文献あり

束の素元と既約元と原子元と直既約元

自分用のノート

$x \preceq y :⇔ x \le y$かつ$(x \le z \le y ⇒ z = x$または$z = y)$とする。

半順序集合$P$と$x \in P$と$Q \subset P$に対し、$↓^Q x = \set{y \in Q \mid y \le x}$とする。

$0$は最小元を意味し、$1$は最大元を意味する。

Boole代数について： https://mathlog.info/articles/D2eYWclDN66J4HYRKzW8
イデアルとフィルターについて： https://mathlog.info/articles/H7Q7ouWo9xmHpkVt1dEp

定義

$0$を持つ上半束$L$において、

$p \in L$が結び素元(join-prime element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$p\not=0$
$\forall x,y \in L\ (p \le x \vee y),\ p \le x$または$p \le y$

$1$を持つ下半束$L$において、

$q \in L$が交わり素元(meet-prime element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$q\not=1$
$\forall x,y \in L\ (x \wedge y \le q),\ x \le q$または$y \le q$

$0$を持つ上半束$L$において、

$a \in L$が結び既約元(join-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$a \not= 0$
$\forall x,y \in L\ (a = x \vee y),\ x = a$または$y=a$

$1$を持つ下半束$L$において、

$b \in L$が交わり既約元(meet-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$b \not=1$
$\forall x,y \in L\ (b = x \wedge y),\ x = b$または$y=b$

束を可換モノイドとしてみた時に既約性を考えることができる。適当に環論的既約と名前を付ける。

$0$を持つ上半束$L$において、

$a \in L$が結び環論的既約元であるとは、以下を満たすことを言う。

$a \not= 0$
$\forall x,y \in L\ (a = x \vee y),\ x = 0$または$y=0$

$1$を持つ下半束$L$において、

$b \in L$が交わり環論的既約元であるとは、以下を満たすことを言う。

$b \not=1$
$\forall x,y \in L\ (b = x \wedge y),\ x = 1$または$y=1$

束において環論的既約元は存在しない。
(正確にいうと$=0$ではなく単元であるという条件。束において単元は$0$しかないからこう書いている。)

$0$を持つ半順序集合$L$において、
$a \in L$が原子元(atom)であるとは、$0 \prec a$であることを言う。

$1$を持つ半順序集合$L$において、
$b \in L$が余原子元(coatom)であるとは、$b \prec 1$であることを言う。

$L$の原子元全体を$\atom(L)$と書く。

$0$を持つ順序集合$L$において、任意の$0$でない元$a \in L\setminus\set{0}$に対しある原子元$b \in \atom(L)$が存在して$b \le a$であるとき、$L$は原子的(atomic)であるという。

$0$を持つ順序集合$L$において、任意の元$a \in L$に対し、$\bigvee↓^{\atom(L)}a$が定義出来て$a = \bigvee↓^{\atom(L)}a$と書けるとき、$L$は原子論的(atomistic)であるという。

原子元を持つが原子的でない例

$P = \N \times \Q_{\ge0}$と置く。
$P$の原子元は$(1,0)$のみ。しかし$(1,0) \not\le (0,1)$である。

$0$を持つ束$L$において、
$a \in L$が結び直既約元(join-directly-irreducible element/join-indecomposable element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$a \not = 0$
$\forall x,y \in L\ (a = x \vee y$かつ$x \wedge y = 0),\ x = 0$または$y = 0$

$1$を持つ束$L$において、
$b \in L$が交わり直既約元(meet-directly-irreducible element/meet-indecomposable element)であるとは、以下を満たすことを言う。

$b \not = 1$
$\forall x,y \in L\ (b = x \wedge y$かつ$x \vee y = 1),\ x = 1$または$y = 1$

それぞれが一致する条件

$0$を持つ上半束において、
結び素元 ⇒ 結び既約元 ⇐ 原子元

$0$を持つ束において、
結び既約元 ⇒ 結び直既約元

$1$を持つ下半束において、
交わり素元 ⇒ 交わり既約元 ⇐ 余原子元

$1$を持つ束において、
交わり既約元 ⇒ 交わり直既約元

双対的であるから交わりの方だけ示す。

[交わり素元 ⇒ 交わり既約元]
$L$を$1$を持つ下半束、
$p \in L$を交わり素元とする。

$x \wedge y = p$と仮定する。
$x=p$または$y=p$を示す。

$x \wedge y = p$であるから、当然$x \wedge y \le p$である。

$p$は素元であるため、定義より$x \le p$または$y \le p$となる。
ここで、$x \wedge y = p$は$x,y$の下界であるから、$p \le x$かつ$p \le y$
したがって、

