超積分の簡単な定義・レベルとオーダーの関係
はじめに
今回は、超微分の逆操作、超積分の簡単な定義をしようと思います。
あくまで簡単な定義なため、厳密性が欠ける可能性があることにご注意ください。
超積分の簡単な定義
超積分の定義を考えるために、まず微分と積分の関係がどのようだったのか、また超微分の変換公式を考えます。
$$\frac{d}{dx}\int f(x)dx=f(x)$$
まず、微分と積分はこのような関係性があります。積分という操作をしてから微分という操作をすると元の関数に戻るという性質です。
$f(x)$は超微分可能とする。この時、
$$f^`(x)=\frac{xf'(x)}{f(x)}$$
また、超微分は、微分を用いて以上のように表されます。
以上の二つの定理から、この回においては超積分と超微分の関係性を以下の公理として認めることとします。
$$\{\mathscr{P}f(x)^{dx}\}^`=f(x)$$
(ただし、$\mathscr{P}f(x)^{dx}$は$f(x)$の超積分とし、常に正とする。)
この時、次の定理が成り立ちます。
$$\mathscr{P}f(x)^{dx}=e^{\int\frac{f(x)}{x}dx}$$
超微分超積分の基本公理、超微分の変換公式より
$$\begin{align}
\{\mathscr{P}f(x)^{dx}\}^`=\frac{x\{\mathscr{P}f(x)^{dx}\}'}{\mathscr{P}f(x)^{dx}}&\Leftrightarrow f(x)=\frac{x\{\mathscr{P}f(x)^{dx}\}'}{\mathscr{P}f(x)^{dx}}\\
&\Leftrightarrow\frac{f(x)}{x}=\frac{\{\mathscr{P}f(x)^{dx}\}'}{\mathscr{P}f(x)^{dx}}\\
&\Leftrightarrow\int\frac{f(x)}{x}dx=\log \mathscr{P}f(x)^{dx}\\
&\Leftrightarrow\mathscr{P}f(x)^{dx}=e^{\int\frac{f(x)}{x}dx}
\end{align}$$
ここまでで、超積分の定義とその積分への変換の証明をすることができました。
レベルとオーダーの関係
さて、 前回 以下のような予想を立てました。
$f(x),g(x)$を超微分可能とする。
$c$を$f(x)$と$g(x)$のレベルの比較とした時、以下が成り立つ。
$c<0$の時、$g(x)$の方が$f(x)$よりオーダーが大きい
$c=0$の時、$f(x)$と$g(x)$のオーダーは等しい
$c>0$の時、$f(x)$の方が$g(x)$よりオーダーが大きい
前回の記事作成時、深夜ということもあり頭が回らず、証明は後日という何とも尻切れトンボな終わり方にしてしまったので、ここからはこの予想の証明をしていきたいと思います。
オーダーと関連する用語の定義
まず、前回の記事や今回の前述の予想で、なんとなしに使ってきた「オーダー」という言葉ですが、ここでその定義をはっきりさせたいと思います。
これから書く定義は、この一連の記事において使われるものです。
一般の場合とは意味合いが異なる場合がありますのでご注意ください。
関数$f(x)$、0でない関数$g(x)$に対して
$$\exists x_0,\exists M_1>0,\exists M_2>0\ \mathrm{s.t.}\ \forall x[x>x_0\Rightarrow M_1|g(x)|\leq|f(x)|\leq M_2|g(x)|]$$
が成り立つとき、$f(x)$のオーダーは、$O(g(x))$であると定義し、$f(x)=O(g(x))$と書くこととする。
この定義は次のようにも書くことができます。
関数$f(x)$、0でない関数$g(x)$に対して
$$\limsup_{x\to\infty}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\in (0,\infty),\liminf_{x\to\infty}\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\in (0,\infty)$$であるとき、$f(x)$のオーダーは、$O(g(x))$であると定義し、$f(x)=O(g(x))$と書くこととする。
これは、ランダウの$\Theta$記号と同じ定義です。オーダー
そして、オーダーの大小を以下のように定義します。
オーダーが$O(g_1(x))$である$f_1(x)$と、オーダーが$O(g_2(x))$である$f_2(x)$に対し、
