束論
自分用のノート
束の定義
半順序集合$L$が上半束(JSLat)であるとは、任意の2元の上限が$L$の中に存在すること。
$x,y \in L$の上限を$x,y$の結びと呼び、$x \vee y$と書く。
半順序集合$L$が下半束(MSLat)であるとは、任意の2元の下限が$L$の中に存在すること。
$x,y \in L$の下限を$x,y$の交わりと呼び、$x \wedge y$と書く。
上半束でも下半束でもある半順序集合を束(Lat)という。
半順序集合が最大元を持つとき、その最大元を$1$と書く。
半順序集合が最小元を持つとき、その最小元を$0$と書く。
$P$を半順序集合、$A \subset P$とする。
$↓^PA := \{x \in P\ |\ \forall a \in A, x \le a\}$
$↑^PA := \{x \in P\ |\ \forall a \in A, a \le x\}$
$↑^P\{a\}$は$↑^Pa$と略記する。
任意の部分集合に対し上限をその中に持つ半順序集合$P$を完備上半束(CJSLat)という。
任意の部分集合に対し下限をその中に持つ半順序集合$P$を完備下半束(CMSLat)という。
$A \subset P$の上限を$\bigvee A$と書く。
$A \subset P$の下限を$\bigwedge A$と書く。
任意の部分集合に対し上限と下限をその中に持つ半順序集合を完備束(CLat)という。
$L$が完備上半束 ⇔ $L$が完備下半束
[$L$が完備上半束 ⇒ $L$が完備下半束]
$A \subset L$を取る。
$s = \bigvee(↓^LA)$と置く。
[$s$は$A$の下界]
$a \in A$を取る。
$\forall x \in ↓^LA,\ x \le a$だから、$a$は$↓^LA$の上界。
$s$は$A$の最小上界だから、$s \le a$
[$s$は$A$の最大下界]
$x \in ↓^LA$を取る。
$s$は$↓^LA$の上界だから、$x \le s$
[$L$が完備上半束 ⇐ $L$が完備下半束]
略
よって、全ての完備上半束/完備下半束は完備束である。
完備束は最大元$\bigwedge \varnothing$と最小元$\bigvee \varnothing$を持つ。
$X$:集合
べき集合$P(X)$に包含関係で順序を入れたものは完備束である。
$A \subset P(X)$に対し、$\bigvee A = \bigcup A$、$\bigwedge A = \bigcap A$、$1 = X$、$0 = \varnothing$となっている。
以下を満たす束$L$を分配束という。($a,b,c \in L$)
$(a \vee b) \wedge c = (a \wedge c) \vee (b \wedge c)$
$(a \wedge b) \vee c = (a \vee c) \wedge (b \vee c)$
以下を満たす束$L$をモジュラー束という。($a,b,c \in L$)
$a \le c ⇒ (a \vee b) \wedge c = a \vee (b \wedge c)$
モジュラー束の部分束はモジュラー束である。
$L$:モジュラー束
$S$:$L$の部分束
とする。
$a,b,c \in S$に対し、$a \le c$の時、
$a,b,c$は$L$の元でもあるから、
$a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c$
分配束はモジュラー束である。
代数構造としての束
上半束$L$は以下を満たす。
- $a \le b ⇔ b = a \vee b$
- $(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$ (結合律)
- $a \vee a = a$ (冪等律)
- $a \vee b = b \vee a$ (交換律)
逆に、2,3,4を満たす代数構造$(L,\vee)$に$a \le b ⇔ b = a \vee b$で順序を入れると、$L$は上半束になっていて、2元の上限は$\vee$で与えられる。
($\le$は順序関係)
[$a \le a$]
$a = a \vee a$だから$a \le a$
[$a \le b$かつ$b \le a ⇒ a = b$]
$b = a \vee b$かつ$a = b \vee a$
交換律より、$a = a \vee b = b$
[$a \le b$かつ$b \le c ⇒ a \le c$]
$b = a \vee b$かつ$c = b \vee c$
結合律より、
$c = (a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c) = a \vee c$