$x \le p$の場合、$p \le x$と合わせて$x = p$となる。
$y \le p$の場合、$p \le y$と合わせて$y = p$となる。

よって、$x=p$または$y=p$である。

[交わり既約元 ⇐ 余原子元]
$L$を$1$を持つ下半束、
$p \in L$を余原子元とする。

$x \wedge y = p$と仮定する。
$x=p$または$y=p$を示す。

$p = x \wedge y \le x$であり、$p$は余原子元であるから、$x=p$または$x = 1$
同様に$y=p$または$y = 1$

$x = y = 1$と仮定すると、$p = x \wedge y = 1$となり、$p$が余原子元であることに矛盾。

よって、$x=p$または$y=p$である。

[交わり既約元 ⇒ 交わり直既約元]
$L$を$1$を持つ束、
$p \in L$を交わり既約元とする。

$a,b \in L\ (p = a \wedge b $かつ$ a \vee b = 1)$を取る。

$p$は交わり既約元であるから、$a = p$または$b=p$

[$a = p$の場合]
$p = a \wedge b$であるから、$p \le b$である。
今$a = p$であるから、$a \le b$である。
よって、$a \vee b = b$である。
$a \vee b = 1$だから、$b = 1$である。

[$b = p$の場合]
同様にして$a = 1$が分かる。

従って、$a = 1$または$b = 1$である。

既約元 ⇒ 素元は成り立たない。

例えば、5つの元$\{0, a, b, c, 1\}$からなる「非分配的」な束(ダイヤモンド束$M_3$)において、元$a$を考える。

$$ \xymatrix{ & & 1 & & \\ & & & & \\ a \ar@{-}[rruu] & & b \ar@{-}[uu] & & c \ar@{-}[lluu] \\ & & & & \\ & & 0 \ar@{-}[lluu] \ar@{-}[uu] \ar@{-}[rruu] & & } $$

$x \wedge y = a$となるのは$x=a$または$y=a$のみ($1 \wedge a = a$など)なので、$a$は既約元である。

しかし、$b \wedge c = 0 \le a$であるにもかかわらず、$b \not\le a$かつ$c \not\le a$であるため、$a$は素元ではない。

しかし、束が「分配束」であれば、この2つは完全に一致する。

既約元 ⇒ 原子元も成り立たない。

$L = \N$とする。

$2 \in \N$は結び既約元であるが、原子元ではない。

直既約元 ⇒ 既約元も成り立たない。

$$ \xymatrix{ & a & \\ b \ar@{-}[ru] & & c \ar@{-}[lu] \\ & d \ar@{-}[lu] \ar@{-}[ru] & \\ & 0 \ar@{-}[u] & } $$
$a$は結び既約でないが、結び直既約ではある。

$0$を持つ分配束$D$において、
結び既約元 ⇒ 結び素元

$1$を持つ分配束$D$において、
交わり既約元 ⇒ 交わり素元

双対的であるから交わりの方だけ示す。

$p$を$1$を持つ分配束$D$の交わり既約元とする。

$x \wedge y \le p$と仮定する。
$x \le p$または$y \le p$を示す。

両辺と$p$の結びをとると、
$(x \wedge y) \vee p \le p$

$(x \wedge y) \vee p \ge p$であるから、$(x \wedge y) \vee p = p$となる。

ここで左辺に分配律を適用すると、
(左辺)$= (x \vee p) \wedge (y \vee p)$
従って、$(x \vee p) \wedge (y \vee p) = p$

仮定より$p$は交わり既約元だから、$x \vee p = p$または$y \vee p = p$となる。

$x \vee p = p$は$x \le p$と同値であり、$y \vee p = p$は$y \le p$と同値である。

よって、$x \le p$または$y \le p$

$0$を持つ分配束$D$において、
原子元 ⇒ 結び素元

$1$を持つ分配束$D$において、
余原子元 ⇒ 交わり素元

双対的であるから交わりの方だけ示す。

$c$を余原子元とする。
$x \wedge y \le c$と仮定する。
$x \le c$ならばそれで証明完了。そうでない($x \not\le c$)と仮定する。

$c \le c \vee x$である。
$x \not\le c$だから$c \vee x$は$c$より真に大きい($c < c \vee x$)。

$c$は余原子元だから、$c$より真に大きい元は$1$しか存在しない。
よって$c \vee x = 1$

ここで、$y$を次のように変形し、分配律を適用する。
$y = 1 \wedge y = (c \vee x) \wedge y = (c \wedge y) \vee (x \wedge y)$

