超積分の簡単な定義・レベルとオーダーの関係

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はじめに

今回は、超微分の逆操作、超積分の簡単な定義をしようと思います。
あくまで簡単な定義なため、厳密性が欠ける可能性があることにご注意ください。

超積分の簡単な定義

超積分の定義を考えるために、まず微分と積分の関係がどのようだったのか、また超微分の変換公式を考えます。

微分積分学の基本定理

$\frac{d}{d x} \int f (x) d x = f (x)$

まず、微分と積分はこのような関係性があります。積分という操作をしてから微分という操作をすると元の関数に戻るという性質です。

超微分の変換公式

$f (x)$ は超微分可能とする。この時、
$f^{‘} (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)}$

また、超微分は、微分を用いて以上のように表されます。
以上の二つの定理から、この回においては超積分と超微分の関係性を以下の公理として認めることとします。

超微分超積分の基本公理

${P f (x)^{d x}}^{‘} = f (x)$
(ただし、 $P f (x)^{d x}$ は $f (x)$ の超積分とし、常に正とする。)

この時、次の定理が成り立ちます。

超積分の変換公式

$P f (x)^{d x} = e^{\int \frac{f (x)}{x} d x}$

超微分超積分の基本公理、超微分の変換公式より
$\begin{aligned} {P f (x)^{d x}}^{‘} = \frac{x {P f (x)^{d x}}^{'}}{P f (x)^{d x}} & \Leftrightarrow f (x) = \frac{x {P f (x)^{d x}}^{'}}{P f (x)^{d x}} \\ \Leftrightarrow \frac{f (x)}{x} = \frac{{P f (x)^{d x}}^{'}}{P f (x)^{d x}} \\ \Leftrightarrow \int \frac{f (x)}{x} d x = \log P f (x)^{d x} \\ \Leftrightarrow P f (x)^{d x} = e^{\int \frac{f (x)}{x} d x} \end{aligned}$

ここまでで、超積分の定義とその積分への変換の証明をすることができました。

レベルとオーダーの関係

さて、前回以下のような予想を立てました。

レベルの比較とオーダーの大小

$f (x), g (x)$ を超微分可能とする。
$c$ を $f (x)$ と $g (x)$ のレベルの比較とした時、以下が成り立つ。
$c < 0$ の時、 $g (x)$ の方が $f (x)$ よりオーダーが大きい
$c = 0$ の時、 $f (x)$ と $g (x)$ のオーダーは等しい
$c > 0$ の時、 $f (x)$ の方が $g (x)$ よりオーダーが大きい

前回の記事作成時、深夜ということもあり頭が回らず、証明は後日という何とも尻切れトンボな終わり方にしてしまったので、ここからはこの予想の証明をしていきたいと思います。

オーダーと関連する用語の定義

まず、前回の記事や今回の前述の予想で、なんとなしに使ってきた「オーダー」という言葉ですが、ここでその定義をはっきりさせたいと思います。

これから書く定義は、この一連の記事において使われるものです。
一般の場合とは意味合いが異なる場合がありますのでご注意ください。

オーダー

関数 $f (x)$ 、0でない関数 $g (x)$ に対して
$\exists x_{0}, \exists M_{1} > 0, \exists M_{2} > 0 s . t . \forall x [x > x_{0} \Rightarrow M_{1} | g (x) | \leq | f (x) | \leq M_{2} | g (x) |]$
が成り立つとき、 $f (x)$ のオーダーは、 $O (g (x))$ であると定義し、 $f (x) = O (g (x))$ と書くこととする。

この定義は次のようにも書くことができます。

オーダー(別定義)

関数 $f (x)$ 、0でない関数 $g (x)$ に対して
$\underset{x \to \infty}{lim sup} | \frac{f (x)}{g (x)} | \in (0, \infty), \underset{x \to \infty}{lim inf} | \frac{f (x)}{g (x)} | \in (0, \infty)$ であるとき、 $f (x)$ のオーダーは、 $O (g (x))$ であると定義し、 $f (x) = O (g (x))$ と書くこととする。

