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Göllnitz-Gordon恒等式

前の記事の定理2の証明の過程で, 以下の2つの恒等式を示した.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{(- q^{3}, - q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(- q, - q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

以下はGöllnitz-Gordon恒等式と呼ばれている恒等式である. それは本質的にRamanujanによって発見されており, Slaterによって1952年に示されている.

Ramanujan, Slater(1952)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(q, q^{4}, q^{7}; q^{8})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{1}{(q^{3}, q^{4}, q^{5}; q^{8})_{\infty}} \end{aligned}$

1つ目の等式は Heineの変換公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} & = \frac{(b, a t; q)_{\infty}}{(c, t; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b, t; q)_{n}}{(a t, q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{2}, a = q / t, b = q, c = 0$ としてから $t \to 0$ とすると,　命題1を用いて
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{n^{2}} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = (q; q^{2})_{\infty}^{2} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} \\ = (q; q^{2})_{\infty}^{2} \frac{(- q^{3}, - q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ = \frac{(q; q^{2})_{\infty} (- q^{3}, - q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
ここで, $q \mapsto - q$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}} (- q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty} (q^{3}, q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ = \frac{(q^{2}; q^{4})_{\infty} (q^{3}, q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ = \frac{1}{(q, q^{4}, q^{7}; q^{8})_{\infty}} \end{aligned}$
となって示される. 2つ目の等式も Heineの変換公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q)_{n}}{(c, q; q)_{n}} t^{n} & = \frac{(b, a t; q)_{n}}{(c, t; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b, t; q)_{\infty}}{(a t, q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
において, $q \mapsto q^{2}, a = q^{3} / t, b = q, c = 0$ として $t \to 0$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2} + 2 n} (q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} & = (q; q^{2})_{\infty}^{2} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} \end{aligned}$
となるので, 1つ目の等式と全く同様に命題1を用いて示される.