モーメント母関数を使って正規分布の基本的な性質を順に示す

Def.

Prop&Proof

$t\in\mathbb R$ を任意に固定する。
指数関数 $\exp:\mathbb R\to(0,\infty)$ は連続関数であり、$X$ は可測であるから、
$$ e^{tX}:\Omega\to(0,\infty) $$
は非負可測関数である。したがって、$\mathbb E[e^{tX}]$ は $[0,\infty]$ の値をもつ拡大実数として定義される。
$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ であるから、正規分布の密度表示より、
$$ f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \quad (x\in\mathbb R) $$
である。
したがって、非負可測関数に対する期待値の公式より、
$$ \begin{align} \mathbb E[e^{tX}] &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \,dx\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \,dx \end{align} $$
である(ただし、この時点では拡大実数値の等式として解釈する)。
ここで、指数部分を平方完成する。
$$ \begin{align} tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} &= tx-\frac{x^2-2\mu x+\mu^2}{2\sigma^2}\\ &= -\frac{x^2}{2\sigma^2} +\frac{\mu x}{\sigma^2} +tx -\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\\ &= -\frac{1}{2\sigma^2}x^2 +\left(\frac{\mu}{\sigma^2}+t\right)x -\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\\ &= -\frac{1}{2\sigma^2} \left( x^2-2(\mu+\sigma^2t)x \right) -\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\\ &= -\frac{1}{2\sigma^2} \left( (x-(\mu+\sigma^2t))^2-(\mu+\sigma^2t)^2 \right) -\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\\ &= -\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2} + \frac{(\mu+\sigma^2t)^2}{2\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} \end{align} $$
である。よって、
$$ \begin{align} \mathbb E[e^{tX}] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2} + \frac{(\mu+\sigma^2t)^2}{2\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} \right) \,dx\\ &= \exp\left( \frac{(\mu+\sigma^2t)^2}{2\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{(x-(\mu+\sigma^2t))^2}{2\sigma^2} \right) \,dx \end{align} $$
である。ここで、
$$ m:=\mu+\sigma^2t $$
とおく。このとき、
$$ x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right) $$
は正規分布 $\mathcal N(m,\sigma^2)$ の確率密度関数である。
したがって、確率密度関数の全積分は $1$ であるから、
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2} \right) \,dx = 1 $$
である。
ゆえに、
$$ \begin{align} \mathbb E[e^{tX}] &= \exp\left( \frac{(\mu+\sigma^2t)^2}{2\sigma^2} -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} \right)\\ &= \exp\left( \frac{\mu^2+2\mu\sigma^2t+\sigma^4t^2-\mu^2}{2\sigma^2} \right)\\ &= \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2 \right) \end{align} $$
である。
右辺は任意の $t\in\mathbb R$ に対して有限である。したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
$$ \mathbb E[e^{tX}]<\infty $$
である。
$t\in\mathbb R$ は任意であったので、
$$ M_X(t) = \mathbb E[e^{tX}] = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2 \right) \quad (t\in\mathbb R) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

1. 確率変数である事を確認する。
   確率変数 $X$ と $c>0$ により
   $$ Y:=cX $$
   とおく。
   写像 $g:\mathbb R\to\mathbb R$ を
   $$ g(x):=cx $$
   で定める。$g$ は連続関数であるから、ボレル可測である。
   したがって、
   $$ Y=g\circ X $$
   は実数値確率変数である。
   $ $
2. $Y$ のモーメント母関数を計算する。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。
   このとき、$ct\in\mathbb R$ である。$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、
   $$ \mathbb E[e^{(ct)X}] = M_X(ct) = \exp\left( \mu(ct)+\frac{1}{2}\sigma^2(ct)^2 \right) < \infty $$
   である(証明済み)。
   よって、
   $$ \mathbb E[e^{tY}] = \mathbb E[e^{t(cX)}] = \mathbb E[e^{(ct)X}] < \infty $$
   である。したがって、$t\in D_Y$ であり、
   $$ M_Y(t):=\mathbb E[e^{tY}] $$
   が定義される。
   さらに、
