束の素元と既約元と原子元と直既約元とコンパクト元
自分用のノート
Boole代数について：
https://mathlog.info/articles/D2eYWclDN66J4HYRKzW8
イデアルとフィルターについて：
https://mathlog.info/articles/H7Q7ouWo9xmHpkVt1dEp
前提
半順序集合$P$と$x \in P$と$Q \subset P$に対し、$↓^Q x = \set{y \in Q \mid y \le x}$とする。
$0$は最小元を意味し、$1$は最大元を意味する。
完備束$L$上の二項関係を以下で定める。
$x \preceq y :⇔ x \le y$かつ$ \forall z \in L, (x \le z \le y \implies (z = x$または$z = y))$
$x \prec y :⇔ x \preceq y$かつ$x \not= y$
半順序集合$P$に対し、$D \subsetw{directed} P$と書くと、$D$は$P$の有向部分集合であることを意味する。
半順序集合$P$に対し、$F \subsetw{finite} P$と書くと、$F$は$P$の有限部分集合であることを意味する。
半順序集合$P$に対し、$T \subsetw{total} P$と書くと、$T$は$P$の全順序部分集合であることを意味する。
完備束$L$上の二項関係を以下で定める。
$x \ll y :⇔ \forall D \subsetw{directed} L, (y \le \bigvee D \implies \exists d \in D;\ x \le d)$
定義
$0$を持つ上半束$L$において、
$p \in L$が結び素元(join-prime element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $p\not=0$
- $\forall x,y \in L,\ (p \le x \vee y \implies (p \le x$または$p \le y))$
$1$を持つ下半束$L$において、
$q \in L$が交わり素元(meet-prime element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $q\not=1$
- $\forall x,y \in L,\ (x \wedge y \le q \implies (x \le q$または$y \le q))$
$0$を持つ上半束$L$において、
$a \in L$が結び既約元(join-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $a \not= 0$
- $\forall x,y \in L,\ (a = x \vee y \implies (x = a$または$y=a))$
$1$を持つ下半束$L$において、
$b \in L$が交わり既約元(meet-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $b \not=1$
- $\forall x,y \in L,\ (b = x \wedge y \implies (x = b$または$y=b))$
$0$を持つ半順序集合$L$において、
$a \in L$が原子元(atom)であるとは、$0 \prec a$であることを言う。
$1$を持つ半順序集合$L$において、
$b \in L$が余原子元(coatom)であるとは、$b \prec 1$であることを言う。
$0$を持つ束$L$において、
$a \in L$が結び直既約元(join-direct-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $a \not= 0$
- $\forall x,y \in L,\ ((a = x \vee y$かつ$0 = x \wedge y) \implies (x = 0$または$y=0))$
$1$を持つ束$L$において、
$b \in L$が交わり直既約元(meet-direct-irreducible element)であるとは、以下を満たすことを言う。
- $b \not=1$
- $\forall x,y \in L,\ ((b = x \wedge y$かつ$1 = x \vee y) \implies (x = 1$または$y=1))$
完備束$L$と$a \in L$に対し、$a$がコンパクト元とは、以下を満たすことを言う。
$$\forall S \subset L, (a \le \bigvee S \implies \exists T \subsetw{finite} S;\ a \le \bigvee T)$$
$L$を完備束とする。次が成り立つとき$x \in L$は有限であると言われる。
$x \ll x$
$x$が有限であることと$x$がコンパクト元であることは同値である。
[コンパクト元ならば有限]
$D \subsetw{directed} L$を取る。
$x \le \bigvee D$とする。
$x$のコンパクト性より、$x \le \bigvee T$なる有限集合$T \subsetw{finite} D$が存在する。
