arcsinで作って遊ぼう！

$$\begin{array}{rcl}\frac{d^n}{d{x}^n}\frac{1}{\sqrt{1-x}}& =& \frac{(2n-1)!!}{2^n}\frac{1}{{(1-x)}^{\frac{(2n+1)}{2}}}\\ & =& \frac{\left(2n\right)!}{2^{2n}n!}\frac{1}{{(1-x)}^{\frac{(2n+1)}{2}}}\end{array}$$
を用いるだけ。

次の事実を用いて、$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$を積分するだけ。
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{}_{2n}{C}_n}{2^{2n}}{x}^{2n}$$

微分方程式を用いるゾ。
まず$y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n-1}{x}^{2n-1}$とおくよ。
ちなみに、ちゃっかり$\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$が奇関数である事を用いているぜ。
とりあえず、微分してみよう。すると次の様な微分方程式が得られるよ。
$$(1-x^2)y^{{}^{\prime }}-xy-1$$
これに$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n-1}{x}^{2n-1}$を代入すると次の様になる。
$$\begin{array}{rcl}1a_1& +& 3a_3{x}^2+5a_5{x}^4+\cdots \\ & -& 1a_1{x}^2-3a_3{x}^4-\cdots \\ & -& a_1{x}^2-a_3{x}^4-\cdots \\ -1\\ =0\end{array}$$
$x^n$の係数がそれぞれ0になるので$a_{2n-1}$は次のように書ける。
$$\begin{array}{rcl}{a}_{2n-1}& =& \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}\\ & =& \frac{2^{n}n!}{2n(2n-1)!!}\\ & =& \frac{2^{2n}{(n!)}^2}{2n\left(2n\right)!}\\ & =& \frac{2^{2n-1}}{n{}_{2n}{C}_n}\end{array}$$
ゆえに証明完了。

$y=e^{m\arcsin x}$とおく。これを$x$で微分すると次式を得る。
$$y^{{}^{\prime }}=\frac{e^{m\arcsin x}}{\sqrt{1-x^2}}$$
この式をさらに微分して整理すると次式を得る。
$$(1-x^2)y^{{}^{″}}-x{y}^{{}^{\prime }}-m^{2}y=0$$
$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$とおいて、この微分方程式に代入すると次のような式を得る。
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n^2-m^2)a_n]x^n=0$$
この式より次の様な漸化式を得る。
$$a_n=\frac{m^2+n^2}{(n+2)(n+1)}{a}_{2n}$$
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_{2n}=\frac{1}{\left(2n\right)!}\prod _{k=1}^n\{m^2+{(2k-2)}^2\}\\ a_{2n+1}=\frac{1}{(2n+1)!}\prod _{k=1}^n\{m^2+{(2k-1)}^2\}\\ a_0=1\\ a_1=m\end{array}\end{array}$
この漸化式を用いて、 $e^{m\arcsin x}$をマクローリン展開し、mに関するべきで書き直すと次の様な式を得る。
$$\begin{array}{rcl}{e}^{m\arcsin x}=1& +& mx\\ & +& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\left(2n\right)!}\prod _{k=1}^n\{m^2+{(2k-2)}^2\}{x}^{2n}\\ & +& m\sum \frac{1}{(2n+1)!}\prod _{k=1}^n\{m^2+{(2k-1)}^2\}{x}^{2n+1}\\ =1& +& m(\frac{1}{1!}x+\frac{1^2}{3!}{x}^3+\frac{1^2{3}^2}{5!}{x}^5+\frac{1^2{3}^2{5}^2}{7!}{x}^7+\cdots )\\ & +& m^2(\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{2^2}{4!}{x}^4+\frac{2^2{4}^2}{6!}{x}^6+\frac{2^2{4}^2{6}^2}{8!}{x}^8+\cdots )\\ & +& m^3(\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1^2+3^2}{5!}{x}^5+\frac{1^2{3}^2+1^2{5}^2+3^2{5}^2}{7!}{x}^7+\frac{1^2{3}^2{5}^2+1^2{3}^2{7}^2+1^2{5}^2{7}^2+3^2{5}^2{7}^2}{9!}{x}^9+\cdots )\\ & +& m^4(\frac{1}{4!}{x}^4+\frac{2^2+4^2}{6!}{x}^6+\frac{2^2{4}^2+2^2{6}^2+4^2{6}^2}{8!}{x}^8+\frac{2^2{4}^2{6}^2+2^2{4}^2{8}^2+2^2{6}^2{8}^2+4^2{6}^2{8}^2}{10!}{x}^{10}+\cdots )\\ & +& \cdots \end{array}$$
この式と、次の式の$m^k$の係数比較により${(\arcsin x)}^k$のマクローリン展開が求まる。
$$e^{m\arcsin x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m^k}{k!}{(\arcsin x)}^k$$

$$\begin{array}{rcl}[m^{2k}]\left(2l\right)& =& \sum _{\begin{array}{c}{p}_1,p_2,...,p_{l-k}\in \{2,4,...,2(l-1)\}\\ p_1<p_2<\cdots p_{l-k}\end{array}}{p}_1^2{p}_2^2\cdots p_{k-l}^2\\ & =& \{(2l-2)!!{\}}^2\sum _{\begin{array}{c}1\le q_1<q_2<\cdots q_{k-1}\le 2(l-1)\\ q_1,q_2,...,q_{k-1}\in Even\end{array}}\frac{1}{q_1^2{q}_2^2\cdots q_{k-1}^2}\\ & =& 2^{2l-k}\frac{\{\left(l\right)!{\}}^2}{4l^2}{\zeta }_{l-1}(\{2{\}}^{k-1})\end{array}$$
同様にして
$$\begin{array}{rcl}[m^{2k+1}](2l+1)& =& \sum _{\begin{array}{c}(p_1,p_2,...,p_{l-k})\in \{1,3,...,2l-1\}\\ p_1<p_2<<\cdots p_{l-k}\end{array}}{p}_1^2{p}_2^2\cdots p_{l-k}^2\\ & =& \{(2l-1)!!{\}}^2\sum _{\begin{array}{c}1\le q_1<q_2<\cdots <q_{k-1}\le 2l-1\\ q_1,q_2,...,q_{k-1}\in odd\end{array}}\frac{1}{q_1^2{q}_2^2\cdots q_{k-1}^2}\\ & =& \frac{\{\left(2l\right)!{\}}^2}{2^{2l}{(l!)}^2}{\zeta }_{l-1}^{odd}(\{2{\}}^{k-1})\end{array}$$