   $$ \begin{align} M_Y(t) &= \mathbb E[e^{tY}]\\ &= \mathbb E[e^{t(cX)}]\\ &= \mathbb E[e^{(ct)X}]\\ &= M_X(ct)\\ &= \exp\left( \mu(ct)+\frac{1}{2}\sigma^2(ct)^2 \right)\\ &= \exp\left( (c\mu)t+\frac{1}{2}c^2\sigma^2t^2 \right) \end{align} $$
   である。
   ここで、
   $$ \mu':=c\mu, \quad \sigma':=c\sigma $$
   とおく。$c>0$ かつ $\sigma>0$ より、
   $$ \sigma'>0, \quad \sigma'^2=c^2\sigma^2 $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Y(t) = \exp\left( \mu't+\frac{1}{2}\sigma'^2t^2 \right) $$
   が成り立つ。
   $ $
3. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(\mu',\sigma'^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   このとき、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( \mu't+\frac{1}{2}\sigma'^2t^2 \right) $$
   である。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Y(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_Y$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数は、$0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致すれば分布を一意に定める。したがって、
   $$ Y\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(\mu',\sigma'^2)$ であったから、
   $$ Y\sim\mathcal N(\mu',\sigma'^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ cX\sim\mathcal N(c\mu,c^2\sigma^2) $$
である。
$$ \Box$$

1. $Y$ が実数値確率変数であることを確認する。
   写像 $g:\mathbb R\to\mathbb R$ を
   $$ g(x):=ax+b $$
   で定める。
   $g$ は $\mathbb R$ 上の連続関数であるから、ボレル可測である。
   したがって、$X$ が実数値確率変数であることより、
   $$ Y:=aX+b=g\circ X $$
   も実数値確率変数である。
   $ $
2. $Y$ のモーメント母関数を計算する。
   $X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $s\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_X(s) = \mathbb E[e^{sX}] = \exp\left( \mu s+\frac{1}{2}\sigma^2s^2 \right) $$
   である(証明済み)。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。このとき、$at\in\mathbb R$ であるから、
   $$ \mathbb E[e^{atX}] = M_X(at) < \infty $$
   である。
   また、$e^{bt}$ は有限な正の定数である。さらに、
   $$ e^{tY} = e^{t(aX+b)} = e^{bt}e^{atX} $$
   であるから、
   $$ \mathbb E[e^{tY}] = e^{bt}\mathbb E[e^{atX}] < \infty $$
   である。したがって、$M_Y(t)$ は定義される。
   よって、
   $$ \begin{align} M_Y(t) &= \mathbb E[e^{tY}]\\ &= \mathbb E[e^{t(aX+b)}]\\ &= \mathbb E[e^{taX+tb}]\\ &= \mathbb E[e^{tb}e^{taX}]\\ &= e^{tb}\mathbb E[e^{taX}]\\ &= e^{tb}M_X(at)\\ &= e^{tb} \exp\left( \mu at+\frac{1}{2}\sigma^2(at)^2 \right)\\ &= \exp\left( bt+a\mu t+\frac{1}{2}a^2\sigma^2t^2 \right)\\ &= \exp\left( (a\mu+b)t+\frac{1}{2}a^2\sigma^2t^2 \right) \end{align} $$
   である。
   ここで、
   $$ \mu':=a\mu+b, \quad \sigma':=|a|\sigma $$
   とおく。このとき、$a\neq 0$ かつ $\sigma>0$ より、
   $$ \sigma'>0, \quad \sigma'^2=a^2\sigma^2 $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Y(t) = \exp\left( \mu't+\frac{1}{2}\sigma'^2t^2 \right) $$
   である。
   $ $
3. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(\mu',\sigma'^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   このとき、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( \mu't+\frac{1}{2}\sigma'^2t^2 \right) $$
   である。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Y(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_Y$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数が $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致するならば、対応する分布は一致する。
   したがって、
   $$ Y\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(\mu',\sigma'^2)$ であったから、
   $$ Y\sim\mathcal N(\mu',\sigma'^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ Y\sim\mathcal N(a\mu+b,a^2\sigma^2) $$
である。
$$ \Box$$

1. $S:=X+Y$ が実数値確率変数であることを確認する。
