=4,\\1-s+p=1\end{cases} $$
となります。
よって$s=p=4$です。ここで$r_1+r_2=4,\ r_1r_2=4$という問題文には書かれていなかった連立条件が現れました。$(r_1-r_2)^2=s^2-4p=0$、または相加相乗平均の等号から$r_1=r_2=2$。従って$f(t)=(t-2)^2$です。
値の条件を根の和と積に翻訳し、二条件を合わせ、最後は非負性の等号を使いました。代入・対称性・不等式は対立する「流派」ではなく、段階によって役割が移る道具です。

初見の問題で確かめる順番

次の順は、手法の名前を判定する表ではなく、何が進むかを調べる手順です。解いている途中で新しい式が出たら、その式についてもう一度見直します。毎回すべてを順番に試す必要はありません。短い操作で先へ進めるならそこから進み、方針が立たないときに次の問いへ移ります。

7　実践問題

最初の問題から順に、単独の道具を確認し、途中で方針を切り替える問題へ進みます。問題の見出しには手法名を付けていません。「模範解答」は答案、「解説」は上の順番をどのように使ったかです。折りたたみは、問題を考えてから開いてみてください。

実践問題1

実践問題2

実践問題3

実践問題4

実践問題5

実践問題6

実践問題7

実践問題8

実践問題9

実践問題10

実践問題11

実践問題12　総合問題

8　おわりに

連立方程式を解くとは、複数の条件が与える情報を失わずに整理し、未知数の動ける余地を減らすことでした。直接一文字を消せるなら消す。対称な条件なら和と積へまとめる。同次性があれば比と大きさを分ける。因数分解では場合を分け、非負性や等号成立では値を強制する。判別式や図形の共有点は、候補が本当に実現するかを教えてくれます。
解いている途中で別の連立が現れれば、その新しい条件にも同じ問いを向けます。