$D$の有向性より、$T$の上界$d \in D$が存在し、$x \le d$となる。
[有限ならばコンパクト元]
$S \subset L$を取る。
$x \le \bigvee S$とする。
$D = \set{\bigvee T \mid T \subsetw{finite} S}$と置く。
このとき、$D$は有向集合であり、$x \le \bigvee S = \bigvee D$である。
$x$は有限だから、ある$d \in D$が存在して$x \le d$である。
$d \in D$だから、$d = \bigvee T$と表せる。($T \subsetw{finite} S$)
$x \le \bigvee T$だから、$x$はコンパクト元であった。
完備束$L$と$a \in L$に対し、$a$が有限生成とは、以下を満たすことを言う。
$$\forall S \subset L, (a = \bigvee S \implies \exists T \subsetw{finite} S;\ a = \bigvee T)$$
それぞれが一致する条件
$0$を持つ上半束において、
結び素元 ⇒ 結び既約元 ⇐ 原子元
$0$を持つ束において、
結び既約元 ⇒ 結び直既約元
$1$を持つ下半束において、
交わり素元 ⇒ 交わり既約元 ⇐ 余原子元
$1$を持つ束において、
交わり既約元 ⇒ 交わり直既約元
双対的であるから交わりの方だけ示す。
[交わり素元 ⇒ 交わり既約元]
$L$を$1$を持つ下半束、
$p \in L$を交わり素元とする。
$x \wedge y = p$と仮定する。
$x=p$または$y=p$を示す。
$x \wedge y = p$であるから、当然$x \wedge y \le p$である。
$p$は素元であるため、定義より$x \le p$または$y \le p$となる。
ここで、$x \wedge y = p$は$x,y$の下界であるから、$p \le x$かつ$p \le y$
したがって、
- $x \le p$の場合、$p \le x$と合わせて$x = p$となる。
- $y \le p$の場合、$p \le y$と合わせて$y = p$となる。
よって、$x=p$または$y=p$である。
[交わり既約元 ⇐ 余原子元]
$L$を$1$を持つ下半束、
$p \in L$を余原子元とする。
$x \wedge y = p$と仮定する。
$x=p$または$y=p$を示す。
$p = x \wedge y \le x$であり、$p$は余原子元であるから、$x=p$または$x = 1$
同様に$y=p$または$y = 1$
$x = y = 1$と仮定すると、$p = x \wedge y = 1$となり、$p$が余原子元であることに矛盾。
よって、$x=p$または$y=p$である。
[交わり既約元 ⇒ 交わり直既約元]
$L$を$1$を持つ束、
$p \in L$を交わり既約元とする。
$a,b \in L\ (p = a \wedge b $かつ$ a \vee b = 1)$を取る。
$p$は交わり既約元であるから、$a = p$または$b=p$
[$a = p$の場合]
$p = a \wedge b$であるから、$p \le b$である。
今$a = p$であるから、$a \le b$である。
よって、$a \vee b = b$である。
$a \vee b = 1$だから、$b = 1$である。
[$b = p$の場合]
同様にして$a = 1$が分かる。
従って、$a = 1$または$b = 1$である。
既約元 ⇒ 素元は成り立たない。
例えば、5つの元$\{0, a, b, c, 1\}$からなる「非分配的」な束(ダイヤモンド束$M_3$)において、元$a$を考える。
$$ \xymatrix{ & & 1 & & \\ & & & & \\ a \ar@{-}[rruu] & & b \ar@{-}[uu] & & c \ar@{-}[lluu] \\ & & & & \\ & & 0 \ar@{-}[lluu] \ar@{-}[uu] \ar@{-}[rruu] & & } $$
$x \wedge y = a$となるのは$x=a$または$y=a$のみ($1 \wedge a = a$など)なので、$a$は既約元である。
しかし、$b \wedge c = 0 \le a$であるにもかかわらず、$b \not\le a$かつ$c \not\le a$であるため、$a$は素元ではない。
しかし、束が「分配束」であれば、この2つは完全に一致する。
既約元 ⇒ 原子元も成り立たない。
$L = \N$とする。
$2 \in \N$は結び既約元であるが、原子元ではない。
直既約元 ⇒ 既約元も成り立たない。
$$
\xymatrix{
& a & \\
b \ar@{-}[ru] & & c \ar@{-}[lu] \\
& d \ar@{-}[lu] \ar@{-}[ru] & \\
& 0 \ar@{-}[u] &
}
$$
$a$は結び既約でないが、結び直既約ではある。
$0$を持つ分配束$D$において、
結び既約元 ⇒ 結び素元
$1$を持つ分配束$D$において、
交わり既約元 ⇒ 交わり素元