   確率変数 $X$ と $Y$ について、
   $$ S:=X+Y $$
   とおく。
   写像 $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ を
   $$ h(x,y):=x+y $$
   で定める。$h$ は連続関数であるから、ボレル可測である。
   また、$X$ と $Y$ は実数値確率変数であるから、
   $$ (X,Y):(\Omega,\mathcal F)\to(\mathbb R^2,\mathcal B(\mathbb R^2)) $$
   は可測である。
   したがって、
   $$ S=X+Y=h\circ(X,Y) $$
   は実数値確率変数である。
   $ $
2. $X$ と $Y$ のモーメント母関数を確認する。
   $X\sim\mathcal N(\mu_1,\sigma_1^2)$ であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_X(t) = \mathbb E[e^{tX}] = \exp\left( \mu_1t+\frac{1}{2}\sigma_1^2t^2 \right) $$
   である(証明済み)。
   同様に、$Y\sim\mathcal N(\mu_2,\sigma_2^2)$ であるから、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Y(t) = \mathbb E[e^{tY}] = \exp\left( \mu_2t+\frac{1}{2}\sigma_2^2t^2 \right) $$
   である(証明済み)。
   $ $
3. $S$ のモーメント母関数を計算する。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。
   写像
   $$ f_t(x):=e^{tx} $$
   は $\mathbb R$ 上の連続関数であるから、ボレル可測である。
   $X$ と $Y$ は独立であるから、ボレル可測変換によって、
   $$ e^{tX}=f_t(X), \quad e^{tY}=f_t(Y) $$
   も独立である。
   また、正規分布のモーメント母関数は任意の実数で有限であるから、
   $$ \mathbb E[e^{tX}]<\infty, \quad \mathbb E[e^{tY}]<\infty $$
   である。
   したがって、独立な非負確率変数の積の期待値の公式( 証明はコチラ )より、
   $$ \mathbb E[e^{tX}e^{tY}] = \mathbb E[e^{tX}]\mathbb E[e^{tY}] < \infty $$
   である。
   ここで、
   $$ e^{tS} = e^{t(X+Y)} = e^{tX}e^{tY} $$
   であるから、
   $$ \mathbb E[e^{tS}]<\infty $$
   である。したがって、$M_S(t)$ は定義される。
   よって、
   $$ \begin{align} M_S(t) &= \mathbb E[e^{tS}]\\ &= \mathbb E[e^{t(X+Y)}]\\ &= \mathbb E[e^{tX+tY}]\\ &= \mathbb E[e^{tX}e^{tY}]\\ &= \mathbb E[e^{tX}]\mathbb E[e^{tY}]\\ &= M_X(t)M_Y(t)\\ &= \exp\left( \mu_1t+\frac{1}{2}\sigma_1^2t^2 \right) \exp\left( \mu_2t+\frac{1}{2}\sigma_2^2t^2 \right)\\ &= \exp\left( (\mu_1+\mu_2)t + \frac{1}{2}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)t^2 \right) \end{align} $$
   である。
   ここで、
   $$ \mu:=\mu_1+\mu_2, \quad \sigma^2:=\sigma_1^2+\sigma_2^2 $$
   とおく。$\sigma_1>0$、$\sigma_2>0$ より、
   $$ \sigma^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2>0 $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_S(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2 \right) $$
   である。
   $ $
4. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2 \right) $$
   である。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_S(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_S$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数が $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致するならば、対応する分布は一致する。
   したがって、
   $$ S\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ であったから、
   $$ S\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ X+Y\sim\mathcal N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) $$
である。
$$ \Box$$

1. 線形結合が実数値確率変数であることを確認する。
   実数値確率変数列 $X_1,\ldots,X_n$ と $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb R$ を用いて、
   $$ S:=\sum_{i=1}^{n}c_iX_i $$
   とおく。
   写像
   $$ g:\mathbb R^n\to\mathbb R, \quad g(x_1,\ldots,x_n):=\sum_{i=1}^{n}c_ix_i $$
   は連続関数であるから、ボレル可測である。
   また、
   $$ (X_1,\ldots,X_n):(\Omega,\mathcal F)\to(\mathbb R^n,\mathcal B(\mathbb R^n)) $$
   は可測写像である。
   したがって、
   $$ S=g(X_1,\ldots,X_n) $$
   は実数値確率変数である。
   $ $
2. $S$ のモーメント母関数を計算する。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。このとき、
   $$ \begin{align} e^{tS} &= \exp\left( t\sum_{i=1}^{n}c_iX_i \right)\\ &= \exp\left( \sum_{i=1}^{n}tc_iX_i \right)\\ &= \prod_{i=1}^{n}\exp(tc_iX_i)\\ &= \prod_{i=1}^{n}e^{tc_iX_i} \end{align} $$
