第2種Jacobi関数のNeumann型積分表示
第1種Jacobi関数を
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,b)}(x):=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
とする. Hobson型の第2種Jacobi関数(
前の記事
で$\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}$と表したもの)を
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac 1{2^{\nu+1}(x-1)^a(x+1)^b}\int_{-1}^1(1-t)^{\nu+a}(1+t)^{\nu+b}(x-t)^{-\nu-1}\,dt
\end{align}
とする. このとき, 以下の表示が知られている.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
Q_n^{(a,b)}(x)&=\frac 12(x-1)^{-a}(x+1)^{-b}\int_{-1}^1\frac{P_n^{(a,b)}(t)}{x-t}(1-t)^a(1+t)^b\,dt
\end{align}
が成り立つ.
Jacobi多項式のRodriguesの公式
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x)&=\frac{(-1)^n}{2^nn!}(1-x)^{-a}(1+x)^{-b}\frac{d^n}{dx^n}(1-x)^{a+n}(1+x)^{b+n}
\end{align}
を用いると, 左辺は$n$回部分積分することにより,
\begin{align}
&\frac 12(x-1)^{-a}(x+1)^{-b}\int_{-1}^1\frac{P_n^{(a,b)}(t)}{x-t}(1-t)^a(1+t)^b\,dt\\
&=\frac{(-1)^n}{2^{n+1}n!}(x-1)^{-a}(x+1)^{-b}\int_{-1}^1\frac{1}{x-t}\frac{d^n}{dt^n}(1-t)^{a+n}(1+t)^{b+n}\,dt\\
&=\frac{1}{2^{n+1}}(x-1)^{-a}(x+1)^{-b}\int_{-1}^1(1-t)^{a+n}(1+t)^{b+n}(x-t)^{-n-1}\,dt\\
&=Q_n^{(a,b)}(x)
\end{align}
となって示される.
前の記事
で,
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac{2^{\nu+a+b}\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\Gamma(2\nu+a+b+2)(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\F21{\nu+1,a+\nu+1}{2\nu+a+b+2}{\frac{2}{1-x}}
\end{align}
という表示を示した. この表示から, 定理1は
\begin{align}
\frac 1{x-t}=\frac 1{x-1}\sum_{0\leq n}\left(\frac{1-t}{1-x}\right)^n
\end{align}
と$\frac 1{1-x}$に関して展開して項別積分することによっても示すことができる.
一般の実数$\nu$に対しては
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x), \frac 12(x-1)^{-a}(x+1)^{-b}\int_{-1}^1\frac{P_{\nu}^{(a,b)}(t)}{x-t}(1-t)^a(1+t)^b\,dt
\end{align}
は一致しないことに注意が必要である. Hobson型の第2種Legendre関数を
\begin{align}
Q_n(x):=Q_n^{(0,0)}(x)
\end{align}
とすると定理1から
\begin{align}
Q_n(x)&=\frac 12\int_{-1}^1\frac{P_n(t)}{x-t}\,dt
\end{align}
が成り立つことが分かる. これはNeumannの積分表示と呼ばれるものである.
Ferrers型の場合
以降, 上の$Q_{\nu}^{(a,b)}$を$\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}$と表して,
前の記事
と同じ記法を用いることにする.
前の記事
において,
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac 1{\pi}(e^{\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x+i0)+e^{-\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x-i0))
\end{align}
が成り立つことを示した. これと定理1を用いると, $-1< x<1$に対して,
\begin{align}
Q_n^{(a,b)}(x)&=\frac 1{\pi}(1-x)^{-a}(1+x)^{-b}PV\int_{-1}^1\frac{P_n^{(a,b)}(t)}{x-t}(1-t)^a(1+t)^b\,dt
\end{align}
が得られる. ここで, $PV$は主値積分を意味する. これは有限Hilbert変換の形である. Ferrers型の第2種Legendre関数を
\begin{align}
Q_n(x):=Q_n^{(0,0)}(x)
\end{align}
とすると, $-1< x<1$に対し
\begin{align}
Q_n(x)&=\frac 1{\pi}PV\int_{-1}^1\frac{P_n(t)}{x-t}\,dt
\end{align}
が成り立つことが分かる. この積分表示はZhouの2014年の論文でLegendre関数に対する表示
\begin{align}
(1+x)^{\nu-n}Q_{\nu}(x)&=\frac 1{\pi}PV\int_{-1}^1\frac{(1+t)^{\nu-n}P_{\nu}(t)}{x-t}\,dt
\end{align}
に一般化されているようである. ここで, $n$は非負整数である.