双対的であるから交わりの方だけ示す。
$p$を$1$を持つ分配束$D$の交わり既約元とする。
$x \wedge y \le p$と仮定する。
$x \le p$または$y \le p$を示す。
両辺と$p$の結びをとると、
$(x \wedge y) \vee p \le p$
$(x \wedge y) \vee p \ge p$であるから、$(x \wedge y) \vee p = p$となる。
ここで左辺に分配律を適用すると、
(左辺)$= (x \vee p) \wedge (y \vee p)$
従って、$(x \vee p) \wedge (y \vee p) = p$
仮定より$p$は交わり既約元だから、$x \vee p = p$または$y \vee p = p$となる。
$x \vee p = p$は$x \le p$と同値であり、$y \vee p = p$は$y \le p$と同値である。
よって、$x \le p$または$y \le p$
$0$を持つ分配束$D$において、
原子元 ⇒ 結び素元
$1$を持つ分配束$D$において、
余原子元 ⇒ 交わり素元
双対的であるから交わりの方だけ示す。
$c$を余原子元とする。
$x \wedge y \le c$と仮定する。
$x \le c$ならばそれで証明完了。そうでない($x \not\le c$)と仮定する。
$c \le c \vee x$である。
$x \not\le c$だから$c \vee x$は$c$より真に大きい($c < c \vee x$)。
$c$は余原子元だから、$c$より真に大きい元は$1$しか存在しない。
よって$c \vee x = 1$
ここで、$y$を次のように変形し、分配律を適用する。
$y = 1 \wedge y = (c \vee x) \wedge y = (c \wedge y) \vee (x \wedge y)$
右辺の2つの項について考える。
- $c \wedge y \le c$である。
- 仮定より$x \wedge y \le c$である。
よって、その結びである$y = (c \wedge y) \vee (x \wedge y)$も$c$以下となる($y \le c$)。
従って、$x \le c$または$y \le c$
$0$を持つ分配束においても素元 ⇒ 原子元は成り立たない。
$L = \N$とする。
$2 \in \N$は結び既約元であり結び素元であるが、原子元ではない。
Boole代数$B$において以下が成り立つ。
結び素元 ⇒ 原子元
交わり素元⇒ 余原子元
結び直既約元 ⇒ 結び既約元
交わり直既約元 ⇒ 交わり既約元
双対的であるから交わりの方だけ示す。
[交わり素元⇒ 余原子元]
$c \in B$を交わり素元とする。
$c \lt x \le 1$となる$x \in B$を取る。
$x=1$を示す。
Boole代数の性質から、$x \wedge \neg x = 0$である。
$x \wedge \neg x = 0 \le c$である。
$c$は交わり素元なので、$x \le c$または$\neg x \le c$となる。
しかし、今$c < x$と仮定しているため$x \le c$は成り立たない。よって、$\neg x \le c$である。
$c < x$であるから推移律より$\neg x \le x$となる。
従って、$x = x \vee \neg x = 1$となる。
よって$c$と$1$の間に真にある元は存在せず、$c$は余原子である。
[交わり直既約元 ⇒ 交わり既約元]
[$B = \set{0}$の場合]
$b\not=1$となる元が存在しないので空虚に真。
[$B = \set{0,1}$の場合]
$0$は交わり直既約であり既約である。
[$B$が3元以上持つ場合]
$0$は交わり直既約でない。
$p \in B$を交わり直既約元とする。
$a,b \in B\ (a \wedge b = p)$を取る。
分配性より$a \wedge (b \vee \neg a) = a \wedge b = p$である。
また、$a \vee (b \vee \neg a) = 1$である。
$p$は交わり直既約元だから、$a = 1$または$b \vee \neg a = 1$である。
[$a=1$の場合]
$a \wedge b = p$であるから、$b=p$である。
[$b \vee \neg a = 1$の場合]
両辺に$a$の交わりを取ると、
$a \wedge (b \vee \neg a) = a$
分配性より$a \wedge b = a$
即ち$p = a$
従って、$p=a$または$p=b$であるから、$p$は既約元であった。
完備束$L$において、全ての原子元はコンパクト元である。
$a \in L$を原子元とする。
$a = \bigvee C$と表す。($C \subset L$)
$a \not= 0$だから、ある$c \in C$が存在して$0 < c$
この時、$0 < c \le a$であり、$a$は原子元だから$c = a$
よって、$a = \bigvee \set{a}$
例えば0はコンパクト元だが原子元でない。非自明な例は今思いつかないので後で書くかも。
完備束$L$において、コンパクト元は有限生成である。