   である。
   各 $i=1,\ldots,n$ に対して、写像
   $$ f_i:\mathbb R\to\mathbb R, \quad f_i(x):=e^{tc_ix} $$
   は連続関数であるから、ボレル可測である。
   $X_1,\ldots,X_n$ は独立であるから、独立性はボレル可測変換で保たれることより、
   $$ e^{tc_1X_1},\ldots,e^{tc_nX_n} $$
   も独立である(補足を参照)。
   また、各 $i=1,\ldots,n$ について、
   $$ X_i\sim\mathcal N(\mu_i,\sigma_i^2) $$
   であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $s\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_{X_i}(s) = \mathbb E[e^{sX_i}] = \exp\left( \mu_is+\frac{1}{2}\sigma_i^2s^2 \right) $$
   である。
   特に、$s=c_it$ とすれば、
   $$ \mathbb E[e^{tc_iX_i}] = M_{X_i}(c_it) < \infty $$
   である(証明済み)。
   したがって、独立な非負確率変数の積の期待値の公式( 証明はコチラ )より、
   $$ \mathbb E\left[ \prod_{i=1}^{n}e^{tc_iX_i} \right] = \prod_{i=1}^{n}\mathbb E[e^{tc_iX_i}] < \infty $$
   である。ゆえに、
   $$ \mathbb E[e^{tS}]<\infty $$
   である。したがって、$M_S(t)$ は定義され、
   $$ \begin{align} M_S(t) &= \mathbb E[e^{tS}]\\ &= \mathbb E\left[ \prod_{i=1}^{n}e^{tc_iX_i} \right]\\ &= \prod_{i=1}^{n} \mathbb E[e^{tc_iX_i}]\\ &= \prod_{i=1}^{n} M_{X_i}(c_it) \end{align} $$
   である。
   ここで、各 $i=1,\ldots,n$ に対して、
   $$ \begin{align} M_{X_i}(c_it) &= \exp\left( \mu_i(c_it) + \frac{1}{2}\sigma_i^2(c_it)^2 \right)\\ &= \exp\left( c_i\mu_i t + \frac{1}{2}c_i^2\sigma_i^2t^2 \right) \end{align} $$
   である。よって、
   $$ \begin{align} M_S(t) &= \prod_{i=1}^{n} \exp\left( c_i\mu_i t + \frac{1}{2}c_i^2\sigma_i^2t^2 \right)\\ &= \exp\left( \sum_{i=1}^{n} \left( c_i\mu_i t + \frac{1}{2}c_i^2\sigma_i^2t^2 \right) \right)\\ &= \exp\left( \left(\sum_{i=1}^{n}c_i\mu_i\right)t + \frac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^{n}c_i^2\sigma_i^2\right)t^2 \right) \end{align} $$
   である。ここで、
   $$ \mu:=\sum_{i=1}^{n}c_i\mu_i, \quad \tau^2:=\sum_{i=1}^{n}c_i^2\sigma_i^2 $$
   とおく。
   仮定より、
   $$ \tau^2>0 $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_S(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\tau^2t^2 \right) $$
   である。
   $ $
3. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(\mu,\tau^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\tau^2t^2 \right) $$
   である(証明済み)。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_S(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_S$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数が $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致するならば、対応する分布は一致する。
   したがって、
   $$ S\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(\mu,\tau^2)$ であったから、
   $$ S\sim\mathcal N(\mu,\tau^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ \sum_{i=1}^{n}c_iX_i \sim \mathcal N\left( \sum_{i=1}^{n}c_i\mu_i, \sum_{i=1}^{n}c_i^2\sigma_i^2 \right) $$
である。
$$ \Box$$

1. $\overline X_n$ が実数値確率変数であることを確認する。
   各 $X_i$ は実数値確率変数であり、有限和と定数倍によって可測性は保たれる。したがって、
   $$ \overline X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i $$
   は実数値確率変数である。
   $ $
2. $\overline X_n$ のモーメント母関数を計算する。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。
   標本平均の定義より、
   $$ \overline X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i $$
   である。したがって、
   $$ \begin{align} e^{t\overline X_n} &= \exp\left( t\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \right)\\ &= \exp\left( \sum_{i=1}^{n}\frac{t}{n}X_i \right)\\ &= \prod_{i=1}^{n} \exp\left( \frac{t}{n}X_i \right)\\ &= \prod_{i=1}^{n}e^{\frac{t}{n}X_i} \end{align} $$
   である。
   ここで、写像
   $$ f_t(x):=e^{\frac{t}{n}x} \quad (x\in\mathbb R) $$