よって、$a \le c$
($L$は上半束)
$a,b \in L$を取る。
[$a \vee b$は$a$と$b$の上界]
冪等律・結合律より、
$a \vee b = (a \vee a) \vee b = a \vee (a \vee b)$
よって、$a \le a \vee b$
$a \vee b = a \vee (b \vee b) = (a \vee b) \vee b$
よって、$b \le a \vee b$
従って、$a \vee b$はaとbの上界
[$a \vee b$は$a$と$b$の最小上界]
$a$と$b$の上界$c$を取る。
$c = b \vee c = b \vee (a \vee c) = (b \vee a) \vee c$
よって、$a \vee b \le c$
下半束についても同様のことが成り立つ。
部分束
$J$:上半束
$S \subset J$が部分上半束であるとは、$S$の任意の2元の結びが$S$に入っていること。
$M$:下半束
$S \subset M$が部分下半束であるとは、$S$の任意の2元の交わりが$S$に入っていること。
$C$:完備束
$S \subset C$が部分完備束であるとは、$S$の任意の部分集合の結びと交わりが$S$に入っていること。
$S \subset C$がMoore集合であるとは、$S$の任意の部分集合の交わりが$S$に入っていること。
$S \subset C$が余Moore集合であるとは、$S$の任意の部分集合の結びが$S$に入っていること。
Moore集合も完備束であるが、$0$を必ずしも受け継がない。
余Moore集合も完備束であるが、$1$を必ずしも受け継がない。
上半束$J$と$a \in J$に対し、$↑^Ja$と$↓^Ja$は$L$の部分上半束
下半束$M$と$a \in M$に対し、$↑^{M}a$と$↓^{M}a$は$M$の部分下半束
完備束$C$と$a \in C$に対し、$↑^{C}a$は$C$の余Moore集合、$↓^{C}a$は$C$のMoore集合
準同型
$J,J'$:上半束
$f:J→J'$が上半束準同型であるとは、$f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$が成り立つこと。
$M,M'$:下半束
$f:M→M'$が下半束準同型であるとは、$f(a \wedge b) = f(a) \wedge f(b)$が成り立つこと。
$C,C'$:完備束
$f:C→C'$が完備上半束準同型であるとは、$f(\bigvee A) = \bigvee f(A)$が成り立つこと。
$f:C→C'$が完備下半束準同型であるとは、$f(\bigwedge A) = \bigwedge f(A)$が成り立つこと。
全単射上半束準同型の逆写像も上半束準同型である。
$a',b' \in J'$を取る。
$a = f^{-1}(a'), b = f^{-1}(b')$と置く。
$f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$
両辺に$f^{-1}$を掛けて、
$a \vee b = f^{-1}(f(a) \vee f(b))$
即ち、
$f^{-1}(a') \vee f^{-1}(b') = f^{-1}(a' \vee b')$
下半束準同型、完備上半束準同型、完備下半束準同型についても同様。
$J,J'$:上半束
全単射上半束準同型を上半束同型と呼ぶ。
$J$から$J'$に上半束同型があるとき、$J$と$J'$は上半束として同型といい、$J\simeq_{JSLat}J'$と書く。
紛れの虞がないときは、単に$J\simeq J'$と書く。
下半束準同型、完備上半束準同型、完備下半束準同型についても同様。
$\id_J$は上半束準同型
$f:J→J', g:J'→J''$が上半束準同型ならば、$g \circ f$も上半束準同型
$\id_J(a \vee b) = a \vee b = \id_J(a) \vee \id_J(b)$
$(g \circ f)(a \vee b) = g(f(a \vee b)) = g(f(a) \vee f(b)) = g(f(a)) \vee g(f(b)) = (g \circ f)(a) \vee (g \circ f)(b)$
従って、上半束を対象、上半束準同型を射として圏が得られた。
これは下半束、完備上半束、完備下半束についても同様。
準同型は順序を保つ。
[上半束の場合]
$f:J→J'$:上半束準同型
$a,b \in J$
$a \le b$とする。
$b=a \vee b$だから、$f(b) = f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$