$a \in L$:コンパクト元
$a = \bigvee_{i \in I}c_i$ とする。
$a = \bigvee_{i \in I}c_i$ であるため、当然 $a \le \bigvee_{i \in I}c_i$ が成り立つ。
$a$はコンパクト元であるから、$J \subsetw{finite} I$ が存在して $a \le \bigvee_{i \in J}c_i$ となる。
一方で、任意の $i \in I$ について $c_i \le \bigvee_{i \in I}c_i = a$ だから、
その有限部分集合の結びをとっても $\bigvee_{i \in J}c_i \le a$ となる。
$a \le \bigvee_{i \in J}c_i$ かつ $\bigvee_{i \in J}c_i \le a$ だから、$a = \bigvee_{i \in J}c_i$ となる。
逆は成り立たない。
$L = \set{F \subset \N \mid \card{F} < \infty }$ と置く。
$L$は包含関係を順序として束となり、最小元$0 = \varnothing$を持つ。
特別な元$a,1$を$L$の外から取る。
$L' = L \cup \set{a,1}$と置く。
すべての $F \in L$ について $0 \le F \le 1$ とする。
$0 \le a \le 1$ であり、$a$ は空でない任意の有限部分集合と比較不能とする。
このとき、$L'$は完備束になる。
[$a$は有限生成]
$a = \bigvee_{k \in I} d_k$ となったとする。
$a$ の下には $0$ しか存在しないから、結びが $a$ になるためには、$(d_k)_{k \in I}$ の中に必ず $a$ 自身が含まれていなければならない。
したがって、$a = \bigvee\set{a}$($\set{a} \subsetw{finite} (d_k)_{k \in I}$)と表せるから、$a$は有限生成である。
[$a$はコンパクト元でない]
$n \in \N$に対し、$c_n = \set{n}$とする。
$\bigvee_{n \in \N} c_n = 1$ となる。
よって $a \le 1 = \bigvee_{x \in X} c_x$ が成り立つ。
しかし、任意の有限部分集合 $F \subset \N$ に対して、結びは $\bigvee_{n \in F} c_n = F$ （有限部分集合）となる。
定義上、$a$ は $0$ 以外の有限部分集合とは比較不能だから、$a \le \bigvee_{n \in F} c_n$ は成り立たない。
$$ \xymatrix{ & & 直既約 \ar@/^/@{->}[dd]^{Boole代数} & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ & & 既約 \ar@/^/@{->}[uu]^{一般} \ar@/_1pc/@{->}[lldd]_{有界分配束} \ar@/^1pc/@{->}[rrdd]^{Boole代数} & & & & & & \\ & & & & & & & & \\ 素 \ar@{->}[rruu]_{一般} \ar@/_1pc/@{->}[rrrr]_{Boole代数} & & & & 原子 \ar@{->}[lluu]^{一般} \ar@{->}[llll]_{有界分配束} \ar@{->}[rr]^{完備束} & & コンパクト \ar@{->}[rr]^{一般} & & 有限生成 } $$
イデアル・フィルターについて
$1$を持つ束$L$と$p \in L$について、以下は同値である。
- 単項イデアル$↓^Lp$が素イデアルである。
- $p$が交わり素元である。
$0$を持つ束$L$と$p \in L$について、以下は同値である。
- 単項フィルター$↑^Lp$が素フィルターである。
- $p$が結び素元である。
イデアルの方だけ示す。
[1 ⇒ 2]
$\i$$↓^Lp$は素イデアルであるから、$L$ではない。
$\i$$p=1$と仮定すると、$↓^Lp = L$となり矛盾。従って、$p\not=1$
$\i$$x \wedge y \le p$とする。
$\i$$↓^Lp$はイデアルであり、下方集合だから、$x \wedge y \in ↓^Lp$である。
$\i$$↓^Lp$は素イデアルであるから、定義より$x \in ↓^Lp$または$y \in ↓^Lp$となる。
$\i$即ち、$x \le p$または$y \le p$であり、$p$は交わり素元である。
[2 ⇒ 1]
$\i$$p\not=1$であるから、$↓^Lp \subsetneq L$
$\i$$x \wedge y \in ↓^Lp$とする。
$\i$$x \wedge y \le p$である。
$\i$$p$は交わり素元であるから、$x \le p$または$y \le p$となる。
$\i$即ち、$x \in ↓^Lp$または$y \in ↓^Lp$であり、$↓^Lp$は素イデアルである。
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