   は $\mathbb R$ 上の連続関数であるから、ボレル可測である。
   $X_1,\ldots,X_n$ は独立であるから、独立性はボレル可測変換で保たれることより、
   $$ e^{\frac{t}{n}X_1},\ldots,e^{\frac{t}{n}X_n} $$
   も独立である。
   また、各 $i=1,\ldots,n$ について、
   $$ X_i\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2) $$
   であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $s\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_{X_i}(s) = \mathbb E[e^{sX_i}] = \exp\left( \mu s+\frac{1}{2}\sigma^2s^2 \right) $$
   である(証明済み)。
   特に、$s=\frac{t}{n}$ とすれば、
   $$ \mathbb E\left[e^{\frac{t}{n}X_i}\right] = M_{X_i}\left(\frac{t}{n}\right) < \infty $$
   である。
   したがって、独立な非負確率変数の積の期待値の公式( 証明はコチラ )より、
   $$ \mathbb E\left[ \prod_{i=1}^{n}e^{\frac{t}{n}X_i} \right] = \prod_{i=1}^{n} \mathbb E\left[ e^{\frac{t}{n}X_i} \right] < \infty $$
   である。ゆえに、
   $$ \mathbb E[e^{t\overline X_n}]<\infty $$
   である。したがって、$M_{\overline X_n}(t)$ は定義され、
   $$ \begin{align} M_{\overline X_n}(t) &= \mathbb E[e^{t\overline X_n}]\\ &= \mathbb E\left[ \prod_{i=1}^{n}e^{\frac{t}{n}X_i} \right]\\ &= \prod_{i=1}^{n} \mathbb E\left[ e^{\frac{t}{n}X_i} \right]\\ &= \prod_{i=1}^{n} M_{X_i}\left(\frac{t}{n}\right) \end{align} $$
   である。
   ここで、任意の $i=1,\ldots,n$ に対して $X_i\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ であるから、
   $$ \begin{align} M_{X_i}\left(\frac{t}{n}\right) &= \exp\left( \mu\frac{t}{n} + \frac{1}{2}\sigma^2\left(\frac{t}{n}\right)^2 \right)\\ &= \exp\left( \frac{\mu t}{n} + \frac{\sigma^2t^2}{2n^2} \right) \end{align} $$
   である。したがって、
   $$ \begin{align} M_{\overline X_n}(t) &= \prod_{i=1}^{n} \exp\left( \frac{\mu t}{n} + \frac{\sigma^2t^2}{2n^2} \right)\\ &= \left[ \exp\left( \frac{\mu t}{n} + \frac{\sigma^2t^2}{2n^2} \right) \right]^n\\ &= \exp\left( n\left( \frac{\mu t}{n} + \frac{\sigma^2t^2}{2n^2} \right) \right)\\ &= \exp\left( \mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2n} \right)\\ &= \exp\left( \mu t + \frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n}t^2 \right) \end{align} $$
   である。ここで、
   $$ \sigma_n^2:=\frac{\sigma^2}{n} $$
   とおく。
   $n\geq1$ かつ $\sigma>0$ より、
   $$ \sigma_n^2=\frac{\sigma^2}{n}>0 $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_{\overline X_n}(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma_n^2t^2 \right) $$
   である。
   $ $
3. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(\mu,\sigma_n^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( \mu t+\frac{1}{2}\sigma_n^2t^2 \right) $$
   である。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_{\overline X_n}(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_{\overline X_n}$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数が $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致するならば、対応する分布は一致する。
   したがって、
   $$ \overline X_n\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(\mu,\sigma_n^2)$ であったから、
   $$ \overline X_n \sim \mathcal N(\mu,\sigma_n^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ \overline X_n \sim \mathcal N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$
である。
$$ \Box$$

1. $D$ が実数値確率変数であることを確認する。
   実数値確率変数 $\overline X_1,\overline X_2$ について
   $$ D:=\overline X_1-\overline X_2 $$
   とおく。
   写像 $g:\mathbb R^2\to\mathbb R$ を
   $$ g(x,y):=x-y $$
   で定める。
   $g$ は連続関数であるから、ボレル可測である。
   また、$\overline X_1,\overline X_2$ は実数値確率変数であるから、
   $$ (\overline X_1,\overline X_2):(\Omega,\mathcal F)\to(\mathbb R^2,\mathcal B(\mathbb R^2)) $$