従って、$f(a) \le f(b)$
[下半束の場合]
$f:M→M'$:下半束準同型
$a,b \in M$
$a \le b$とする。
$a=a \wedge b$だから、$f(a) = f(a \wedge b) = f(a) \wedge f(b)$
従って、$f(a) \le f(b)$
[完備上半束の場合]
略
[完備下半束の場合]
略
$J,J'$を以下のように定める。
\begin{xy}
\xymatrix{ & 1 \ar@{-}[ld] \ar@{-}[rd] & \\ a \ar@{-}[rd] & & b \ar@{-}[ld] \\ & 0 & } \\
\xymatrix{ & 1 \ar@{-}[d] & \\ & c \ar@{-}[d] & \\ & 0 & }
\end{xy}
$J,J'$は上半束である。
$f:J→J'$を
$0↦0$
$a↦c$
$b↦c$
$1↦1$
と定めると、これは順序を保つ。
しかし、$f(a \vee b) = f(1) = 1 \not= c = c \vee c = f(a) \vee f(b)$
だから、$f$は上半束準同型でない。
$J,J'$:上半束
$J \simeq_{\mathrm{Ord}}J'$⇔$J \simeq_{\mathrm{JSLat}}J'$
[⇒]
$a,b \in J$を取る。
$a,b \le a\vee b$だから、$f(a),f(b) \le f(a \vee b)$
よって、$f(a \vee b)$は$f(a),f(b)$の上界
$f(a),f(b)$の上界$c'$を取ると、$c = f^{-1}(c')$と置けば、
$f(a),f(b) \le f(c)$より、
$a,b \le c$
従って、$a \vee b \le c$
よって、$f(a \vee b) \le f(c)$
ゆえに$f(a \vee b)$は$f(a),f(b)$の最小上界である。
即ち、$f(a \vee b)=f(a) \vee f(b)$
[⇐]
$a \le b$とすると、$b=a \vee b$
よって、$f(b) = f(a \vee b) = f(a) \vee f(b)$
従って、$f(a) \le f(b)$
逆に、$f(a) \le f(b)$とすると、
$f(b) = f(a) \vee f(b) = f(a \vee b)$だから、
$f^{-1}$を掛けて、
$b = a \vee b$
即ち、$a \le b$
下半束準同型、完備上半束準同型、完備下半束準同型についても同様。
モジュラー束
$P$: 半順序集合
$P$上の二項関係$\preceq$を次のように定める。
$a \preceq b :⇔ a\le b $ かつ ($a \le c \le b ⇒ c = a $または$ c = b$)
間に何もない大小関係を意味する。
また、
$a \prec b :⇔ a\preceq b $ かつ $a\not=b$
と定義する。
$L$:モジュラー束
$a \in L$
$p \prec q$ならば$p \vee a \preceq q \vee a,\ p \wedge a \preceq q \wedge a$
(示すこと：$p \vee a \preceq q \vee a$)
$p \vee a \le d \le q \vee a$なる$d \in L$を取ると、
$p \le p \vee a \le d$より、$p \le d$
また、$p \le q$であるから、
$p \le d \wedge q$
よって、$p \le d \wedge q \le q$
$p \prec q$だから、$d \wedge q = p$または$d \wedge q = q$
[$d \wedge q = p$の場合]
$p \vee a = a \vee (q \wedge d)$
$d \le q \vee a$より、$d = (a \vee q) \wedge d$
$a \le p \vee a \le d$より、$a \le d$
モジュラー律より、
$a \vee (q \wedge d) = (a \vee q) \wedge d$
従って、$d = p \vee a$
[$d \wedge q = q$の場合]
$d \wedge q = q$だから、$q \le d$
また、$a \le p \vee a \le d$より、
$q \vee a \le d$
$d \le q \vee a$だから、$d = q \vee a$
従って、$d = p \vee a$または$d = q \vee a$
($p \wedge a \preceq q \wedge a$も同様。)
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