Bessel関数, 変形Bessel関数のMellin変換
Bessel関数は
\begin{align}
J_{\nu}(z):=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{z}2\right)^{2m+\nu}
\end{align}
と定義される. Bessel関数のMellin変換は以下のようになる.
$-\Re(\nu)<\Re(s)<\frac 32$のとき
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)\,dt&=\frac{2^{s-1}\Gamma\left(\frac{\nu}2+\frac s2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\nu}2-\frac s2\right)}
\end{align}
が成り立つ.
Ramanujan's master theorem
より,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)\,dt&=\int_0^{\infty}t^{s+\nu-1}\sum_{0\leq m}\frac{(-t^2)^m}{m!2^{2m+\nu}\Gamma(m+\nu+1)}\,dt\\
&=\frac 12\int_0^{\infty}t^{\frac{s+\nu}2-1}\sum_{0\leq m}\frac{(-t)^m}{m!2^{2m+\nu}\Gamma(m+\nu+1)}\,dt\\
&=\frac 12\frac{2^s\Gamma\left(\frac{\nu}2+\frac s2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\nu}2-\frac s2\right)}
\end{align}
と示される.
第2種Bessel関数
第2種Bessel関数は
\begin{align}
Y_{\nu}(z):=\frac{J_{\nu}(z)\cos\nu\pi-J_{-\nu}(z)}{\sin\nu\pi}
\end{align}
と定義される.
$|\Re(\nu)|<\Re(s)<\frac 32$のとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}Y_{\nu}(t)\,dt=-\frac{2^{s-1}\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac s2-\frac{\nu}2\right)}{\pi}\cos\pi\frac{s-\nu}2
\end{align}
が成り立つ.
定理1を用いると,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}Y_{\nu}(t)\,dt&=\frac{\cos\nu\pi}{\sin\nu\pi}\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{\nu}(t)\,dt-\frac 1{\sin\nu\pi}\int_0^{\infty}t^{s-1}J_{-\nu}(t)\,dt\\
&=\frac{\cos\nu\pi}{\sin\nu\pi}\frac 12\frac{2^s\Gamma\left(\frac{\nu}2+\frac s2\right)}{\Gamma\left(1+\frac{\nu}2-\frac s2\right)}
-\frac 1{\sin\nu\pi}\frac 12\frac{2^s\Gamma\left(-\frac{\nu}2+\frac s2\right)}{\Gamma\left(1-\frac{\nu}2-\frac s2\right)}
\\
&=\frac{2^{s-1}\pi}{\sin\nu\pi\Gamma\left(1+\frac{\nu}2-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac{\nu}2-\frac s2\right)}\left(\frac{\cos\nu\pi}{\sin\pi\frac{\nu+s}2}-\frac 1{\sin\pi\frac{s-\nu}{2}}\right)\\
&=\frac{2^{s-1}\pi}{\sin\nu\pi\Gamma\left(1+\frac{\nu}2-\frac s2\right)\Gamma\left(1-\frac{\nu}2-\frac s2\right)}\left(\frac{\cos\nu\pi}{\sin\pi\frac{\nu+s}2}-\frac 1{\sin\pi\frac{s-\nu}{2}}\right)\\
&=\frac{2^{s-1}\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac s2-\frac{\nu}2\right)}{\pi\sin\nu\pi}\left(\cos\nu\pi\sin\pi\frac{s-\nu}{2}-\sin\pi\frac{\nu+s}2\right)\\
&=-\frac{2^{s-1}\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac s2-\frac{\nu}2\right)}{\pi}\cos\pi\frac{s-\nu}2
\end{align}
第2種変形Bessel関数
第1種変形Bessel関数は
\begin{align}
I_{\nu}(z):=\sum_{0\leq m}\frac{(-1)^m}{m!\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{z}2\right)^{2m+\nu}
\end{align}
と定義される. 第2種変形Bessel関数は
\begin{align}
K_{\nu}(z):=\frac{\pi}2\frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin\pi\nu}
\end{align}
で与えられる. 第1種変形Bessel関数は$z\to\infty$において,
\begin{align}
I_{\nu}(z)\sim\frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}}
\end{align}
なので, Mellin変換は存在しないが, 第2種変形Bessel関数は
\begin{align}
K_{\nu}(z)\sim\sqrt{\frac{\pi}{2z}}e^{-z}
\end{align}
となるので, Mellin変換が存在する.
$|\Re(\nu)|<\Re(s)$のとき,
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\nu}(t)\,dt=2^{s-2}\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s}2-\frac{\nu}2\right)
\end{align}
が成り立つ.
Schläfliの積分表示
\begin{align}
K_{\nu}(t)&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t\cosh u-\nu t}\,du
\end{align}
を用いると
\begin{align}
\int_0^{\infty}t^{s-1}K_{\nu}(t)\,dt&=\frac 12\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}t^{s-1}e^{-t\cosh u-\nu t}\,dudt\\
&=\frac 12\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_0^{\infty}t^{s-1}e^{-t\cosh u}dt\right)e^{-\nu t}\,du\\
&=\frac 12\Gamma(s)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-\nu u}}{\cosh^su}\,du\\
&=2^{s-1}\Gamma(s)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-(s+\nu)u}}{(1+e^{-2u})^s}\,du\\
&=2^{s-2}\Gamma(s)\int_0^{\infty}\frac{t^{\frac{s+\nu}2-1}}{(1+t)^s}\,dt\\
&=2^{s-2}\Gamma(s)\frac{\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s}2-\frac{\nu}2\right)}{\Gamma(s)}\\
&=2^{s-2}\Gamma\left(\frac{s}2+\frac{\nu}2\right)\Gamma\left(\frac{s}2-\frac{\nu}2\right)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