   は可測写像である。
   したがって、
   $$ D=g(\overline X_1,\overline X_2) $$
   は実数値確率変数である。
   $ $
2. $D$ のモーメント母関数を計算する。
   $t\in\mathbb R$ を任意に固定する。
   このとき、
   $$ e^{tD} = e^{t(\overline X_1-\overline X_2)} = e^{t\overline X_1}e^{-t\overline X_2} $$
   である。いま、写像
   $$ f_t(x):=e^{tx}, \quad h_t(x):=e^{-tx} $$
   はともに $\mathbb R$ 上の連続関数であるから、ボレル可測である。
   $\overline X_1$ と $\overline X_2$ は独立であるから、独立性はボレル可測変換で保たれることより、
   $$ e^{t\overline X_1} \quad\text{と}\quad e^{-t\overline X_2} $$
   も独立である。
   また、
   $$ \overline X_1\sim\mathcal N\left(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n_1}\right), \quad \overline X_2\sim\mathcal N\left(\mu_2,\frac{\sigma^2}{n_2}\right) $$
   であるから、正規分布のモーメント母関数の公式より、
   $$ \mathbb E[e^{t\overline X_1}]<\infty, \quad \mathbb E[e^{-t\overline X_2}]<\infty $$
   である(証明済み)。
   したがって、独立な非負確率変数の積の期待値の公式( 証明はコチラ )より、
   $$ \mathbb E[e^{tD}] = \mathbb E[e^{t\overline X_1}e^{-t\overline X_2}] = \mathbb E[e^{t\overline X_1}]\mathbb E[e^{-t\overline X_2}] < \infty $$
   である。
   ゆえに、$M_D(t)$ は定義され、
   $$ \begin{align} M_D(t) &= \mathbb E[e^{tD}]\\ &= \mathbb E[e^{t\overline X_1}e^{-t\overline X_2}]\\ &= \mathbb E[e^{t\overline X_1}]\mathbb E[e^{-t\overline X_2}]\\ &= M_{\overline X_1}(t)M_{\overline X_2}(-t) \end{align} $$
   である。まず、
   $$ \overline X_1\sim\mathcal N\left(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n_1}\right) $$
   であるから、
   $$ M_{\overline X_1}(t) = \exp\left( \mu_1t+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n_1}t^2 \right) $$
   である。また、
   $$ \overline X_2\sim\mathcal N\left(\mu_2,\frac{\sigma^2}{n_2}\right) $$
   であるから、
   $$ \begin{align} M_{\overline X_2}(-t) &= \exp\left( \mu_2(-t)+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n_2}(-t)^2 \right)\\ &= \exp\left( -\mu_2t+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n_2}t^2 \right) \end{align} $$
   である。
   したがって、
   $$ \begin{align} M_D(t) &= M_{\overline X_1}(t)M_{\overline X_2}(-t)\\ &= \exp\left( \mu_1t+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n_1}t^2 \right) \exp\left( -\mu_2t+\frac{1}{2}\frac{\sigma^2}{n_2}t^2 \right)\\ &= \exp\left( (\mu_1-\mu_2)t + \frac{1}{2}\sigma^2 \left( \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2} \right)t^2 \right) \end{align} $$
   である。ここで、
   $$ m:=\mu_1-\mu_2, \quad s^2:=\sigma^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right) $$
   とおく。
   $\sigma>0$、$n_1,n_2\in\mathbb N$ より、
   $$ s^2 = \sigma^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)>0 $$
   である。
   ゆえに、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_D(t) = \exp\left( mt+\frac{1}{2}s^2t^2 \right) $$
   である。
   $ $
3. モーメント母関数の一意性を用いる。
   $\mathbb R$ 上の正規分布 $\mathcal N(m,s^2)$ を考え、この分布に従う実数値確率変数 $Z$ をとる。
   正規分布のモーメント母関数の公式より、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_Z(t) = \exp\left( mt+\frac{1}{2}s^2t^2 \right) $$
   である。
   したがって、任意の $t\in\mathbb R$ に対して、
   $$ M_D(t)=M_Z(t) $$
   である。
   特に、$M_D$ と $M_Z$ は $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致する。
   モーメント母関数が $0$ の近傍で有限に存在し、その近傍で一致するならば、対応する分布は一致する。
   したがって、
   $$ D\overset{d}{=}Z $$
   である。
   $Z\sim\mathcal N(m,s^2)$ であったから、
   $$ D\sim\mathcal N(m,s^2) $$
   である。

-すなわち、
$$ D \sim \mathcal N\left( \mu_1-\mu_2, \sigma^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right) \right) $$
である。
$$ \Box$$