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大学数学基礎解説
文献あり

Reissner-Nordström解

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【修正履歴】
・16May2023: 公式5の「これらより」の下の式が間違っていたので修正しました
・20Sep2023: g:=det(gμν)とすべきところを誤ってg:=det(gμν)としていたので直しました
・14Oct.2023: 本記事ではMinkowski metricとして(+---)を用いています。一方、「準備」の章で引用しているsubmersionさんの記事では(-+++)を用いています。そのため、この章の作用SRの係数の符号とエネルギー・運動量テンソルTμνの符号は(-+++)で正しいものになってます。(+---)の場合は この記事 をご参照ください。(submersionさんご指摘ありがとうございます)

はじめに

静的球対称かつ電荷が存在する場合のEinstein方程式の解であるReissner-Nordström解を求めます。

計算することはシンプルです。計量テンソルとして球対称静的な場合を仮定し、エネルギー・運動量テンソルとして電磁場のそれを採用します。これらをEinstein方程式および重力と結合したMaxwell方程式に代入し、物質の分布外部であることを仮定して解を求めます。

本記事はRef.[1]を参考に書いています。そのうち非可換ゲージ場やSkyrme模型を伴うブラックホール解のことを自身の勉強も兼ねて書きたいと思っており、その準備のための記事です。

規約

本記事で採用している規約は以下です。基本的にはRef.[2]の規約と同じです。


  1. 特に断らない限り、繰り返して存在する添字に関して和をとる、いわゆるEinsteinの規約を採用する
  2. c:光速、G:重力定数、ϵ0:真空の誘電率、μ0:真空の透磁率としてc=G=ϵ0=μ0=1とする単位系を採用する
  3. x0t, x1r, x2θ, x3ϕとする
  4. 以下「運動方程式」とは、場や計量テンソルによる作用の変分がゼロになる条件式のことを言う(いわゆるEuler-Lagrange eq.)。
  5. A,xAxによる微分を表す:A,x:=xA
  6. A;xAxによる共変微分(xA)を表す。共変微分はテンソルの種類によってその作用が異なり、以下のように定義される
    • (0,0)テンソル: S;β:=S,β
    • (1,0)テンソル: Vα;β:=Vα,β+ΓμβαVμ
    • (0,1)テンソル: Pα;β:=Pα,βΓμαβPμ
    • (2,0)テンソル: Aμν;β:=Aμν,β+AανΓμαβ+AμαΓαβν
    • (0,2)テンソル: Tμν;β:=Tμν,βTανΓαμβTμαΓανβ
    • (1,1)テンソル: Bμν;β:=Bμν,β+BανΓμαβBμαΓανβ

単位系として1.を用いていることに注意してください。そのためc,G,ϵ0,μ0は式に現れません。

準備

Einstein方程式およびMaxwell方程式を構成するのに必要な計量テンソル、Christoffel記号、Ricciテンソル等に関する基礎的なことに関して述べます。

計量テンソルの仮定

以下の球対称静的な計量テンソルを仮定します:
ds2=A(r)dt2B(r)dr2r2dθ2r2sin2θdϕ2, g00=A(r),g11=B(r),g22=r2,g33=r2sin2θ
これはSchwarzshild解を求める際に使う仮定と同じです。c=1としていることに注意してください。

一般相対論・宇宙論では、計量テンソル全体の符号を上記の定義に対して逆にする定義(時間成分が負、空間成分が正)が多いですが、ここではそれとは逆にしました。素粒子物理ではこちらの定義が多いです。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル

エネルギー・運動量テンソル(Energy-Momentum Tensor, EMT)の定義として便利なものに、重力を結合させた物質場の作用を計量テンソルで変分して定義するものがあります。MathlogのSubmersionさんの記事 「【相対論】一般相対性理論概説」 (Ref.[3])にあるように、Einstein-Hilbert 作用に物質場の部分LMを加えた作用
S=[12κR+LM]gd4x
より運動方程式を求め、これをEinstein eq.と比較することで、EMTが以下のように与えられることがわかります:
Tμν=2gδ(gLM)δgμν
ここでg:=det(gμν)です。

