arcsinで作って遊ぼう！

\begin{eqnarray} \frac{d^{n}}{dx^{n}}\frac{1}{\sqrt{1-x}}&=&\frac{\left(2n-1\right)!!}{2^{n}}\frac{1}{\left(1-x\right)^{{\frac{\left(2n+1\right)}{2}}}}\\ &=& \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n}n!}\frac{1}{\left(1-x\right)^{{\frac{\left(2n+1\right)}{2}}}} \end{eqnarray}
を用いるだけ。

次の事実を用いて、$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$を積分するだけ。
\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{}_{2n}C_{n}}{2^{2n}}x^{2n} \end{equation}

微分方程式を用いるゾ。
まず$y=\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}x^{2n-1}$とおくよ。
ちなみに、ちゃっかり$\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^{2}}}$が奇関数である事を用いているぜ。
とりあえず、微分してみよう。すると次の様な微分方程式が得られるよ。
\begin{equation} \left(1-x^{2}\right)y^{'}-xy-1 \end{equation}
これに$\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}x^{2n-1}$を代入すると次の様になる。
\begin{eqnarray} 1a_{1}&+&3a_{3}x^{2}+5a_{5}x^{4}+\cdots\\ &-&1a_{1}x^{2}-3a_{3}x^{4}-\cdots\\ &-&a_{1}x^{2}-a_{3}x^{4}-\cdots\\ -1\\ =0 \end{eqnarray}
$x^{n}$の係数がそれぞれ0になるので$a_{2n-1}$は次のように書ける。
\begin{eqnarray} a_{2n-1}&=&\frac{\left(2n-2\right)!!}{\left(2n-1\right)!!}\\ &=&\frac{2^{n}n!}{2n\left(2n-1\right)!!}\\ &=&\frac{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}{2n\left(2n\right)!}\\ &=&\frac{2^{2n-1}}{n{}_{2n}C_{n}} \end{eqnarray}
ゆえに証明完了。

$y=e^{m\arcsin{x}}$とおく。これを$x$で微分すると次式を得る。
\begin{equation} y^{'}=\frac{e^{m\arcsin{x}}}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{equation}
この式をさらに微分して整理すると次式を得る。
\begin{equation} \left(1-x^{2}\right)y^{''}-xy^{'}-m^{2}y=0 \end{equation}
$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$とおいて、この微分方程式に代入すると次のような式を得る。
\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}-\left(n^{2}-m^{2}\right)a_{n}\right]x^{n}=0 \end{equation}
この式より次の様な漸化式を得る。
\begin{equation} a_{n}=\frac{m^{2}+n^{2}}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}a_{2n} \end{equation}
$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{2n}=\frac{1}{\left(2n\right)!}\prod_{k=1}^{n}\{m^{2}+\left(2k-2\right)^{2}\}\\ a_{2n+1}=\frac{1}{\left(2n+1\right)!}\prod_{k=1}^{n}\{m^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\}\\ a_{0}=1\\ a_{1}=m \end{array} \right. \end{eqnarray}$
この漸化式を用いて、 $e^{m\arcsin{x}}$をマクローリン展開し、mに関するべきで書き直すと次の様な式を得る。
\begin{eqnarray} e^{m\arcsin{x}}= 1&+&mx\\ &+&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2n\right)!}\prod_{k=1}^{n}\{m^{2}+\left(2k-2\right)^{2}\}x^{2n}\\ &+&m\sum\frac{1}{\left(2n+1\right)!}\prod_{k=1}^{n}\{m^{2}+\left(2k-1\right)^{2}\}x^{2n+1}\\ =1&+&m\left(\frac{1}{1!}x+\frac{1^{2}}{3!}x^{3}+\frac{1^{2}{3^{2}}}{5!}x^{5}+\frac{1^{2}3^{2}5^{2}}{7!}x^{7}+\cdots\right)\\ &+&m^{2}\left(\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{2^{2}}{4!}x^{4}+\frac{2^{2}4^{2}}{6!}x^{6}+\frac{2^{2}4^{2}6^{2}}{8!}x^{8}+\cdots\right)\\ &+&m^{3}\left(\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1^{2}+3^{2}}{5!}x^{5}+\frac{1^{2}3^{2}+1^{2}5^{2}+3^{2}5^{2}}{7!}x^{7}+\frac{1^{2}3^{2}5^{2}+1^{2}3^{2}7^{2}+1^{2}5^{2}7^{2}+3^{2}5^{2}7^{2}}{9!}x^{9}+\cdots\right)\\ &+&m^{4}\left(\frac{1}{4!}x^{4}+\frac{2^{2}+4^{2}}{6!}x^{6}+\frac{2^{2}4^{2}+2^{2}6^{2}+4^{2}6^{2}}{8!}x^{8}+\frac{2^{2}4^{2}6^{2}+2^{2}4^{2}8^{2}+2^{2}6^{2}8^{2}+4^{2}6^{2}8^{2}}{10!}x^{10}+\cdots\right)\\ &+&\cdots \end{eqnarray}
この式と、次の式の$m^{k}$の係数比較により$\left(\arcsin{x}\right)^{k}$のマクローリン展開が求まる。
\begin{equation} e^{m\arcsin{x}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{m^{k}}{k!}\left(\arcsin{x}\right)^{k} \end{equation}

\begin{eqnarray} [m^{2k}]\left(2l\right)&=&\sum_{\substack{p_1,p_2,...,p_{l-k}\in \{2,4,...,2\left(l-1\right)\}\\p_{1}\lt p_{2}\lt \cdots p_{l-k}}}p_{1}^{2}p_{2}^{2}\cdots p_{k-l}^{2}\\ &=& \{\left(2l-2\right)!!\}^{2}\sum_{\substack{1\leq q_{1}\lt q_{2}\lt \cdots q_{k-1}\leq 2\left(l-1\right)\\ q_{1},q_{2},...,q_{k-1}\in Even}}\frac{1}{q_{1}^{2}q_{2}^{2}\cdots q_{k-1}^{2}}\\ &=& 2^{2l-k}\frac{\{\left(l\right)!\}^{2}}{4l^{2}}\zeta_{l-1}{\left(\{2\}^{k-1}\right)} \end{eqnarray}
同様にして
\begin{eqnarray} [m^{2k+1}]\left(2l+1\right)&=&\sum_{\substack{\left(p_{1},p_{2},...,p_{l-k}\right) \in\{1,3,...,2l-1\}\\ p_1\lt p_2\lt \lt\cdots p_{l-k}}}p_{1}^{2}p_{2}^{2}\cdots p_{l-k}^{2}\\ &=& \{\left(2l-1\right)!!\}^{2}\sum_{\substack{1\leq q_{1} \lt q_{2}\lt \cdots \lt q_{k-1}\leq 2l-1 \\ q_{1},q_{2},...,q_{k-1} \in odd}}\frac{1}{q_{1}^{2}q_{2}^{2}\cdots q_{k-1}^{2}}\\ &=& \frac{\{\left(2l\right)!\}^{2}}{2^{2l}\left(l!\right)^{2}}\zeta_{l-1}^{odd}{\left(\{2\}^{k-1}\right)} \end{eqnarray}