- $$\forall m>0,\exists x_0\ \mathrm{s.t.}\ \forall x[x>x_0\Rightarrow m|g_1(x)|<|g_2(x)|]$$を満たすとき、$f_1(x)$より$f_2(x)$のほうがオーダーが大きい、また$f_2(x)$より$f_1(x)$のほうが小さい
- $$g_1(x)=O(g_2(x))$$を満たすとき、$f_1(x)$と$f_2(x)$のオーダーは等しい
と定義する。
オーダーの定義と同様に、$\lim$を用いた定義は以下の通りです。
オーダーが$O(g_1(x))$である$f_1(x)$と、オーダーが$O(g_2(x))$である$f_2(x)$に対し、
- $$\lim_{x\to\infty}\left|\frac{g_2(x)}{g_1(x)}\right|=\infty$$を満たすとき、$f_1(x)$より$f_2(x)$の方がオーダーが大きい、また$f_2(x)$より$f_1(x)$の方が小さい
- $$g_1(x)=O(g_2(x))$$を満たすとき、$f_1(x)$と$f_2(x)$のオーダーは等しい
と定義する。
証明
これで準備は整いました。
ここから、初めに書いた予想の内、成立するものを証明していこうと思います。
忘れているといけないので、再掲をしておきます。
$f(x),g(x)$を超微分可能とする。
$c$を$f(x)$と$g(x)$のレベルの比較とした時、以下が成り立つ。
$c<0$の時、$g(x)$の方が$f(x)$よりオーダーが大きい
$c=0$の時、$f(x)$と$g(x)$のオーダーは等しい
$c>0$の時、$f(x)$の方が$g(x)$よりオーダーが大きい
$f(x)=O(f(x)),g(x)=O(g(x))$としても一般性は失われない。
また、$c=\lim_{x\to\infty}\{f^`(x)-g^`(x)\}=\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^`$である。
$c<0\Rightarrow g(x)$の方が$f(x)$よりオーダーが大きいことの証明
$$\begin{align} \lim_{x\to\infty}\left|\frac{g(x)}{f(x)}\right|&=\lim_{x\to\infty}\left|\mathscr{P}\{g^`(x)-f^`(x)\}^{dx}\right|\\ &=\lim_{x\to\infty}\left|e^{\int\frac{g^`(x)-f^`(x)}{x}dx}\right|\\ &=\left|e^{\lim_{x\to\infty}\int\frac{g^`(x)-f^`(x)}{x}dx}\right|&\mathrm{①}\\ \end{align}$$
より、$\lim_{x\to\infty}\int\frac{g^`(x)-f^`(x)}{x}dx=\infty$を示すことができれば、$①\to\infty$は示される。
任意の$x_0$において、$x>x_0\Rightarrow g^`(x)-f^`(x)>c_1$を満たす$c_1$は存在するため、$\lim_{x\to\infty}\int\frac{g^`(x)-f^`(x)}{x}dx>\lim_{x\to\infty}\int\frac{c_1}{x}dx$が成り立つ。
$\lim_{x\to\infty}\int\frac{c_1}{x}dx=\lim_{x\to\infty}c_1\log x=\infty$
より示された。
また、同様に考えて$c>0\Rightarrow f(x)$の方が$g(x)$よりオーダーが大きいことも示すことができる。1.で示した定理の逆により、$f(x)$と$g(x)$のオーダーが同じ$\Rightarrow c=0$が示される。
以上の三つ以外は成立しません。
反例としては、$f^`(x)-g^`(x)=\frac1{\log x}$等があります。
ということで、証明された定理が以下です。
- $c<0\Rightarrow f(x)$より$g(x)$の方がオーダーが大きい
- $c>0\Rightarrow g(x)$より$f(x)$の方がオーダーが大きい
- $f(x)$と$g(x)$のオーダーが等しい$\Rightarrow c=0$
以上からわかることですが、レベルの比較の方がオーダーよりも関数の大きさの比較の面では少し大雑把になものになっています。
しかし、微分さえできれば超二つの関数の極限から関数の大きさが比較できるというのは画期的ではないでしょうか。
おわりに
さて今回は、超積分を定義し、レベルとオーダーの関係についての予想を証明してきました。
レベルとオーダーが全く同一のものではなかったため、自分としてはいよいよ超微分が何を意味するものなのかが分からなくなってきました。
何かまた思いついたら、その記事を書こうと思うので続報をお待ちください。