電磁場のラグランジアンは
L=14FμνFμν,  Fμν:=μAννAμ,  AμはU(1)ゲージ場
であり、上記のEMTを計算すると以下のようになります。

電磁場に対するエネルギー・運動量テンソル

Tαβ=14gαβFμνFμνgβνFαμFνμ


このEMTの表式さえあれば計算には十分なのですが、以下に少し重要な蛇足を付け足しておきます。

計量テンソルの変分による EMTとは別なEMTの定義に、正準エネルギー・運動量テンソル(canonical EMT)があります。これは以下のように与えられます。

正準エネルギー・運動量テンソル

Tμν=δLδ(μAρ)νAρδμνL

canonical EMTは並進変換に対するネーター・カレントです。

さきほど定義したmetricの変分によるEMTは、canonical EMTに比べて良い性質を持ちます:

計量テンソルの変分によるEMTの利点
  1. 計算が簡単
  2. Lorentzの足の入れ替えに対し対称

1.に関しては、canonical EMTは場の変分で定義されているのに対し、計量テンソルの変分で定義されるEMTではそれがないことに由来します。U(1)ゲージ場の場合は計算量はさほど変わりませんが、例えばSkyrme模型と呼ばれる核子の模型におけるEMTの計算の場合、計量を用いて定義したEMTのほうが遥かに計算が簡単です。この例はちょっと特殊かもしれませんが...。

2.は計量テンソルの変分によるEMTがLMgμν変分で定義されていることからわかります。一方でcanonical EMTを計算すると
TCμν=FμρνAρ+14FαβFαβδμν
であり(下についたCはcanonicalを表す)、これはμνに対して対称ではありません。カレントには全微分項を足す不定性があるので、これに全微分項ρ(FμρAν)を足すと、計量テンソルの変分によるEMTと同じ結果を得ます。この変形には運動方程式ρFμρ=0を用いていることに注意してください。更に上記のTCμνはゲージ不変でもないです。このように、canonical EMTはネーターカレントという"正当性"を持つにも関わらず、あまり嬉しくない性質を持ちます。

ちなみに、canonical EMTに全微分項を足して対称にする系統的な方法が存在し、Belinfante improvementなどと呼ばれます。この方法で求めたEMTはBelinfante tensorとかBelinfante–Rosenfeld stress–energy tensorと呼ばれます(Ref.[4][5])。

各種テンソルの定義

以下時空に関する各種テンソルの定義です。

  • Christoffel記号

    Γγβμ:=12gαγ(gαβ,μ+gαμ,βgβμ,α)

  • Riemannテンソル

    Rαβμν:=Γαβν,μΓαβμ,ν+ΓασμΓσβνΓασνΓσβμ

  • Ricciテンソル

    Rαβ:=Rμαμβ  (=Rβα)

  • Ricciスカラー

    R:=gμνRμν=gμνgαβRαμβν

Einstein方程式

Einstein eq.は以下。

Einstein eq.

Gαβ+Λgαβ=8πTαβ,Gαβ:=Rαβ12gαβR  (=Gβα)(unit:c=G=1)

Λは宇宙定数ですが、以下ではこれがゼロの場合を考えます:
Rαβ12gαβR=8πTαβ

これを少し書き換えます。上の式の両辺にgαβをかけると以下を得ます:
R=8πT
ここでT:=Tααとしました。これを使うとEinstein eq.は以下のように変形できます:
Rαβ=8π(Tαβ12Tgαβ)
電磁場に対するEMTはトレースレス:Tμμ=0であるから、結局

Λ=0及びTαα=0の場合のEinstein eq.