右辺の2つの項について考える。

$c \wedge y \le c$である。
仮定より$x \wedge y \le c$である。

よって、その結びである$y = (c \wedge y) \vee (x \wedge y)$も$c$以下となる($y \le c$)。

従って、$x \le c$または$y \le c$

$0$を持つ分配束においても素元 ⇒ 原子元は成り立たない。

$L = \N$とする。

$2 \in \N$は結び既約元であり結び素元であるが、原子元ではない。

Boole代数$B$において以下が成り立つ。

結び素元 ⇒ 原子元
交わり素元⇒ 余原子元

結び直既約元 ⇒ 結び既約元
交わり直既約元 ⇒ 交わり既約元

双対的であるから交わりの方だけ示す。

[交わり素元⇒ 余原子元]
$c \in B$を交わり素元とする。

$c \lt x \le 1$となる$x \in B$を取る。
$x=1$を示す。

Boole代数の性質から、$x \wedge \neg x = 0$である。
$x \wedge \neg x = 0 \le c$である。
$c$は交わり素元なので、$x \le c$または$\neg x \le c$となる。

しかし、今$c < x$と仮定しているため$x \le c$は成り立たない。よって、$\neg x \le c$である。

$c < x$であるから推移律より$\neg x \le x$となる。
従って、$x = x \vee \neg x = 1$となる。

よって$c$と$1$の間に真にある元は存在せず、$c$は余原子である。

[交わり直既約元 ⇒ 交わり既約元]
[$B = \set{0}$の場合]
$b\not=1$となる元が存在しないので空虚に真。

[$B = \set{0,1}$の場合]
$0$は交わり直既約であり既約である。

[$B$が3元以上持つ場合]
$0$は交わり直既約でない。

$p \in B$を交わり直既約元とする。

$a,b \in B\ (a \wedge b = p)$を取る。

分配性より$a \wedge (b \vee \neg a) = a \wedge b = p$である。
また、$a \vee (b \vee \neg a) = 1$である。
$p$は交わり直既約元だから、$a = 1$または$b \vee \neg a = 1$である。

[$a=1$の場合]
$a \wedge b = p$であるから、$b=p$である。

[$b \vee \neg a = 1$の場合]
両辺に$a$の交わりを取ると、
$a \wedge (b \vee \neg a) = a$
分配性より$a \wedge b = a$
即ち$p = a$

従って、$p=a$または$p=b$であるから、$p$は既約元であった。

従って、Boole代数において、結び既約元と結び素元と原子元と結び直既約元、交わり既約元と交わり素元と余原子元と交わり直既約元は一致する。

$$ \xymatrix{ & & 直既約 \ar@/^/@{->}[dd]^{Boole代数} & & \\ & & & & \\ & & 既約 \ar@/^/@{->}[uu]^{一般} \ar@/_1pc/@{->}[lldd]_{有界分配束} \ar@/^1pc/@{->}[rrdd]^{Boole代数} & & \\ & & & & \\ 素 \ar@{->}[rruu]_{一般} \ar@/_1pc/@{->}[rrrr]_{Boole代数} & & & & 原子 \ar@{->}[lluu]^{一般} \ar@{->}[llll]_{有界分配束} } $$

イデアル・フィルターについて

$1$を持つ束$L$と$p \in L$について、以下は同値である。

単項イデアル$↓^Lp$が素イデアルである。
$p$が交わり素元である。

$0$を持つ束$L$と$p \in L$について、以下は同値である。

単項フィルター$↑^Lp$が素フィルターである。
$p$が結び素元である。

イデアルの方だけ示す。

[1 ⇒ 2]
$\indent$$↓^Lp$は素イデアルであるから、$L$ではない。
$\indent$$p=1$と仮定すると、$↓^Lp = L$となり矛盾。従って、$p\not=1$

$\indent$$x \wedge y \le p$とする。
$\indent$$↓^Lp$はイデアルであり、下方集合だから、$x \wedge y \in ↓^Lp$である。
$\indent$$↓^Lp$は素イデアルであるから、定義より$x \in ↓^Lp$または$y \in ↓^Lp$となる。
$\indent$即ち、$x \le p$または$y \le p$であり、$p$は交わり素元である。

[2 ⇒ 1]
$\indent$$p\not=1$であるから、$↓^Lp \subsetneq L$

$\indent$$x \wedge y \in ↓^Lp$とする。
$\indent$$x \wedge y \le p$である。
$\indent$$p$は交わり素元であるから、$x \le p$または$y \le p$となる。
$\indent$即ち、$x \in ↓^Lp$または$y \in ↓^Lp$であり、$↓^Lp$は素イデアルである。