計量テンソルが対角的な場合のRicciテンソル等の計算
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Reissner-Nordström解
の一部と重複します
Christoffel記号やRicciテンソルを計算する際、計量テンソルが対角的だと比較的簡単に計算できます。Robertson-Walker計量、Schwartzshild解、Reissner-Nordström解等のように対角的な計量の系はよくみられるので、その方法を知っておくとちょっと便利です。
以下はRef.[1]を元にしています。特に断らない限り、以下の表式・性質等は一般の$d$次元で成立します。
定義
まず本記事に現れる量の定義を示します。下の定義では繰り返し出現する添字に関し和をとります。
- Christoffel記号
\begin{aligned} \Gamma^\gamma{}_{\alpha\beta}:= \frac{1}{2} g^{\gamma\delta} (g_{\delta\alpha,\beta} +g_{\delta\beta,\alpha} -g_{\alpha\beta,\delta}) \end{aligned}
- Riemannテンソル
\begin{aligned} R^{\alpha}{}_{\beta\mu\nu}:= \Gamma^\alpha{}_{\beta\nu,\mu} -\Gamma^\alpha{}_{\beta\mu,\nu} +\Gamma^\alpha{}_{\sigma\mu}\Gamma^\sigma{}_{\beta\nu} -\Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\sigma{}_{\beta\mu} \end{aligned}
ただし"$,\mu$"は$\mu$での偏微分を表す - Ricciテンソル
\begin{aligned} R_{\alpha\beta}:=R^\mu{}_{\alpha\mu\beta} \ \ \ (=R_{\beta\alpha}) \end{aligned}
Christoffel記号の表式・性質
計量テンソルが対角的な場合、Christoffel記号に関して以下の性質が成り立ちます。
※ 以下繰り返し添字の和はとらないものとする
- $\Gamma^\mu{}_{\nu\rho}$は少なくともどれか2つの添字が一致しないとゼロになる
- \begin{aligned}\begin{cases}
\displaystyle 2\Gamma^\mu{}_{\sigma\mu}=\partial_\sigma\ln |g_{\mu\mu}|\\ \displaystyle
2\Gamma^\nu{}_{\mu\mu}=-g^{\nu\nu}\partial_\nu g_{\mu\mu} \ \ \ (\mu\neq\nu)
\end{cases}
\end{aligned}
が成立する。よって
\begin{aligned} 4\Gamma^\nu{}_{\mu\mu}\Gamma^\mu{}_{\nu\nu}&=g^{\nu\nu}(\partial_\nu g_{\mu\mu})g^{\mu\mu}(\partial_\mu g_{\nu\nu})\\ &=(\partial_\mu \ln |g_{\nu\nu}|) (\partial_\nu \ln |g_{\mu\mu}|)\\ &=4\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}\Gamma^\nu{}_{\mu\nu} \end{aligned}
である
Ricciテンソルの表式・性質
公式1によりRicciテンソルを計量テンソルで表すと、以下の表式を得ます。
※ 以下$\mu\neq\nu$および繰り返し添字の和はとらないものとする
- 対角成分\begin{aligned}
4R_{\mu\mu}=(\partial_\mu \ln |g_{\mu\mu}|-2\partial_\mu)\partial_\mu\ln
\left|\frac{g}{g_{\mu\mu}}\right|
-\sum_{\sigma\neq\mu}
\left[
(\partial_\mu\ln|g_{\sigma\sigma}|)^2
+\left(
\partial_\sigma\ln\frac{|g|}{g^2_{\mu\mu}}
+2\partial_\sigma\right)g^{\sigma\sigma}\partial_\sigma g_{\mu\mu}
\right]
\end{aligned}
ここで$g:=\det (g_{\alpha\beta})$である - 非対角成分\begin{aligned}
R_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu\ln
\left|\frac{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}{g}\right|
-\sum_{\sigma\neq\mu,\nu}\Gamma^\sigma{}_{\sigma\mu}\Gamma^\sigma{}_{\sigma\nu}
+\frac{1}{2}\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}\partial_\mu\ln
\left|\frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}\right|
+\frac{1}{2}\Gamma^\nu{}_{\mu\nu}\partial_\nu\ln
\left|\frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}\right|
\end{aligned}
これは更に以下のように書ける。
\begin{aligned} 4R_{\mu\nu}=(\partial_\mu\ln|g_{\nu\nu}|-\partial_\mu)\partial_\nu\ln \left| \frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}} \right| +(\mu\leftrightarrow \nu) -\sum_{\sigma\neq\mu,\nu} \partial_\mu \ln |g_{\sigma\sigma}| \partial_\nu\ln|g_{\sigma\sigma}| \end{aligned}
ただし$(\mu\leftrightarrow\nu)$はその手前の項の$\mu,\nu$を入れ替えた項を表す
公式2より、計量テンソルが対角的な場合、以下が成立することがわかります。
- Ricciテンソルが対角的になる十分条件は、計量テンソルが1つの座標のみに依存すること
- 計量テンソルが2つの座標$x_\alpha,x_\beta$に依存する場合、Ricciテンソルの非対角成分でゼロでない可能性があるのは$R_{\alpha\beta}$のみ
- 2次元ではRicciテンソルは必ず対角的
- 公式4の「非対角成分の公式」には2階微分の項があるが、この項は$g_{\mu\nu}$が単一の変数の関数の積からなる場合、すなわち$g_{\mu\mu}=\prod_l f^l_\mu(x_l)$のように書ける場合、ゼロになる
定理1の1.が適用できるのは、例えばRobertson-Walker計量: $ds^2=c^2dt^2-a(t)^2(dx^2+dy^2+dz^2)$です（$c$は光速）。この場合、計量テンソルは$t$にのみ依存しているため、Ricciテンソルは対角的になります。
定理1の2.が適用できる一例を示します。例えば次のような計量を考えます：
\begin{aligned}
ds^2&=A(r)dt^2-B(r)dr^2-r^2d\theta^2-r^2\sin^2\theta d\phi^2
\end{aligned}
これはSchwarzshild解やReissner-Nordström解等を導く際に使われる仮定です。計量テンソルは対角的であり、さらにこれらは$r,\theta$のみに依存しています。よってこの場合、Ricciテンソルで計算すべきは対角成分と$R_{r\theta} \ (=R_{\theta r})$のみです。$R_{r\theta}$を計算すればゼロになることがわかるので、この場合Ricciテンソルは対角的になります。
定理1の4.は上記のどの例にも適用できます。よってこれらの例では
\begin{aligned}
R_{\mu\nu}=
-\sum_{\sigma\neq\mu,\nu}\Gamma^\sigma{}_{\sigma\mu}\Gamma^\sigma{}_{\sigma\nu}
+\frac{1}{2}\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}\partial_\mu\ln
\left|\frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}\right|
+\frac{1}{2}\Gamma^\nu{}_{\mu\nu}\partial_\nu\ln
\left|\frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}\right| \ \ \ \ \ (\mu\neq\nu)
\end{aligned}
さらに
\begin{aligned}
4R_{\mu\nu}=(\partial_\mu\ln|g_{\nu\nu}|)\partial_\nu\ln
\left|
\frac{g}{g_{\mu\mu}g_{\nu\nu}}
\right|
+(\mu\leftrightarrow \nu)
-\sum_{\sigma\neq\mu,\nu}
\partial_\mu \ln |g_{\sigma\sigma}|
\partial_\nu\ln|g_{\sigma\sigma}| \ \ \ \ \ (\mu\neq\nu)
\end{aligned}
が成立します。
おしまい。${}_{\blacksquare}$
参考文献
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