文献あり

計量テンソルが対角的な場合のRicciテンソル等の計算

❇この記事はbisaitamaの記事 Reissner-Nordström解の一部と重複します

Christoffel記号やRicciテンソルを計算する際、計量テンソルが対角的だと比較的簡単に計算できます。Robertson-Walker計量、Schwartzshild解、Reissner-Nordström解等のように対角的な計量の系はよくみられるので、その方法を知っておくとちょっと便利です。

以下はRef.[1]を元にしています。特に断らない限り、以下の表式・性質等は一般の $d$ 次元で成立します。

定義

まず本記事に現れる量の定義を示します。下の定義では繰り返し出現する添字に関し和をとります。

Christoffel記号
$\begin{array}{r} Γ^{γ}_{α β} := \frac{1}{2} g^{γ δ} (g_{δ α, β} + g_{δ β, α} - g_{α β, δ}) \end{array}$
Riemannテンソル
$\begin{array}{r} R^{α}_{β μ ν} := Γ^{α}_{β ν, μ} - Γ^{α}_{β μ, ν} + Γ^{α}_{σ μ} Γ^{σ}_{β ν} - Γ^{α}_{σ ν} Γ^{σ}_{β μ} \end{array}$
ただし" $, μ$ "は $μ$ での偏微分を表す
Ricciテンソル
$\begin{array}{r} R_{α β} := R^{μ}_{α μ β} (= R_{β α}) \end{array}$

Christoffel記号の表式・性質

計量テンソルが対角的な場合、Christoffel記号に関して以下の性質が成り立ちます。

計量テンソルが対角的な場合のChristoffel記号の表式

※ 以下繰り返し添字の和はとらないものとする

$Γ^{μ}_{ν ρ}$ は少なくともどれか2つの添字が一致しないとゼロになる
$\begin{array}{r} {\begin{cases} 2 Γ^{μ}_{σ μ} = \partial_{σ} \ln | g_{μ μ} | \\ 2 Γ^{ν}_{μ μ} = - g^{ν ν} \partial_{ν} g_{μ μ} (μ \neq ν) \end{cases} \end{array}$
が成立する。よって
$\begin{aligned} 4 Γ^{ν}_{μ μ} Γ^{μ}_{ν ν} & = g^{ν ν} (\partial_{ν} g_{μ μ}) g^{μ μ} (\partial_{μ} g_{ν ν}) \\ = (\partial_{μ} \ln | g_{ν ν} |) (\partial_{ν} \ln | g_{μ μ} |) \\ = 4 Γ^{μ}_{μ ν} Γ^{ν}_{μ ν} \end{aligned}$
である

Ricciテンソルの表式・性質

公式1によりRicciテンソルを計量テンソルで表すと、以下の表式を得ます。

計量テンソルが対角的な場合のRicciテンソルの表式

※ 以下 $μ \neq ν$ および繰り返し添字の和はとらないものとする

対角成分 $\begin{array}{r} 4 R_{μ μ} = (\partial_{μ} \ln | g_{μ μ} | - 2 \partial_{μ}) \partial_{μ} \ln | \frac{g}{g_{μ μ}} | - \sum_{σ \neq μ} [(\partial_{μ} \ln | g_{σ σ} |)^{2} + (\partial_{σ} \ln \frac{| g |}{g_{μ μ}^{2}} + 2 \partial_{σ}) g^{σ σ} \partial_{σ} g_{μ μ}] \end{array}$
ここで $g := \det (g_{α β})$ である
非対角成分 $\begin{array}{r} R_{μ ν} = \frac{1}{2} \partial_{μ} \partial_{ν} \ln | \frac{g_{μ μ} g_{ν ν}}{g} | - \sum_{σ \neq μ, ν} Γ^{σ}_{σ μ} Γ^{σ}_{σ ν} + \frac{1}{2} Γ^{μ}_{μ ν} \partial_{μ} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | + \frac{1}{2} Γ^{ν}_{μ ν} \partial_{ν} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | \end{array}$
これは更に以下のように書ける。
$\begin{array}{r} 4 R_{μ ν} = (\partial_{μ} \ln | g_{ν ν} | - \partial_{μ}) \partial_{ν} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | + (μ \leftrightarrow ν) - \sum_{σ \neq μ, ν} \partial_{μ} \ln | g_{σ σ} | \partial_{ν} \ln | g_{σ σ} | \end{array}$
ただし $(μ \leftrightarrow ν)$ はその手前の項の $μ, ν$ を入れ替えた項を表す

公式2より、計量テンソルが対角的な場合、以下が成立することがわかります。

計量テンソルが対角的な場合のRicciテンソルの性質

Ricciテンソルが対角的になる十分条件は、計量テンソルが1つの座標のみに依存すること
計量テンソルが2つの座標 $x_{α}, x_{β}$ に依存する場合、Ricciテンソルの非対角成分でゼロでない可能性があるのは $R_{α β}$ のみ
2次元ではRicciテンソルは必ず対角的
公式4の「非対角成分の公式」には2階微分の項があるが、この項は $g_{μ ν}$ が単一の変数の関数の積からなる場合、すなわち $g_{μ μ} = \prod_{l} f_{μ}^{l} (x_{l})$ のように書ける場合、ゼロになる

定理1の1.が適用できるのは、例えばRobertson-Walker計量: $d s^{2} = c^{2} d t^{2} - a (t)^{2} (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})$ です（ $c$ は光速）。この場合、計量テンソルは $t$ にのみ依存しているため、Ricciテンソルは対角的になります。

定理1の2.が適用できる一例を示します。例えば次のような計量を考えます：
$\begin{aligned} d s^{2} & = A (r) d t^{2} - B (r) d r^{2} - r^{2} d θ^{2} - r^{2} \sin^{2} θ d ϕ^{2} \end{aligned}$
これはSchwarzshild解やReissner-Nordström解等を導く際に使われる仮定です。計量テンソルは対角的であり、さらにこれらは $r, θ$ のみに依存しています。よってこの場合、Ricciテンソルで計算すべきは対角成分と $R_{r θ} (= R_{θ r})$ のみです。 $R_{r θ}$ を計算すればゼロになることがわかるので、この場合Ricciテンソルは対角的になります。

定理1の4.は上記のどの例にも適用できます。よってこれらの例では
$\begin{array}{r} R_{μ ν} = - \sum_{σ \neq μ, ν} Γ^{σ}_{σ μ} Γ^{σ}_{σ ν} + \frac{1}{2} Γ^{μ}_{μ ν} \partial_{μ} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | + \frac{1}{2} Γ^{ν}_{μ ν} \partial_{ν} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | (μ \neq ν) \end{array}$
さらに
$\begin{array}{r} 4 R_{μ ν} = (\partial_{μ} \ln | g_{ν ν} |) \partial_{ν} \ln | \frac{g}{g_{μ μ} g_{ν ν}} | + (μ \leftrightarrow ν) - \sum_{σ \neq μ, ν} \partial_{μ} \ln | g_{σ σ} | \partial_{ν} \ln | g_{σ σ} | (μ \neq ν) \end{array}$
が成立します。