これは、ランダウの $Θ$ 記号と同じ定義です。オーダー
そして、オーダーの大小を以下のように定義します。

オーダーの大小

オーダーが $O (g_{1} (x))$ である $f_{1} (x)$ と、オーダーが $O (g_{2} (x))$ である $f_{2} (x)$ に対し、

$\forall m > 0, \exists x_{0} s . t . \forall x [x > x_{0} \Rightarrow m | g_{1} (x) | < | g_{2} (x) |]$ を満たすとき、 $f_{1} (x)$ より $f_{2} (x)$ のほうがオーダーが大きい、また $f_{2} (x)$ より $f_{1} (x)$ のほうが小さい
$g_{1} (x) = O (g_{2} (x))$ を満たすとき、 $f_{1} (x)$ と $f_{2} (x)$ のオーダーは等しい

と定義する。

オーダーの定義と同様に、 $lim$ を用いた定義は以下の通りです。

オーダーの大小(別定義)

オーダーが $O (g_{1} (x))$ である $f_{1} (x)$ と、オーダーが $O (g_{2} (x))$ である $f_{2} (x)$ に対し、

$lim_{x \to \infty} | \frac{g_{2} (x)}{g_{1} (x)} | = \infty$ を満たすとき、 $f_{1} (x)$ より $f_{2} (x)$ の方がオーダーが大きい、また $f_{2} (x)$ より $f_{1} (x)$ の方が小さい
$g_{1} (x) = O (g_{2} (x))$ を満たすとき、 $f_{1} (x)$ と $f_{2} (x)$ のオーダーは等しい

と定義する。

証明

これで準備は整いました。
ここから、初めに書いた予想の内、成立するものを証明していこうと思います。
忘れているといけないので、再掲をしておきます。

レベルの比較とオーダーの大小

$f (x) = O (f (x)), g (x) = O (g (x))$ としても一般性は失われない。
また、 $c = lim_{x \to \infty} {f^{‘} (x) - g^{‘} (x)} = lim_{x \to \infty} {\frac{f (x)}{g (x)}}^{‘}$ である。

$c < 0 \Rightarrow g (x)$ の方が $f (x)$ よりオーダーが大きいことの証明
$\begin{aligned} lim_{x \to \infty} | \frac{g (x)}{f (x)} | & = lim_{x \to \infty} | P {g^{‘} (x) - f^{‘} (x)}^{d x} | \\ = lim_{x \to \infty} | e^{\int \frac{g^{‘} (x) - f^{‘} (x)}{x} d x} | \\ = | e^{lim_{x \to \infty} \int \frac{g^{‘} (x) - f^{‘} (x)}{x} d x} | & ① \end{aligned}$
より、 $lim_{x \to \infty} \int \frac{g^{‘} (x) - f^{‘} (x)}{x} d x = \infty$ を示すことができれば、 $① \to \infty$ は示される。
任意の $x_{0}$ において、 $x > x_{0} \Rightarrow g^{‘} (x) - f^{‘} (x) > c_{1}$ を満たす $c_{1}$ は存在するため、 $lim_{x \to \infty} \int \frac{g^{‘} (x) - f^{‘} (x)}{x} d x > lim_{x \to \infty} \int \frac{c_{1}}{x} d x$ が成り立つ。
$lim_{x \to \infty} \int \frac{c_{1}}{x} d x = lim_{x \to \infty} c_{1} \log x = \infty$
より示された。
また、同様に考えて $c > 0 \Rightarrow f (x)$ の方が $g (x)$ よりオーダーが大きいことも示すことができる。
1.で示した定理の逆により、 $f (x)$ と $g (x)$ のオーダーが同じ $\Rightarrow c = 0$ が示される。