Rαβ=8πTαβ

を得ます。以下ではこの形のEinstein eq.を使います。

重力と結合するMaxwell方程式

曲がった時空における電磁場を記述する方程式は以下です:

重力と結合するMaxwell方程式

 Fμν;ν=0νFμν+ΓμανFαν+ΓνανFμα=0

対称性よりfield strengthの成分を制限する

field strengthを対称性により簡単にすることを考えます。ここでは静的な状況を考えているので、磁気モノポールを考えなければ電場のみが存在します。さらに球対称性より電場はrのみの関数かつ方向もr方向のみです。ゆえにfield strengthは以下の形になります:
Fμν=(0Er(r)00Er(r)00000000000)

すなわちFμνのゼロでない成分はF01=F10=Er(r)のみです。

各種テンソルの具体的な計算

Christoffel記号及びRicciテンソルの計算

Christoffel記号およびRicciテンソルを計算するのはまあまあ大変であり、簡便な計算法があるとよいです。Christoffel記号に関しては、Mathlogのyuskaさんの記事 「クリストッフェル記号の簡単な計算方法」 (Ref.[6])にある計算法 −変分によるクリストッフェル記号の計算− は間違いも少なく便利な方法だと思います。

ここではRef.[7]に記載されている、計量テンソルが対角的な場合に使えるChristoffel記号およびRicci テンソルの計算公式を紹介します。以下の公式・定理は、特に断らない限り、任意の次元で成立します。

計量テンソルが対角成分のみを持つ場合のChristoffel記号の性質
  • Γμνρは少なくともどれか2つが一致しないとゼロになる。
  • 2Γσμμ=σln|gμμ|, 2Γμμν=gνννgμμ
    (μν,μσ, 繰り返しの添字の和はとらない)
    これらより4ΓνμμΓμνν=gνν(νgμμ)gμμ(μgνν)=(μln|gνν|)(νln|gμμ|)=4ΓμμνΓνμν
    が成立する。

この事実を使うことで、以下のRicciテンソルの表式を得ます。

計量テンソルが対角成分のみの場合のRicciテンソルの計算

μνおよび繰り返しの添字の和はとらないこととする。

  • 対角成分

    4Rμμ=(μln|gμμ|2μ)μln|ggμμ|σμ[(μln|gσσ|)2+(σln|g|gμμ2+2σ)gσσσgμμ]

  • 非対角成分

    4Rμν=(μln|gνν|μ)νln|ggμμgνν|+(μν)σμ,νμln|gσσ|νln|gσσ|

(μν)は、その手前の項のμ,νを入れ替えたものを表します。これを使うと計量テンソルから直接Ricciテンソルを計算できます。

この公式より、計量テンソルが対角的な場合、以下が成立することがわかります:

Ricci tensorが対角的になる条件(など)
  1. Ricciテンソルが対角的になる十分条件は、計量テンソルが1つの座標にしか依存しないこと。例えばRobertson-Walker計量:ds2=dt2a(t)2(dx2+dy2+dz2)の場合、Ricciテンソルは対角的
  2. 計量テンソルが2つの座標xα,xβに依存する場合、Ricciテンソルの非対角成分でゼロでない可能性があるのはRαβのみ
  3. 2次元ではRicciテンソルは必ず対角的
  4. 公式4の「非対角成分の公式」には2階微分の項があるが、この項はgμνが単一の変数の関数の積からなる場合(gμμ=lfμl(xl)と書ける場合)ゼロになる

今の場合計量テンソルはr,θに依存するので、2.より非対角で残る可能性があるのはR12 (=R21)のみです。計算すればこれがゼロになることがわかるので、Ricciテンソルは対角成分のみが残ります。

Christoffel記号およびRicciテンソルを具体的に計算すると以下を得ます:

Christoffel記号 & Riemannテンソルの具体的な表式
[Christoffel記号]
  • Γ010=Γ100=A2A
  • Γ001=A2BΓ111=B2BΓ221=rBΓ331=rsin2θB
  • Γ122=Γ212=1rΓ332=sinθcosθ
  • Γ133=Γ313=1rΓ233=Γ323=cotθ

[Riemannテンソル]
  • R00=A4B(AA+BB)+A2B+ABr
  • R11=A4A(AA+BB)A2A+BBr
  • R22=r2B(AABB)1B+1
  • R33=R22sin2θ

ここでrによる微分を意味する

公式5,6および定理1を使うとこれらを計算することができますが、公式6が有用か否かは場合と慣れと好みによると思います(今の場合Christoffel記号も計算しなければならないし...)。一方公式5と定理1は、計量テンソルが対角的な場合いつでも有用です。

エネルギー・運動量テンソル

電磁場のEMTを具体的に計算すると以下のようになります。

電磁場のエネルギー・運動量テンソル
  • T00=12AF01F01
  • T11=12BF01F01
  • T22=12r2F01F01
  • T33=T22sin2θ

方程式を解く

以上の準備により、方程式群の具体的な表式を求めることができます。ここからは方程式群を解くことによりA(r),B(r)を決定することを目指します。

これらを決定するために、Einstein eq.と重力の結合したMaxwell eq.を使います。

Einstein eq.: Rαβ=8πTαβMaxwell eq.: Fμν;ν=0νFμν+ΓμανFαν+ΓνανFμα=0

AB=const.を導く

前章のエネルギー・運動量テンソルをみると、次の式が成立することがわかります:
T00/A+T11/B=0
これにEinstein eq.を使うと
R00/A+R11/B=01rB(AA+BB)=0rln(AB)=0AB=const.
を得ます。この定数をfとすれば
AB=f (=const.)
となります。

Maxwell方程式から電場を決定する

Fμν;ν=0μ=0の場合を考えます。
βF0β+Γ0μβFμβ+ΓβμβF0μ=0rF01+(A2A+B2B+2r)F01=0
いまA/A+B/B=0なので
rF01+2rF01=0F01=const./r2Er=const./r2
これはCoulomb力の表式であるから定数はQ/4πQ:r内に存在する電荷)であるべきであり
F01=Er=Q4πr2
を得ます。

Einstein eq.の2-2成分よりA,Bを導く

Einstein方程式の2-2成分
R22=8πT22
よりAを決定します。R22を具体的に計算すると
R22=42B(AABB)1B+1=1fr(rA)+1
ここでB=f/Aと、これより導かれるB=fA/A2を用いました。よって
r(rA)=fQ24πr2A=f+Cr+Q24πr2
を得ます。Cは積分定数です。

ここでrで計量テンソルがMinkowskiに近づくことからf=1でなければなりません。また、弱重力極限ではg0012M/rとなることから(Mr内の質量。submersionさんの記事(Ref.[3])の「万有引力の幾何学化」の章のΦM/rにしたもの)
C=2M
です。

以上からrs:=2M, rQ2:=Q2/4πとして
A=1rsr+rQ2r2,B=1A=(1rsr+rQ2r2)1
となります。


最終的に、 Reissner-Nordström解は以下のようになります:

Reissner-Nordström解

gμν=(1rsr+rQ2r20000(1rsr+rQ2r2)10000r20000r2sin2θ)rs:=2M,  rQ2:=Q2/4π

おしまい。

参考文献

[2]
Schutz, B. (江里口良二、二間瀬敏史 訳), 相対論入門 下 − 一般相対論 −, 丸善株式会社, 1988
[4]
Belinfante F.J., On the current and the density of the electric charge, the energy, the linear momentum and the angular momentum of arbitrary fields, Physica. 7 (5), 1940, 449
[7]
Win, K. Z., Ricci Tensor of Diagonal Metric, arXiv:gr-qc/9602015, 1996
投稿日:2023514
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  1. はじめに
  2. 規約
  3. 準備
  4. 計量テンソルの仮定
  5. 電磁場のエネルギー・運動量テンソル
  6. 各種テンソルの定義
  7. Einstein方程式
  8. 重力と結合するMaxwell方程式
  9. 対称性よりfield strengthの成分を制限する
  10. 各種テンソルの具体的な計算
  11. Christoffel記号及びRicciテンソルの計算
  12. エネルギー・運動量テンソル
  13. 方程式を解く
  14. AB=const.を導く
  15. Maxwell方程式から電場を決定する
  16. Einstein eq.の2-2成分よりA,Bを導く
  17. 参考文献